AMC 10 · 2024 · #16
쉬운 모드 학년 4문제
칠판에 1부터 2024까지의 모든 정수가 적혀 있다고 생각해봅시다.
지호가 게임을 합니다. 한 번의 동작에서, 지호는 칠판에 있는 숫자 중 아무거나 4개를 골라서 모두 지웁니다. 그리고 그 자리에 새로운 숫자 한 개를 적어요. 새로 적는 숫자는 지운 네 수의 합이거나, 네 수의 곱입니다. 어느 쪽으로 할지는 매번 지호가 정합니다.
(예를 들어 첫 번째 동작에서 1, 2, 3, 5를 지웠다면, 그 자리에 합인 11을 적거나 곱인 30을 적을 수 있어요.)
지호는 이 동작을 여러 번 반복합니다. 어느 순간 멈추고 보니, 칠판에 남은 숫자가 모두 홀수였어요.
그 순간 칠판에 남아 있을 수 있는 숫자의 개수는 최대 몇 개일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 칠판에 $1$부터 $2024$까지의 정수가 적혀 있습니다. 한 번의 동작은 칠판 위 네 수를 골라 지우고, 그 자리에 네 수의 합 또는 곱 중 하나를 적는 것입니다. 어느 시점에서 칠판 위 모든 수가 홀수가 되었습니다. 그때 칠판에 남아 있을 수 있는 수의 개수의 최댓값은?
주어진 것: 시작: 정수 $1, 2, 3, \dots, 2024$ — 짝수 $1012$개, 홀수 $1012$개; 한 동작은 $4$개를 지우고 $1$개를 적으므로 전체 개수는 $3$씩 줄어듦; 새로 적는 수는 네 수의 합 또는 네 수의 곱; 마지막 상태: 칠판 위 모든 수가 홀수; 선택지: (A) $1010$, (B) $1011$, (C) $1012$, (D) $1013$, (E) $1014$
구하는 것: 전부 홀수가 된 시점에서 칠판에 남는 수의 개수의 최댓값
이해
문제 재정리: 칠판에 $1$부터 $2024$까지의 정수가 적혀 있습니다. 한 번의 동작은 칠판 위 네 수를 골라 지우고, 그 자리에 네 수의 합 또는 곱 중 하나를 적는 것입니다. 어느 시점에서 칠판 위 모든 수가 홀수가 되었습니다. 그때 칠판에 남아 있을 수 있는 수의 개수의 최댓값은?
주어진 것: 시작: 정수 $1, 2, 3, \dots, 2024$ — 짝수 $1012$개, 홀수 $1012$개; 한 동작은 $4$개를 지우고 $1$개를 적으므로 전체 개수는 $3$씩 줄어듦; 새로 적는 수는 네 수의 합 또는 네 수의 곱; 마지막 상태: 칠판 위 모든 수가 홀수; 선택지: (A) $1010$, (B) $1011$, (C) $1012$, (D) $1013$, (E) $1014$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
칠판은 매 동작마다 규칙적으로 변하므로 두 가지 패턴을 찾는 일이 됩니다 — 도구 #5. 패턴 1: 전체 개수는 한 동작마다 정확히 $3$씩 줄어드므로 최종 개수는 $3$으로 나눈 나머지가 고정. 패턴 2: 칠판 위 홀수의 개수를 추적해 보면, 새로 홀수를 만드는 모든 경우에서 홀수 개수가 늘지는 않습니다(단조감소). 두 패턴(하나는 정확한 불변량, 하나는 단조량)이 답을 대수 없이 묶어 줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 일을 (a) 모듈로 천장, (b) 홀수-개수 천장, (c) $1010$이 실제 도달 가능함을 보이는 구성 — 세 조각으로 나눕니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 두 천장을 다섯 선택지에 적용해 답을 가려냅니다 — AMC 객관식의 가장 기본 무브입니다.
실행 — 정답: A
2.OA.C.3 단계 1 - 시작 시 홀짝 개수를 셉니다.
- $1, 2, \dots, 2024$ 안에 짝수는 $2024 / 2 = 1012$개, 홀수도 $1012$개, 전체 $2024$개입니다.
