AMC 8 · 2004 · #4

학년 3 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

combinations-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

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문제

Ms. Hamilton’s eighth-grade class wants to participate in the annual three-person-team basketball tournament.

Lance, Sally, Joy, and Fred are chosen for the team. In how many ways can the three starters be chosen?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: Lance, Sally, Joy, Fred 네 명의 선수 중 세 명을 선발로 뽑습니다. 선발 3명을 고르는 서로 다른 방법은 몇 가지일까요?

주어진 것: 선수는 $4$ 명: Lance, Sally, Joy, Fred; 매번 정확히 $3$ 명이 선발로 뛴다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $10$

구하는 것: 서로 다른 선발 $3$ 인조의 개수

이해

문제 재정리: Lance, Sally, Joy, Fred 네 명의 선수 중 세 명을 선발로 뽑습니다. 선발 3명을 고르는 서로 다른 방법은 몇 가지일까요?

주어진 것: 선수는 $4$ 명: Lance, Sally, Joy, Fred; 매번 정확히 $3$ 명이 선발로 뛴다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $10$

계획

주요 도구: #2 체계적으로 나열하기

선수가 $4$ 명, 뽑는 인원이 $3$ 명이라 모든 경우가 짧은 목록 하나에 다 들어갑니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기)가 가장 알맞은 접근입니다 — 선수 순서를 고정한 다음 가능한 조 하나씩 빠짐없이 한 번만 적으면 됩니다. 도구 #13(대수)이나 $\binom{4}{3}$ 공식까지 갈 필요가 없습니다. 또한 나열을 하다 보면 자연스럽게 보이는 지름길도 있습니다 — $3$ 명을 "뛰게 하는" 것은 $1$ 명을 "빼는" 것과 같으므로, 답은 선수 수와 같은 $4$ 가 됩니다.

실행 — 정답: B

#2 체계적으로 나열하기 2.OA.A.1 단계 1

네 선수에 고정 순서를 정해 목록이 중복되거나 빠지지 않게 합니다.
L(Lance), S(Sally), J(Joy), F(Fred)로 부릅시다.

$$\text{선수} = \{L, S, J, F\}$$

💡 선수를 한 글자로 부르면 목록이 짧아지고 한눈에 들어옵니다.

#2 체계적으로 나열하기 3.OA.A.3 단계 2

$\{L, S, J, F\}$ 에서 $3$ 명짜리 조를 모두 적습니다.
정한 순서대로 한 명씩 빼고, 남은 세 명을 한 조로 묶습니다.

$$\{S, J, F\},\; \{L, J, F\},\; \{L, S, F\},\; \{L, S, J\}$$

💡 각 줄은 "빠진 사람"으로 이름이 정해집니다 — L 빼기, S 빼기, J 빼기, F 빼기. 이 체계 덕분에 어떤 조도 빠지거나 두 번 세지지 않습니다.

#2 체계적으로 나열하기 2.OA.A.1 단계 3

목록의 조 수를 세고 선택지와 맞춥니다.

$$4 \text{ 개 조} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 빠질 수 있는 선수 한 명마다 한 조씩 생기므로, 개수는 선수 수와 같습니다.

[1] #2 2.OA.A.1 네 선수에 고정 순서를 정해 목록이 중복되거나 빠지지 않게 합니다. L(Lance), S(Sally), J(Joy), F(Fred)로 부릅시다.

[2] #2 3.OA.A.3 $\{L, S, J, F\}$ 에서 $3$ 명짜리 조를 모두 적습니다. 정한 순서대로 한 명씩 빼고, 남은 세 명을 한 조로 묶습니다.

[3] #2 2.OA.A.1 목록의 조 수를 세고 선택지와 맞춥니다.

검토

합리성 확인: 답은 최소 $1$(가능한 조가 적어도 하나) 이상이고, 순서까지 따지면 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 가지가 되니 그 이하여야 합니다. 같은 $3$ 명을 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 가지 순서로 적을 수 있으니, 순서를 무시한 개수는 $24 \div 6 = 4$ 가 되어 (B) 와 일치합니다. 함정 선택지 (C) $6$ 은 $4$ 명 중 "순서 없는 쌍"의 수($4 \times 3 \div 2$); (D) $8$ 은 두 자리에 순서가 있는 것처럼 두 배로 센 값; (E) $10$ 은 $\binom{5}{3}$ 로 선수 수를 잘못 쓴 경우입니다.

대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기): "$3$ 명을 뽑는다"는 "$1$ 명을 뺀다"와 같습니다. 선수가 $4$ 명이므로 빼는 방법이 $4$ 가지, 따라서 가능한 선발 조도 $4$ 가지입니다. 목록을 적지 않아도 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

2.OA.A.1 $100$ 이내 덧셈·뺄셈으로 1~2단계 문장제 해결 (선수 집합을 정하고 최종 목록의 조 수를 작은 자연수로 세는 데 사용.)
3.OA.A.3 곱셈·나눗셈을 이용한 문장제 해결 (같은 묶음·배열·측정) ($4$ 명에서 $3$ 명짜리 조를 체계적인 순서로 나열해 각 조를 정확히 한 번씩만 세는 데 사용.)

⭐ 선수가 몇 명 안 될 때는 가능한 조를 직접 적는 것이 어떤 공식보다 빠릅니다 — 게다가 $3$ 명 뽑기를 $1$ 명 빼기로 바꿔 보면 답은 곧장 보입니다. 이 시점만 잡으면 이 AMC 8 문제는 3학년 체계적 나열 문제로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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