AMC 10 · 2019 · #4
쉬운 모드 학년 3문제
색깔 공이 가득 들어 있는 상자를 떠올려봅시다. 상자 안에는 이런 공들이 있어요.
- 빨간 공 28개
- 초록 공 20개
- 노란 공 19개
- 파란 공 13개
- 하얀 공 11개
- 검은 공 9개
상자 안을 보지 않고 한 번에 한 개씩 공을 꺼냅니다. 꺼낸 공은 다시 상자에 넣지 않아요.
운이 아주 나쁘더라도, 같은 색 공이 15개 이상 손에 들어오도록 만들고 싶습니다.
이것을 반드시 보장하려면, 적어도 몇 개의 공을 꺼내야 할까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2019 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 상자에 빨강 $28$, 초록 $20$, 노랑 $19$, 파랑 $13$, 흰색 $11$, 검정 $9$ 개의 공이 들어 있습니다. 다시 넣지 않고 보지 않고 공을 뽑을 때, 한 색깔의 공이 적어도 $15$ 개 뽑힌 것을 보장하려면 최소 몇 개를 뽑아야 할까요?
주어진 것: 색깔별 개수: 빨강 $28$, 초록 $20$, 노랑 $19$, 파랑 $13$, 흰색 $11$, 검정 $9$; 총 공의 개수: $28 + 20 + 19 + 13 + 11 + 9 = 100$; 다시 넣지 않고 뽑음; 목표: 한 색깔 공이 적어도 $15$ 개임을 보장; 선택지: (A) $75$, (B) $76$, (C) $79$, (D) $84$, (E) $91$
구하는 것: 한 색깔이 $15$ 개에 도달하도록 강제하는 최소 뽑기 수
이해
문제 재정리: 상자에 빨강 $28$, 초록 $20$, 노랑 $19$, 파랑 $13$, 흰색 $11$, 검정 $9$ 개의 공이 들어 있습니다. 다시 넣지 않고 보지 않고 공을 뽑을 때, 한 색깔의 공이 적어도 $15$ 개 뽑힌 것을 보장하려면 최소 몇 개를 뽑아야 할까요?
주어진 것: 색깔별 개수: 빨강 $28$, 초록 $20$, 노랑 $19$, 파랑 $13$, 흰색 $11$, 검정 $9$; 총 공의 개수: $28 + 20 + 19 + 13 + 11 + 9 = 100$; 다시 넣지 않고 뽑음; 목표: 한 색깔 공이 적어도 $15$ 개임을 보장; 선택지: (A) $75$, (B) $76$, (C) $79$, (D) $84$, (E) $91$
계획
주요 도구: #16 관점 바꾸기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
도구 #16(관점 바꾸기): '$15$ 개를 보장하려면 몇 번?' 대신 거꾸로 '어느 색도 $15$ 가 안 되게 최대한 뽑을 수 있는 수는?' 를 묻습니다. 그 최악의 수에 하나만 더 뽑으면 다음 공은 반드시 한 색을 $15$ 로 밀어 올립니다. 도구 #2(나열): 각 색깔별로 '$15$ 미만' 한도까지 뽑는 양을 적어 봅니다 — 큰 세 색은 $14$ 개씩, 작은 세 색은 전부. 도구 #3(가능성 지우기): 선택지 $75, 76, 79, 84, 91$ 의 차이는 작아서 최악 합 $75$ 만 구하면 답은 $75 + 1 = 76$, 즉 (B) 가 곧장 골라집니다.
실행 — 정답: B
3.OA.A.3 단계 1 - $15$ 에 도달할 수 있는 색깔을 가립니다.
- 빨강 ($28$), 초록 ($20$), 노랑 ($19$) 만이 $15$ 개 이상 — 이 셋만 $15$ 에 닿을 수 있어요.
- 파랑 ($13$), 흰색 ($11$), 검정 ($9$) 은 전부 뽑아도 $15$ 에 못 미치므로 '승리 색깔'이 될 수 없습니다.
💡 $\ge 15$ 개를 가진 색깔만 '경계선'을 넘을 수 있어요.
1.OA.A.2 단계 2 - 최악의 '$15$ 회피' 뽑기를 짭니다.
- $15$ 에 닿을 수 있는 색깔(빨강·초록·노랑)은 $15$ 미만의 최대치인 $14$ 개씩.
- 도달 불가능한 색깔(파랑·흰색·검정)은 전부 뽑아도 승리에 기여하지 않으니 모두 뽑습니다.
💡 어느 색도 $15$ 가 안 되게, 최대한 많이 뽑기.
2.NBT.B.5 단계 3 - 최악 합을 계산.
