AMC 8 · 2025 · #22
학년 4 number-theoryalgebra문제
어느 교실에는 옷걸이 35개가 한 줄로 늘어서 있습니다. 파울리나는 코트가 일정한 간격으로 걸려 있는 것을 좋아하는데, 첫 번째 코트 앞과 마지막 코트 뒤, 그리고 인접한 두 코트 사이에 있는 빈 옷걸이의 개수가 모두 같아야 합니다. 코트는 적어도 1개, 빈 옷걸이도 적어도 1개 있다고 할 때, 파울리나의 규칙을 만족시킬 수 있는 코트의 개수는 모두 몇 가지입니까?
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AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 코트걸이 $35$ 개가 한 줄로 놓여 있습니다. 첫 코트 앞, 마지막 코트 뒤, 그리고 이웃한 두 코트 사이의 빈 걸이 개수가 모두 같아지도록 코트를 걸려고 합니다. 코트와 각 빈 걸이 묶음에는 적어도 $1$ 개씩 들어가야 할 때, 가능한 코트 개수는 모두 몇 가지일까요?
주어진 것: 걸이의 총 개수 $= 35$; 코트 하나는 걸이 하나를 차지; 빈 걸이는 첫 코트 앞, 마지막 코트 뒤, 그리고 이웃한 두 코트 사이마다 같은 개수씩 들어감; 코트 개수 $\ge 1$, 빈 걸이 묶음 크기 $\ge 1$; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $9$
구하는 것: 조건을 만족시키는 코트 개수 $c$ 의 서로 다른 값이 몇 가지인지
이해
문제 재정리: 코트걸이 $35$ 개가 한 줄로 놓여 있습니다. 첫 코트 앞, 마지막 코트 뒤, 그리고 이웃한 두 코트 사이의 빈 걸이 개수가 모두 같아지도록 코트를 걸려고 합니다. 코트와 각 빈 걸이 묶음에는 적어도 $1$ 개씩 들어가야 할 때, 가능한 코트 개수는 모두 몇 가지일까요?
주어진 것: 걸이의 총 개수 $= 35$; 코트 하나는 걸이 하나를 차지; 빈 걸이는 첫 코트 앞, 마지막 코트 뒤, 그리고 이웃한 두 코트 사이마다 같은 개수씩 들어감; 코트 개수 $\ge 1$, 빈 걸이 묶음 크기 $\ge 1$; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $7$, (E) $9$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #1 그림 그리기, #6 추측하고 확인하기, #5 패턴 찾기
"가능한 코트 개수가 몇 가지인지" 묻는 문제이므로 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 어울립니다. 코트 개수 $c$ 를 하나씩 정해 보면, 남는 빈 걸이 $35 - c$ 개를 $c+1$ 묶음으로 똑같이 나눠야 하니까, $c$ 마다 "$c+1$ 이 $35-c$ 를 똑 떨어지게 나누는지"만 확인하면 됩니다 — 이게 도구 #6(추측하고 확인하기)의 역할입니다. 그러다 보면 깔끔한 패턴(도구 #5)이 보입니다: $35 - c = 36 - (c+1)$ 이므로 "$c+1$ 이 $35-c$ 의 약수" 라는 조건은 결국 "$c+1$ 이 $36$ 의 약수" 라는 조건과 같다는 것 — 이 한 줄로 문제 전체가 $36$ 의 약수 찾기로 바뀝니다.
실행 — 정답: D
3.OA.B.6 단계 1 - 상황을 그림으로 정리합니다.
- 코트를 $c$ 개 걸면 빈 걸이 $35 - c$ 개를 $c+1$ 묶음으로 똑같이 나눠야 하므로, 묶음 하나당 크기 $k$ 는 $k = \dfrac{35 - c}{c + 1}$ 이고, 이 값이 $1$ 이상의 자연수가 되어야 합니다.
💡 빈 걸이를 "똑같은 묶음으로 나누는" 일은 쿠키를 접시 위에 똑같이 나눠 담는 3학년 나눗셈의 의미 그대로입니다.
4.OA.A.3 단계 2 - $c$ 가 가능한 값을 작은 쪽부터 차례로 나열합니다.
- 코트가 $c$ 개면 빈 걸이가 적어도 $c+1$ 개 필요하므로 $c + (c+1) \le 35$, 즉 $c \le 17$ 까지만 보면 됩니다.
💡 후보를 작은 순서대로 빠짐없이 늘어놓는 것이 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 출발점이자 4학년 다단계 문장제의 기본기입니다.
4.OA.B.4 단계 3 - 각 $c$ 에 대해 $(35 - c) \div (c + 1)$ 이 자연수가 되는지 확인합니다.
- 자연수가 되면 그 $c$ 는 "성공".
💡 "이 수가 저 수의 약수인가?" 하나하나 확인하는 일은 4학년 약수·배수 그대로의 작업입니다.
