AMC 10 · 2020 · #17
쉬운 모드 학년 4문제
10명이 원 모양으로 같은 간격을 두고 서 있다고 생각해 봅시다.
각 사람은 다른 9명 중에서 정확히 3명을 알고 있어요.
- 자기 바로 왼쪽에 서 있는 사람,
- 자기 바로 오른쪽에 서 있는 사람,
- 그리고 원의 정반대편에 서 있는 사람입니다.
이 10명을 두 명씩 짝지어서 5쌍을 만들려고 합니다. 단, 같은 쌍이 된 두 사람은 서로 아는 사이여야 합니다.
이렇게 짝을 짓는 방법은 모두 몇 가지일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 원 둘레에 $10$ 명이 같은 간격으로 서 있습니다. 각 사람은 다른 $9$ 명 중 정확히 $3$ 명만 압니다 — 양 옆 이웃 $2$ 명과 원 반대편의 $1$ 명. $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶을 때, 각 쌍의 두 사람이 서로 아는 사이가 되도록 하는 방법의 수를 구하세요.
주어진 것: 원 둘레에 같은 간격으로 $10$ 명 ($0, 1, \dots, 9$ 로 번호); $i$ 번 사람은 $i - 1$, $i + 1$ (이웃, 모두 $\bmod\, 10$) 과 $i + 5$ (정반대, '지름') 을 안다; 지름은 정확히 $5$ 개: $(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9)$; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$
구하는 것: $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶는 유효한 방법의 수
이해
문제 재정리: 원 둘레에 $10$ 명이 같은 간격으로 서 있습니다. 각 사람은 다른 $9$ 명 중 정확히 $3$ 명만 압니다 — 양 옆 이웃 $2$ 명과 원 반대편의 $1$ 명. $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶을 때, 각 쌍의 두 사람이 서로 아는 사이가 되도록 하는 방법의 수를 구하세요.
주어진 것: 원 둘레에 같은 간격으로 $10$ 명 ($0, 1, \dots, 9$ 로 번호); $i$ 번 사람은 $i - 1$, $i + 1$ (이웃, 모두 $\bmod\, 10$) 과 $i + 5$ (정반대, '지름') 을 안다; 지름은 정확히 $5$ 개: $(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9)$; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기
도구 #1 (그림): $10$ 각형과 $5$ 개의 지름을 그리면 가능한 쌍 종류 (이웃 변 또는 지름) 가 한눈에 보입니다. 도구 #7 (쪼개기): 사용한 지름의 수 $k$ 로 경우를 나눕니다 ($k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$). 각 경우에서 지름에 안 들어간 사람들은 이웃끼리만 짝지어져야 함. 도구 #2 (나열): 각 경우 안에서 순서대로 빠짐없이 나열하면 중복·누락 없음.
실행 — 정답: C
4.OA.C.5 단계 1 - 사람을 $0, 1, \dots, 9$ 로 번호 매김.
- 각 쌍은 이웃 변 또는 지름.
- 사용한 지름의 수 $k$ 로 경우 분류.
- 지름에 들어가지 않은 사람들은 이웃끼리만 짝짓기.
💡 사용한 지름 수로 경우를 가른다.
4.OA.C.5 단계 2 - 경우 $k = 5$ (지름 모두 사용).
- 모든 사람이 반대편 사람과 짝지어짐.
- $1$ 가지.
💡 지름 다섯 개 모두 — 단 한 방법.
4.G.A.1 단계 3 - 경우 $k = 4$.
- 네 지름 사용 → 남은 두 사람은 안 쓴 지름의 양 끝.
- 둘은 정반대 (지름 거리), 이웃이 아니므로 짝지을 수 없음 (지름 사용은 제외 가정).
- 불가능.
- $0$ 가지.
💡 지름 하나 빼면 정반대 두 사람만 남아 합법 변 없음.
4.OA.C.5 단계 4 - 경우 $k = 3$.
- 세 지름 사용 → 남은 네 사람은 양쪽 두 호에 각각 위치.
- 이웃끼리만 짝지을 수 있으려면 안 쓴 두 지름이 지름 사이클 ($5$ 개) 에서 '인접' 해야 양쪽 호에 두 이웃씩 남음.
- 길이 $5$ 사이클에서 인접한 쌍은 $5$ 가지.
💡 안 쓴 두 지름이 옆에 붙어야 남은 사람들이 이웃 쌍이 됨.
4.G.A.1 단계 5 - 경우 $k = 2$.
- 두 지름 사용 → 남은 여섯 사람은 양쪽 호 셋씩.
- 세 명의 연속 이웃은 이웃 변으로 완벽 짝짓기 불가 (한 명이 남음).
- 불가능.
- $0$ 가지.
💡 세 명을 이웃 변만으로 묶을 순 없음.
4.OA.C.5 단계 6 - 경우 $k = 1$.
