systematic-enumerationcombinations-basicsymmetry-argumentcaseworkidentify-subproblemssystematic-enumeration↑ 선수 지식:systematic-enumerationcombinations-basic
There are 10 people standing equally spaced around a circle. Each person knows exactly 3 of the other 9 people: the 2 people standing next to her or him, as well as the person directly across the circle. How many ways are there for the 10 people to split up into 5 pairs so that the members of each pair know each other?
문제 재정리: 원 둘레에 $10$ 명이 같은 간격으로 서 있습니다. 각 사람은 다른 $9$ 명 중 정확히 $3$ 명만 압니다 — 양 옆 이웃 $2$ 명과 원 반대편의 $1$ 명. $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶을 때, 각 쌍의 두 사람이 서로 아는 사이가 되도록 하는 방법의 수를 구하세요.
주어진 것: 원 둘레에 같은 간격으로 $10$ 명 ($0, 1, \dots, 9$ 로 번호); $i$ 번 사람은 $i - 1$, $i + 1$ (이웃, 모두 $\bmod\, 10$) 과 $i + 5$ (정반대, '지름') 을 안다; 지름은 정확히 $5$ 개: $(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9)$; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$
구하는 것: $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶는 유효한 방법의 수
이해
문제 재정리: 원 둘레에 $10$ 명이 같은 간격으로 서 있습니다. 각 사람은 다른 $9$ 명 중 정확히 $3$ 명만 압니다 — 양 옆 이웃 $2$ 명과 원 반대편의 $1$ 명. $10$ 명을 $5$ 쌍으로 묶을 때, 각 쌍의 두 사람이 서로 아는 사이가 되도록 하는 방법의 수를 구하세요.
주어진 것: 원 둘레에 같은 간격으로 $10$ 명 ($0, 1, \dots, 9$ 로 번호); $i$ 번 사람은 $i - 1$, $i + 1$ (이웃, 모두 $\bmod\, 10$) 과 $i + 5$ (정반대, '지름') 을 안다; 지름은 정확히 $5$ 개: $(0,5), (1,6), (2,7), (3,8), (4,9)$; 선택지: (A) $11$, (B) $12$, (C) $13$, (D) $14$, (E) $15$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #2 빠짐없이 나열하기
도구 #1 (그림): $10$ 각형과 $5$ 개의 지름을 그리면 가능한 쌍 종류 (이웃 변 또는 지름) 가 한눈에 보입니다. 도구 #7 (쪼개기): 사용한 지름의 수 $k$ 로 경우를 나눕니다 ($k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$). 각 경우에서 지름에 안 들어간 사람들은 이웃끼리만 짝지어져야 함. 도구 #2 (나열): 각 경우 안에서 순서대로 빠짐없이 나열하면 중복·누락 없음.
실행 — 정답: C
#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.C.5단계 1
사람을 $0, 1, \dots, 9$ 로 번호 매김.
각 쌍은 이웃 변 또는 지름.
사용한 지름의 수 $k$ 로 경우 분류.
지름에 들어가지 않은 사람들은 이웃끼리만 짝짓기.
$$k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \text{ 로 분류}$$
💡 사용한 지름 수로 경우를 가른다.
#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5단계 2
경우 $k = 5$ (지름 모두 사용).
모든 사람이 반대편 사람과 짝지어짐.
$1$ 가지.
$$\#\{k = 5\} = 1$$
💡 지름 다섯 개 모두 — 단 한 방법.
#1 그림 그리기 4.G.A.1단계 3
경우 $k = 4$.
네 지름 사용 → 남은 두 사람은 안 쓴 지름의 양 끝.
둘은 정반대 (지름 거리), 이웃이 아니므로 짝지을 수 없음 (지름 사용은 제외 가정).
불가능.
$0$ 가지.
$$\#\{k = 4\} = 0$$
💡 지름 하나 빼면 정반대 두 사람만 남아 합법 변 없음.