💡 시작 목록을 홀수와 짝수 통으로 나누는 것은 길이만 길어졌을 뿐 2학년 홀짝 개념 그대로입니다.
4.OA.C.5 단계 2 - 패턴 1: 매 동작에 전체 개수가 $3$씩 감소.
- 한 동작은 $4$개를 지우고 $1$개를 쓰므로 순 변화는 $-3$.
- $k$번 동작 후 개수는 $2024 - 3k$이므로 최종 개수 $N$은 $N \equiv 2024 \equiv 2 \pmod 3$.
💡 매 단계가 같은 양만큼 변하면 그 양으로 나눈 나머지는 절대 바뀔 수 없습니다 — 4학년 "패턴 잇기" 그대로.
4.OA.B.4 단계 3 - 패턴 1로 선택지를 거릅니다.
- $1010, 1011, 1012, 1013, 1014$를 $3$으로 나눈 나머지를 확인하면 $1010 \equiv 2$, $1013 \equiv 2$ 만 남습니다.
💡 $3$의 배수 판정은 4학년 배수표 수준 — 다섯 선택지 중 셋을 한 번에 떨굽니다.
2.OA.C.3 단계 4 - 패턴 2: 홀수 개수 $D$가 한 동작에서 어떻게 변하는지.
- 새 값이 홀수가 되는 세 경우만 나열: (i) 홀수 네 개의 곱 → 홀수 1개 ($4$개 사용, $1$개 생성, $D$는 $-3$), (ii) 짝짝짝홀의 합 → 홀수 1개 ($1$개 사용, $1$개 생성, $D$는 $0$), (iii) 짝홀홀홀의 합 → 홀수 1개 ($3$개 사용, $1$개 생성, $D$는 $-2$).
- 홀수를 적게 되는 모든 동작에서 $D$는 절대 늘지 않습니다.
💡 홀수를 만드는 세 경우를 나열하는 것은 2학년 짝홀 더하기 수준 — 핵심은 세 경우 모두 홀수가 늘지 않는다는 점.
1.NBT.B.3 단계 5 - 두 번째 천장을 도출.
- $D$는 $1012$로 시작해 절대 늘지 않고, 최종 상태가 전부 홀수이므로 최종 개수 $= D_{\text{최종}} \le 1012$.
- 따라서 $1013$은 불가능, (D) 탈락.
- 남은 답은 (A) $1010$ 하나.
💡 최종 개수와 시작 홀수 개수 $1012$를 비교하는 것은 1학년 두 자리 수 비교.
3.OA.A.3 단계 6 - $1010$이 실제 도달 가능함을 보이는 구성.
- 1단계 — 짝수를 싸게 죽이기.
- 4단계의 경우 (iii)을 씁니다: 짝수 셋과 홀수 하나를 골라 합 (홀수).
- 이 동작을 $337$회 반복하면 매번 짝수 $3$개가 사라지고 홀수 개수는 $1012$로 유지 (홀수 $1$개 쓰고 $1$개 만듦).
- $337$회 후 $337 \cdot 3 = 1011$개 짝수가 사라져 짝수 $1$개와 홀수 $1012$개가 남음.
💡 $3$씩 묶어 빼는 것은 3학년 나눗셈 그대로: $1012 \div 3 = 337$ 나머지 $1$.
2.OA.A.1 단계 7 - 2단계 — 마지막 짝수 처리.
- 경우 (iii)을 한 번 더 씁니다: 남은 짝수 $1$개와 홀수 $3$개를 합 (홀수).
- 이 동작은 홀수 $3$개를 쓰고 $1$개를 만들므로 홀수 개수는 $2$ 줄어 $1010$.
- 칠판은 모두 홀수인 $1010$개로 마무리.
💡 마지막 한 조각을 맞추는 것은 2학년 빼기 문장제: $1012 - 3 + 1 = 1010$.