- 다섯 지름 중 하나 선택 ($5$ 가지).
- 남은 여덟 사람은 양쪽 호 넷씩 ($4$ 연속 이웃).
- 호 하나당 이웃 짝짓기 방법은 $1$ 가지.
- 총 $5 \cdot 1 = 5$.
💡 지름 하나 고르면 양쪽 $4$ 연속 호의 이웃 짝짓기는 유일.
4.OA.C.5 단계 7 - 경우 $k = 0$ (지름 없음).
- 모든 쌍이 이웃 변.
- $10$ 사이클의 완벽 짝짓기는 정확히 $2$ 가지: $(0,1)(2,3)(4,5)(6,7)(8,9)$ 와 $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,0)$.
💡 원탁 $10$ 자리의 이웃 짝짓기는 짝-홀 또는 홀-짝 두 가지.
1.OA.A.2 단계 8 - 경우별 합: $1 + 5 + 5 + 2 = 13$.
- 선택지 (C) 와 일치.
💡 배타적 경우들 — 단순 합.
4.OA.C.5 사람을 $0, 1, \dots, 9$ 로 번호 매김. 각 쌍은 이웃 변 또는 지름. 사용한 지름의 수 $k$ 로 경우 분류. 지름에 들어가지 않 4.OA.C.5 경우 $k = 5$ (지름 모두 사용). 모든 사람이 반대편 사람과 짝지어짐. $1$ 가지. 4.G.A.1 경우 $k = 4$. 네 지름 사용 → 남은 두 사람은 안 쓴 지름의 양 끝. 둘은 정반대 (지름 거리), 이웃이 아니므로 짝지을 수 없음 (지 4.OA.C.5 경우 $k = 3$. 세 지름 사용 → 남은 네 사람은 양쪽 두 호에 각각 위치. 이웃끼리만 짝지을 수 있으려면 안 쓴 두 지름이 지름 사이클 4.G.A.1 경우 $k = 2$. 두 지름 사용 → 남은 여섯 사람은 양쪽 호 셋씩. 세 명의 연속 이웃은 이웃 변으로 완벽 짝짓기 불가 (한 명이 남음). 4.OA.C.5 경우 $k = 1$. 다섯 지름 중 하나 선택 ($5$ 가지). 남은 여덟 사람은 양쪽 호 넷씩 ($4$ 연속 이웃). 호 하나당 이웃 짝짓기 4.OA.C.5 경우 $k = 0$ (지름 없음). 모든 쌍이 이웃 변. $10$ 사이클의 완벽 짝짓기는 정확히 $2$ 가지: $(0,1)(2,3)(4,5)(6 1.OA.A.2 경우별 합: $1 + 5 + 5 + 2 = 13$. 선택지 (C) 와 일치. 검토
합리성 확인: 답 $13$ 은 선택지 범위 $11$ -- $15$ 중간에 위치하며, 큰 기여 케이스 두 개 ($k = 1$ 과 $k = 3$ 이 각각 $5$) 와 작은 케이스 두 개 ($k = 0$ 의 $2$, $k = 5$ 의 $1$) 의 합 $5 + 5 + 2 + 1 = 13$ 으로 자연스러움. 불가능 케이스 ($k = 2, 4$) 는 그림으로 즉시 이해됨 — 남은 호의 길이가 홀수거나 반대편 두 사람만 남기 때문.
대안 접근: 도구 #2 (나열) 직접 사용: 정점 $0$-$9$ 와 변 $\{i, i+1\}$, $\{i, i+5\}$ 로 된 그래프의 완벽 짝짓기를 모두 나열. 정점 $0$ 이 들어가는 변 세 가지 ($\{0,1\}, \{0,9\}, \{0,5\}$) 로 분기 후 재귀적으로 짝짓기 → 같은 $13$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
1.OA.A.2세 자연수의 합이 $20$ 이내인 문장제 해결 (경우별 기여 $1 + 5 + 5 + 2 = 13$ 합산.)4.OA.C.5주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 생성 (각 경우에서 '모든 쌍은 이웃 변이거나 지름' 규칙에 따라 구성의 수를 셈.)4.G.A.1점·선·선분·반직선·각 그리기·도형에서 식별 (원 둘레의 $10$ 점과 $5$ 개 지름을 그려 남은 호가 이웃 짝짓기 가능한지 확인.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 4학년 때 배운 경우 나누기 세기만 알면 풀 수 있어요 — 원 둘레의 $10$ 명을 그리고 사용한 지름 수 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 로 나눠 세면 $2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 1 = 13$. 답은 $\textbf{(C)}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 4학년 때 배운 경우 나누기 세기만 알면 풀 수 있어요 — 원 둘레의 $10$ 명을 그리고 사용한 지름 수 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 로 나눠 세면 $2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 1 = 13$. 답은 $\textbf{(C)}$.
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