AMC 10 · 2023 · #1

쉬운 모드 학년 5

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문제

똑같이 생긴 컵 4개가 있다고 생각해봅시다. 존스 부인이 네 아들에게 오렌지 주스를 따라 주려고 합니다.

먼저 컵 세 개를 끝까지 가득 채웠습니다. 그런데 주스가 떨어졌어요. 네 번째 컵은 $\frac{1}{3}$ 만큼만 채워졌습니다.

존스 부인은 네 컵 모두에 주스가 같은 양만큼 담기길 원합니다. 그래서 가득 찬 세 컵에서 조금씩 덜어 네 번째 컵에 부어주려고 합니다.

세 컵 각각에서 얼마만큼 덜어내야 할까요? 한 컵의 몇 분의 몇만큼 부어야 하는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{12}$

(B)

$frac{1}{4}$

(C)

$frac{1}{6}$

(D)

$frac{1}{8}$

(E)

$frac{2}{9}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 잔은 가득, 네 번째 잔은 $\frac{1}{3}$ 만 차 있습니다. 네 잔이 모두 같은 양이 되려면 가득 찬 잔 각각에서 얼마만큼($x$)을 네 번째 잔으로 옮겨야 하는지 구하세요.

주어진 것: $1$번, $2$번, $3$번 잔은 각각 한 잔 ($1$)만큼 들어 있음; $4$번 잔은 $\frac{1}{3}$ 만큼 들어 있음; 네 잔은 모두 똑같은 크기; 선택지: (A) $\frac{1}{12}$, (B) $\frac{1}{4}$, (C) $\frac{1}{6}$, (D) $\frac{1}{8}$, (E) $\frac{2}{9}$

구하는 것: 가득 찬 잔 각각에서 $4$번 잔으로 옮길 양 $x$ (한 잔에 대한 분수)

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #11 거꾸로 풀기

문제 안에 숨어 있는 더 쉬운 문제는 결국 "평균 구하기"입니다 — 모든 주스를 한데 모아 같은 크기의 잔 $4$ 개에 똑같이 나누면 각 잔에 얼마가 들어갈까? 도구 #9가 "옮기는 양" 대신 "목표 높이"를 묻는 문제로 다시 짭니다. 목표 높이를 알면 도구 #11(거꾸로 풀기)이 마무리 — 가득 찬 잔은 $1$ 에서 그 목표까지 줄어야 하므로, 따라낸 양은 두 값의 차입니다. 도구 #1로 네 개의 막대잔을 그려 두면 총량 보존이 그림으로 보입니다.

실행 — 정답: C

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.A.1 단계 1

현재 네 잔에 들어 있는 주스를 모두 더해 총량을 구합니다.
잔 사이로 옮길 뿐이라 총량은 옮기기 전과 후가 같습니다.

$$\text{총량} = 1 + 1 + 1 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{3} \text{ 잔}$$

💡 $1$ 을 세 번, 그리고 $\frac{1}{3}$ 을 더하는 것은 5학년 분수 덧셈.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 5.NF.B.7 단계 2

그 총량을 네 잔에 똑같이 나눕니다.
이 값이 옮기기를 끝낸 뒤 각 잔이 가져야 할 목표 양입니다.

$$\text{잔당 목표} = \dfrac{10/3}{4} = \dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}$$

💡 총량을 $4$ 등분 — 분수를 자연수로 나누면 그만큼 작아진다는 5학년 개념.

#11 거꾸로 풀기 5.NF.A.1 단계 3

가득 찬 잔은 $1$ 에서 시작해 $\frac{5}{6}$ 에서 끝나야 합니다.
거꾸로 풀기: 따라낸 양은 $1$ 에서 $\frac{5}{6}$ 까지 줄이는 데 필요한 양입니다.

$$x = 1 - \dfrac{5}{6} = \dfrac{6}{6} - \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{6}$$

💡 시작($1$)과 끝($\frac{5}{6}$)을 알면 빠진 조각은 그냥 뺄셈.

#1 그림 그리기 5.NF.A.2 단계 4

$4$번 잔으로 확인.
$\frac{1}{6}$ 씩 세 번 옮기면 $3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ 가 들어가 $4$번 잔은 $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ — 다른 세 잔과 같습니다.
답은 $\frac{1}{6}$, 선택지 (C).

$$\dfrac{1}{3} + 3 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6} \Rightarrow \textbf{(C)}$$

💡 높이 $\frac{5}{6}$ 의 막대 네 개를 그려 보면 옮기기가 맞게 분배됨이 보입니다.

[1] #9 5.NF.A.1 현재 네 잔에 들어 있는 주스를 모두 더해 총량을 구합니다. 잔 사이로 옮길 뿐이라 총량은 옮기기 전과 후가 같습니다.

[2] #9 5.NF.B.7 그 총량을 네 잔에 똑같이 나눕니다. 이 값이 옮기기를 끝낸 뒤 각 잔이 가져야 할 목표 양입니다.

[3] #11 5.NF.A.1 가득 찬 잔은 $1$ 에서 시작해 $\frac{5}{6}$ 에서 끝나야 합니다. 거꾸로 풀기: 따라낸 양은 $1$ 에서 $\frac{5}{6}$

[4] #1 5.NF.A.2 $4$번 잔으로 확인. $\frac{1}{6}$ 씩 세 번 옮기면 $3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$ 가 들어가 $

검토

합리성 확인: 크기 점검. $4$번 잔이 모자란 양은 $\frac{5}{6} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$ 잔. 이 부족분을 세 잔에서 똑같이 메우면 $\frac{1}{2} \div 3 = \frac{1}{6}$ 씩 — 답과 일치. 또 $\frac{1}{6}$ 은 작아서 가득 찬 잔에도 $\frac{5}{6}$ 이 남으므로 물리적으로도 자연스러움.

대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 각 가득 잔에서 따르는 양을 $x$ 로 두면, 가득 잔은 $1 - x$, 모자란 잔은 $\frac{1}{3} + 3x$. 두 값을 같다고 놓으면 $1 - x = \frac{1}{3} + 3x$, 즉 $\frac{2}{3} = 4x$, $x = \frac{1}{6}$ — 같은 답이지만 식 세우기가 더 무겁습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NF.A.1 분모가 다른 분수의 덧셈·뺄셈 ($1 + 1 + 1 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ 총량 계산과 $1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ 차 계산에 사용.)
5.NF.A.2 분수의 덧셈·뺄셈이 들어간 문장제 해결 ($4$번 잔이 $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$ 가 되어 다른 세 잔과 같아지는지 확인하는 데 사용.)
5.NF.B.7 단위분수와 자연수 사이의 나눗셈 (총량 $\frac{10}{3}$ 을 $4$ 등분해 잔당 목표 $\frac{5}{6}$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 분수 나누기만 알면 풀 수 있어요 — 주스를 모두 모아 $4$ 로 나눈 뒤, 그 목표보다 많은 만큼만 따라내면 끝!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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