2.OA.C.3 시작 시 홀짝 개수를 셉니다. $1, 2, \dots, 2024$ 안에 짝수는 $2024 / 2 = 1012$개, 홀수도 $1012$개, 전체 4.OA.C.5 패턴 1: 매 동작에 전체 개수가 $3$씩 감소. 한 동작은 $4$개를 지우고 $1$개를 쓰므로 순 변화는 $-3$. $k$번 동작 후 개수는 4.OA.B.4 패턴 1로 선택지를 거릅니다. $1010, 1011, 1012, 1013, 1014$를 $3$으로 나눈 나머지를 확인하면 $1010 \equiv 2.OA.C.3 패턴 2: 홀수 개수 $D$가 한 동작에서 어떻게 변하는지. 새 값이 홀수가 되는 세 경우만 나열: (i) 홀수 네 개의 곱 → 홀수 1개 ($ 1.NBT.B.3 두 번째 천장을 도출. $D$는 $1012$로 시작해 절대 늘지 않고, 최종 상태가 전부 홀수이므로 최종 개수 $= D_{\text{최종}} \ 3.OA.A.3 $1010$이 실제 도달 가능함을 보이는 구성. 1단계 — 짝수를 싸게 죽이기. 4단계의 경우 (iii)을 씁니다: 짝수 셋과 홀수 하나를 골라 2.OA.A.1 2단계 — 마지막 짝수 처리. 경우 (iii)을 한 번 더 씁니다: 남은 짝수 $1$개와 홀수 $3$개를 합 (홀수). 이 동작은 홀수 $3$개 검토
합리성 확인: 독립적인 두 천장 — "$3$으로 나눈 나머지가 $2$" 와 "최종 개수 $\le$ 시작 홀수 개수 $= 1012$" — 만으로 다섯 선택지 중 $1010$만 남고, 구체적 구성이 정확히 $1010$을 만들어 냅니다. 추가 확인: 동작 수 $= 338$회, 총 개수 감소 $= 338 \times 3 = 1014$, $2024 - 1014 = 1010$ 으로 일치. $1010 \equiv 2 \pmod 3$도 패턴 1과 부합. 두 천장이 모두 등호로 달성되므로 (A)는 상한이면서 도달 가능합니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 단독으로도: 다섯 선택지를 패턴 1의 $\bmod 3$ 규칙에 넣어 보면 (B), (C), (E)가 곧장 떨어집니다. 그다음 패턴 2("홀수 개수는 절대 늘지 않음")의 한 줄짜리 체크로 (D)까지 지웁니다. 존재성을 받아들이면 구성 단계는 생략 가능하지만, 위의 두 단계 레시피가 도달 가능성을 구체적으로 보여줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.OA.C.3물건의 묶음이 홀수 개인지 짝수 개인지 판단하기 (시작 칠판에 짝수 $1012$개·홀수 $1012$개가 있음을 세고, 네 수의 합·곱의 홀짝을 추적하는 데 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기 (전체 개수가 매 동작마다 정확히 $3$씩 감소함을 인식해 최종 개수 $\equiv 2024 \equiv 2 \pmod 3$ 임을 유도.)4.OA.B.4주어진 수의 모든 인수쌍 구하기와 배수 인식 (다섯 선택지를 $3$의 배수 판정에 넣어 $1010$, $1013$만 남기는 데 사용.)1.NBT.B.3두 자리 수 비교 (최종 개수와 시작 홀수 개수 $1012$를 비교해 $1013$을 탈락시키는 데 사용.)3.OA.A.3100 이내 곱셈·나눗셈 문장제 ($1012 = 3 \times 337 + 1$ 을 계산해 짝짝짝홀 합 동작을 몇 번 반복할지 정하는 데 사용.)2.OA.A.1100 이내의 1·2단계 덧셈·뺄셈 문장제 (마지막 짝홀홀홀 합 동작 후 홀수 개수 $1012 - 3 + 1 = 1010$ 을 마무리 계산하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 "패턴 잇기" 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 한 동작에 개수는 $3$씩 줄고, 홀수 개수는 절대 늘지 않는다, 이 둘만 보면 됩니다!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 4학년 "패턴 잇기" 규칙만 알면 풀 수 있어요 — 한 동작에 개수는 $3$씩 줄고, 홀수 개수는 절대 늘지 않는다, 이 둘만 보면 됩니다!
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