- 큰 세 색: $14 + 14 + 14 = 42$.
- 작은 세 색: $13 + 11 + 9 = 33$.
- 총 $42 + 33 = 75$ 개를 뽑아도 어느 색도 $15$ 에 도달하지 않습니다.
💡 $75$ 가 '운 나쁜' 뽑기의 최대 — 그래도 승리 색은 없어요.
1.OA.A.1 단계 4 - $75$ 번 후에는 상자에 빨강·초록·노랑만 남고 (파랑·흰색·검정은 다 빠짐), 그래서 $76$ 번째 공은 반드시 빨강·초록·노랑 중 하나 — 그 색은 $14$ 에서 $15$ 로 밀려 올라갑니다.
- 따라서 $76$ 번이면 한 색깔 $15$ 개를 보장합니다.
💡 최악 뒤에 한 번만 더 뽑으면 성공이 강제됩니다.
1.NBT.B.3 단계 5 - 다른 선택지 제거.
- $75$ 는 실패가 가능한 한도이므로 (A) 는 보장 X.
- $79$, $84$, $91$ 은 보장은 되지만 필요 이상으로 큼 — '최소'를 묻는 문제이니 과잉.
- 정확히 최소이면서 충분한 건 (B) $76$ 뿐.
💡 $76$ 만이 '항상 통하면서 가장 작은' 수.
3.OA.A.3 $15$ 에 도달할 수 있는 색깔을 가립니다. 빨강 ($28$), 초록 ($20$), 노랑 ($19$) 만이 $15$ 개 이상 — 이 셋만 $1 1.OA.A.2 최악의 '$15$ 회피' 뽑기를 짭니다. $15$ 에 닿을 수 있는 색깔(빨강·초록·노랑)은 $15$ 미만의 최대치인 $14$ 개씩. 도달 불가 2.NBT.B.5 최악 합을 계산. 큰 세 색: $14 + 14 + 14 = 42$. 작은 세 색: $13 + 11 + 9 = 33$. 총 $42 + 33 = 7 1.OA.A.1 $75$ 번 후에는 상자에 빨강·초록·노랑만 남고 (파랑·흰색·검정은 다 빠짐), 그래서 $76$ 번째 공은 반드시 빨강·초록·노랑 중 하나 — 1.NBT.B.3 다른 선택지 제거. $75$ 는 실패가 가능한 한도이므로 (A) 는 보장 X. $79$, $84$, $91$ 은 보장은 되지만 필요 이상으로 큼 검토
합리성 확인: 최악 합을 확인. $14 + 14 + 14 = 42$, $13 + 11 + 9 = 33$, 총 $42 + 33 = 75$ — 어느 색도 $15$ 가 아님. $76$ 번째에는 상자에 빨강·초록·노랑만 남아 그중 하나가 $14 \to 15$ 로 올라갑니다. 따라서 $76$ 은 달성 가능(전략이 존재)이고 또한 정확한 최소(한 번도 뺄 수 없음).
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인) 으로 선택지 직접 점검. (A) $75$: 빨강 $14$, 초록 $14$, 노랑 $14$, 그리고 파랑·흰색·검정 모두 $13 + 11 + 9 = 33$ — 합 $75$ 인데 어느 색도 $15$ 가 아님, 실패. (B) $76$: 작은 색 $33$ 개가 동나 큰 세 색의 $14$ 상한이 동시에 유지 불가 — 하나가 $15$ 로 깨짐, 성공.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
1.OA.A.120 이내 덧셈·뺄셈 문장제 풀기 (최악 합에 하나 더하기 ($75 + 1 = 76$).)1.OA.A.2세 수의 합이 20 이내인 문장제 풀기 ($15$ 미만의 최대치 ($14$) 를 각 큰 색에 선택.)1.NBT.B.3두 자리 수를 부호로 비교 ($79, 84, 91 > 76$ 으로 과잉 선택지 제거.)2.NBT.B.5100 이내 덧셈·뺄셈 능숙하게 (최악 합 $14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$ 계산.)3.OA.A.3100 이내 곱셈·나눗셈 문장제 풀기 (보유량 상한을 따져 $15$ 도달 가능 색깔을 가리기.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 3학년 "문장제로 따져 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 어느 색도 $15$ 가 안 되게 최대한 뽑은 수 ($14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$) 에 하나만 더하면 답은 $76$ 이에요!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 3학년 "문장제로 따져 보기" 만 알면 풀 수 있어요 — 어느 색도 $15$ 가 안 되게 최대한 뽑은 수 ($14 + 14 + 14 + 13 + 11 + 9 = 75$) 에 하나만 더하면 답은 $76$ 이에요!
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