4.OA.B.4 단계 4 - 성공한 값들이 $c = 1, 2, 3, 5, 8, 11, 17$ 인 이유에 숨은 패턴이 있습니다.
- 분자를 살짝 바꿔 쓰면 $35 - c = 36 - (c + 1)$ 이므로, $\dfrac{35 - c}{c + 1} = \dfrac{36}{c+1} - 1$.
- 이 값이 자연수가 되려면 정확히 $c + 1$ 이 $36$ 의 약수여야 합니다.
- $36$ 의 약수는 $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$ 인데, $c \ge 1$ 이므로 $c+1 \ge 2$ 이고, $c+1 = 36$ 이면 빈 걸이가 하나도 안 남아($k = 0$) 탈락합니다.
- 결국 $c + 1 \in \{2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\}$.
💡 문제 전체가 결국 "$36$ 의 약수 짝 찾기" 라는 것을 알아채는 순간, 4학년 약수 단원의 일이 됩니다.
4.OA.A.3 단계 5 - 살아남은 $c$ 의 개수를 셉니다.
- $c + 1 \in \{2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\}$ 에서 $c \in \{1, 2, 3, 5, 8, 11, 17\}$ — 서로 다른 값 $7$ 가지, 즉 선택지 (D).
💡 조건을 통과한 후보 개수를 세는 것이 "몇 가지인가요?" 질문의 마지막 한 걸음입니다.
3.OA.B.6 상황을 그림으로 정리합니다. 코트를 $c$ 개 걸면 빈 걸이 $35 - c$ 개를 $c+1$ 묶음으로 똑같이 나눠야 하므로, 묶음 하나당 크기 4.OA.A.3 $c$ 가 가능한 값을 작은 쪽부터 차례로 나열합니다. 코트가 $c$ 개면 빈 걸이가 적어도 $c+1$ 개 필요하므로 $c + (c+1) \le 4.OA.B.4 각 $c$ 에 대해 $(35 - c) \div (c + 1)$ 이 자연수가 되는지 확인합니다. 자연수가 되면 그 $c$ 는 "성공". 4.OA.B.4 성공한 값들이 $c = 1, 2, 3, 5, 8, 11, 17$ 인 이유에 숨은 패턴이 있습니다. 분자를 살짝 바꿔 쓰면 $35 - c = 36 4.OA.A.3 살아남은 $c$ 의 개수를 셉니다. $c + 1 \in \{2, 3, 4, 6, 9, 12, 18\}$ 에서 $c \in {1, 2, 3, 5 검토
합리성 확인: 양 끝 값을 직접 그려서 점검해 봅시다. $c = 1$ 일 때 $k = 17$: "빈 $17$ + 코트 $1$ + 빈 $17$" $= 35$, 정확히 맞습니다. $c = 17$ 일 때 $k = 1$: "빈 $1$ + 코트 $1$" 패턴을 반복해 $1 + 17 \cdot 2 = 35$, 역시 맞습니다. 그래서 $\{1, 2, 3, 5, 8, 11, 17\}$ 은 빠짐도 더함도 없는 정답 집합. 또 답 (D) $=7$ 은 $36$ 의 약수 개수 $9$ 에서 양 끝 ($c=0$, $k=0$) 두 경우를 빼서 나오는 $9 - 2 = 7$ 과도 정확히 일치해, 함정인 (E) $=9$ 에 빠지지 않았다는 사실까지 확인됩니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기) 로는 "사이먼이 가장 좋아하는 인수분해" 한 방: $c + k(c+1) = 35$ 에 양변 $+1$ 을 하면 $(k+1)(c+1) = 36$, 두 인수가 모두 $\ge 2$ 인 $36$ 의 약수쌍을 세면 $7$. 같은 결론이지만 식 변형이 들어가는 중학교식 풀이입니다 — 우리는 도구 #2 와 #5 로 그 "$36$" 을 발견했기 때문에 4학년 약수 지식만으로 충분했습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.B.6나눗셈을 "빠진 곱셈인자" 문제로 이해하기 ($k = (35 - c) / (c + 1)$ 을 "남은 빈 걸이를 $c+1$ 묶음으로 똑같이 나눈다" 라는 3학년 등분제 의미로 세우는 데 사용.)4.OA.A.3네 가지 연산을 사용하는 자연수 다단계 문장제 해결 (코트 개수 후보를 차례로 나열·점검하고, 통과한 값의 개수를 세는 다단계 자연수 계산에 사용.)4.OA.B.4약수의 쌍을 모두 구하고 배수를 알아보기; 소수와 합성수 판별 ($c+1$ 이 $35-c$ 를 나누는지 확인하고, 그 조건이 결국 "$c+1$ 이 $36$ 의 약수" 와 같다는 사실을 활용해 $36$ 의 약수쌍 중 양쪽 모두 $\ge 2$ 인 것을 세는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "36의 약수 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 중학교 대수 없이도 OK!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "36의 약수 찾기" 만 알면 풀 수 있어요 — 중학교 대수 없이도 OK!
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