#1 그림 그리기 4.OA.C.5단계 4
경우 $k = 3$.
세 지름 사용 → 남은 네 사람은 양쪽 두 호에 각각 위치.
이웃끼리만 짝지을 수 있으려면 안 쓴 두 지름이 지름 사이클 ($5$ 개) 에서 '인접' 해야 양쪽 호에 두 이웃씩 남음.
길이 $5$ 사이클에서 인접한 쌍은 $5$ 가지.
$$\#\{k = 3\} = 5$$
💡 안 쓴 두 지름이 옆에 붙어야 남은 사람들이 이웃 쌍이 됨.
#1 그림 그리기 4.G.A.1단계 5
경우 $k = 2$.
두 지름 사용 → 남은 여섯 사람은 양쪽 호 셋씩.
세 명의 연속 이웃은 이웃 변으로 완벽 짝짓기 불가 (한 명이 남음).
불가능.
$0$ 가지.
$$\#\{k = 2\} = 0$$
💡 세 명을 이웃 변만으로 묶을 순 없음.
#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.C.5단계 6
경우 $k = 1$.
다섯 지름 중 하나 선택 ($5$ 가지).
남은 여덟 사람은 양쪽 호 넷씩 ($4$ 연속 이웃).
호 하나당 이웃 짝짓기 방법은 $1$ 가지.
총 $5 \cdot 1 = 5$.
$$\#\{k = 1\} = 5 \cdot 1 \cdot 1 = 5$$
💡 지름 하나 고르면 양쪽 $4$ 연속 호의 이웃 짝짓기는 유일.
#1 그림 그리기 4.OA.C.5단계 7
경우 $k = 0$ (지름 없음).
모든 쌍이 이웃 변.
$10$ 사이클의 완벽 짝짓기는 정확히 $2$ 가지: $(0,1)(2,3)(4,5)(6,7)(8,9)$ 와 $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,0)$.
합리성 확인: 답 $13$ 은 선택지 범위 $11$ -- $15$ 중간에 위치하며, 큰 기여 케이스 두 개 ($k = 1$ 과 $k = 3$ 이 각각 $5$) 와 작은 케이스 두 개 ($k = 0$ 의 $2$, $k = 5$ 의 $1$) 의 합 $5 + 5 + 2 + 1 = 13$ 으로 자연스러움. 불가능 케이스 ($k = 2, 4$) 는 그림으로 즉시 이해됨 — 남은 호의 길이가 홀수거나 반대편 두 사람만 남기 때문.
대안 접근: 도구 #2 (나열) 직접 사용: 정점 $0$-$9$ 와 변 $\{i, i+1\}$, $\{i, i+5\}$ 로 된 그래프의 완벽 짝짓기를 모두 나열. 정점 $0$ 이 들어가는 변 세 가지 ($\{0,1\}, \{0,9\}, \{0,5\}$) 로 분기 후 재귀적으로 짝짓기 → 같은 $13$.
4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 생성 (각 경우에서 '모든 쌍은 이웃 변이거나 지름' 규칙에 따라 구성의 수를 셈.)
4.G.A.1 점·선·선분·반직선·각 그리기·도형에서 식별 (원 둘레의 $10$ 점과 $5$ 개 지름을 그려 남은 호가 이웃 짝짓기 가능한지 확인.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 4학년 때 배운 경우 나누기 세기만 알면 풀 수 있어요 — 원 둘레의 $10$ 명을 그리고 사용한 지름 수 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 로 나눠 세면 $2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 1 = 13$. 답은 $\textbf{(C)}$.
⭐ 이 AMC 10 문제는 4학년 때 배운 경우 나누기 세기만 알면 풀 수 있어요 — 원 둘레의 $10$ 명을 그리고 사용한 지름 수 $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ 로 나눠 세면 $2 + 5 + 0 + 5 + 0 + 1 = 13$. 답은 $\textbf{(C)}$.