AMC 10 · 2022 · #1
쉬운 모드 학년 5문제
세 층으로 쌓인 분수를 떠올려 봅시다. 각 층은 "3 더하기, 1을 다음 층으로 나눈 값" 모양이에요. 가장 아래층은 3+31 입니다.
그래서 전체 식은 다음과 같습니다. 3+3+3+3111.
이 식의 값은 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 3중 연분수 $3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3}}}$ 의 값을 구해 다섯 선택지 중 하나와 일치시키세요.
주어진 것: 세 겹으로 쌓인 연분수 — 각 층이 $3 + \dfrac{1}{\square}$ 모양; 가장 안쪽 층은 $3 + \dfrac{1}{3}$; 선택지: (A) $\dfrac{31}{10}$, (B) $\dfrac{49}{15}$, (C) $\dfrac{33}{10}$, (D) $\dfrac{109}{33}$, (E) $\dfrac{15}{4}$
구하는 것: 전체 연분수의 정확한 값을 하나의 분수로
이해
문제 재정리: 3중 연분수 $3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3+\frac{1}{3}}}$ 의 값을 구해 다섯 선택지 중 하나와 일치시키세요.
주어진 것: 세 겹으로 쌓인 연분수 — 각 층이 $3 + \dfrac{1}{\square}$ 모양; 가장 안쪽 층은 $3 + \dfrac{1}{3}$; 선택지: (A) $\dfrac{31}{10}$, (B) $\dfrac{49}{15}$, (C) $\dfrac{33}{10}$, (D) $\dfrac{109}{33}$, (E) $\dfrac{15}{4}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #11 거꾸로 풀기
표현식이 세 겹으로 겹쳐 있어 왼쪽에서 오른쪽으로 풀 수 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)는 거대한 분수를 똑같은 세 개의 작은 일 — "이미 아는 값을 $\square$ 에 넣어 $3 + \dfrac{1}{\square}$ 계산하기" — 로 나눠 줍니다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 출발점을 알려 줍니다 — 가장 깊은 층에서 시작해 바깥으로 올라가며 방금 구한 값을 다음 $\square$ 에 넣는 것. 미지수가 없으니 대수(#13)는 과합니다 — 겹친 구조 자체가 길을 보여 줍니다.
실행 — 정답: D
5.NF.A.1 단계 1 - 가장 안쪽 층 $3 + \dfrac{1}{3}$ 을 계산.
- $3$ 을 $\dfrac{9}{3}$ 로 바꿔 공통 분모를 만든 뒤 더합니다.
💡 자연수와 단위분수의 덧셈 — $3$ 을 $\dfrac{9}{3}$ 로 바꿔 더하는 5학년 "다른 분모" 표준 그대로.
5.NF.B.3 단계 2 - 가장 안쪽 $\square$ 에 $\dfrac{10}{3}$ 을 대입.
- 중간 층은 $3 + \dfrac{1}{10/3}$.
- $1$ 을 $\dfrac{10}{3}$ 으로 나누는 것은 그 역수를 곱하는 것 — 따라서 $\dfrac{1}{10/3} = \dfrac{3}{10}$.
💡 "$1$ 을 분수로 나누기" 는 분수를 뒤집는 것과 같음 — 분수를 나눗셈으로 읽는 5학년 사고.
5.NF.A.1 단계 3 - 중간 층을 마무리: $3 + \dfrac{3}{10}$.
- $3$ 을 $\dfrac{30}{10}$ 으로 다시 쓰고 더합니다.
💡 똑같은 5학년 "공통 분모" 기법 — 중간 층이 깔끔한 분수로 정리됩니다.
5.NF.A.1 단계 4 - 바깥 층으로 올라가 $\square$ 에 $\dfrac{33}{10}$ 을 대입.
- 뒤집으면 $\dfrac{1}{33/10} = \dfrac{10}{33}$, 이를 $3 = \dfrac{99}{33}$ 에 더합니다.
💡 마지막 한 번 "뒤집고 공통 분모로 더하기" 로 등반 완료 — 처음부터 끝까지 5학년 분수 작업.
5.NF.A.1 가장 안쪽 층 $3 + \dfrac{1}{3}$ 을 계산. $3$ 을 $\dfrac{9}{3}$ 로 바꿔 공통 분모를 만든 뒤 더합니다. 5.NF.B.3 가장 안쪽 $\square$ 에 $\dfrac{10}{3}$ 을 대입. 중간 층은 $3 + \dfrac{1}{10/3}$. $1$ 을 $\dfr 5.NF.A.1 중간 층을 마무리: $3 + \dfrac{3}{10}$. $3$ 을 $\dfrac{30}{10}$ 으로 다시 쓰고 더합니다. 5.NF.A.1 바깥 층으로 올라가 $\square$ 에 $\dfrac{33}{10}$ 을 대입. 뒤집으면 $\dfrac{1}{33/10} = \dfrac{10 검토
합리성 확인: 크기 점검. 각 층이 대략 "$3 + \dfrac{1}{3\text{ 보다 조금 큰 수}}$" 이므로 전체 값은 $3$ 보다 살짝 크고 $4$ 보다는 한참 작아야 합니다. $\dfrac{109}{33} \approx 3.303$ 이 딱 그 범위에 들어옵니다. 선택지 (C) $\dfrac{33}{10} = 3.3$ 은 중간 층의 값(한 단계 일찍 멈춘 함정), (D) 가 진짜 바깥 층 값으로 정답과 일치.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) + 소수 어림. 각 선택지의 소수값: (A) $3.1$, (B) $\approx 3.27$, (C) $3.3$, (D) $\approx 3.303$, (E) $3.75$. 머릿속으로 빠르게 — 안쪽 $\approx 3.33$, 중간 $\approx 3 + 1/3.33 \approx 3.3$, 바깥 $\approx 3 + 1/3.3 \approx 3.303$ — (D) 로 곧장 떨어집니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.NF.A.1분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 (각 층에서 $3 + \dfrac{1}{3}$, $3 + \dfrac{3}{10}$, $3 + \dfrac{10}{33}$ 을 자연수에 알맞은 공통 분모를 붙여 더하는 데 사용.)5.NF.B.3분수를 분자÷분모로 해석하기 ($\dfrac{1}{10/3}$ 을 $1 \div \dfrac{10}{3} = \dfrac{3}{10}$ 으로 읽는 각 층의 "뒤집기" 단계.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "분모 다른 분수 더하기 + 분수 뒤집기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 안쪽 $\dfrac{1}{3}$ 부터 한 층씩 바깥으로 올라가면 끝!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 "분모 다른 분수 더하기 + 분수 뒤집기" 만 알면 풀 수 있어요 — 가장 안쪽 $\dfrac{1}{3}$ 부터 한 층씩 바깥으로 올라가면 끝!
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