AMC 10 · 2024 · #2
쉬운 모드 학년 5문제
n! 은 n부터 1까지의 수를 모두 곱한 값이에요. 예를 들어 4!=4×3×2×1 입니다.
다음 식의 값은 얼마일까요?
10!−7!⋅6!
답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $n!$ 이 $1$ 부터 $n$ 까지의 자연수 곱이라고 할 때, $10! - 7! \cdot 6!$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; 선택지: (A) $-120$, (B) $0$, (C) $120$, (D) $600$, (E) $720$
구하는 것: $10! - 7! \cdot 6!$ 의 값
이해
문제 재정리: $n!$ 이 $1$ 부터 $n$ 까지의 자연수 곱이라고 할 때, $10! - 7! \cdot 6!$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; $6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$; 선택지: (A) $-120$, (B) $0$, (C) $120$, (D) $600$, (E) $720$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #5 패턴 찾기
$10!$ 과 $7! \cdot 6!$ 을 처음부터 곱하면 자릿수가 너무 커 실수의 여지가 큽니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — $10!$ 안에 $7!$ 이 이미 들어 있다는 점에 주목해 $7!$ 을 공통 인수로 묶고, 괄호 안의 작은 식이 답을 결정하게 합니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 보조 — $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 = 6!$ 이라는 "우연 같지만 정답인 일치"를 알아보는 순간이 핵심입니다.
실행 — 정답: B
3.OA.B.5 단계 1 - $10!$ 에서 $7!$ 을 분리합니다.
- $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ 이므로, 원래 식의 두 항 모두 $7!$ 을 공통 인수로 갖습니다.
💡 $10!$ 을 $(10 \cdot 9 \cdot 8) \cdot 7!$ 로 쪼개고 $7!$ 을 앞으로 묶어내는 것은 분배법칙 — $a \cdot c - b \cdot c = (a - b) \cdot c$ 라는 3학년 곱셈의 성질 그대로입니다.
4.NBT.B.5 단계 2 - 괄호 안의 $10 \cdot 9 \cdot 8$ 을 계산합니다.
- 둘씩 묶어서 $10 \cdot 9 = 90$, 그다음 $90 \cdot 8 = 720$.
💡 $90$ 에 한 자리 수 $8$ 을 곱하는 것은 4학년 "네 자리까지의 수 $\times$ 한 자리 수" 표준 그대로라 손쉽게 계산됩니다.
5.NBT.B.5 단계 3 괄호 안의 $6!$ 도 차근차근 만들어 봅니다 — $6 \cdot 5 = 30$, $30 \cdot 4 = 120$, $120 \cdot 3 = 360$, $360 \cdot 2 = 720$.
💡 "$6! = 720$ 이라는 익숙한 사실"이 바로 앞에서 구한 $10 \cdot 9 \cdot 8$ 의 결과와 정확히 일치한다는 것이 문제의 핵심 — 이 패턴 인식은 5학년 다자릿수 곱셈 능숙도 안에서 작동합니다.
3.OA.B.5 단계 4 - 두 값을 괄호 안에 다시 넣습니다.
- 둘 다 $720$ 이므로 괄호는 $0$, 따라서 전체 식도 $0$ 입니다.
💡 $0$ 을 곱하면 결과도 $0$ — 3학년 곱셈 성질. $7! = 5040$ 을 계산할 필요조차 없습니다.
3.OA.B.5 $10!$ 에서 $7!$ 을 분리합니다. $10! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!$ 이므로, 원래 식의 두 항 모두 $7! 4.NBT.B.5 괄호 안의 $10 \cdot 9 \cdot 8$ 을 계산합니다. 둘씩 묶어서 $10 \cdot 9 = 90$, 그다음 $90 \cdot 8 = 5.NBT.B.5 괄호 안의 $6!$ 도 차근차근 만들어 봅니다 — $6 \cdot 5 = 30$, $30 \cdot 4 = 120$, $120 \cdot 3 = 3.OA.B.5 두 값을 괄호 안에 다시 넣습니다. 둘 다 $720$ 이므로 괄호는 $0$, 따라서 전체 식도 $0$ 입니다. 검토
합리성 확인: 정공법으로 다시 확인합니다: $10! = 3{,}628{,}800$, $7! \cdot 6! = 5040 \cdot 720 = 3{,}628{,}800$. 차이는 정확히 $0$. 즉 $10! = 7! \cdot 6!$ 라는 등식이 정말 성립하고, 답은 (B) 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기): $10! - 7! \cdot 6!$ 은 "두 거대한 양의 정수의 차". $0$ 이 아니라면 그 크기는 적어도 $7! = 5040$ 의 배수만큼은 될 텐데, 그러면 선택지 어느 값과도 맞지 않습니다. $\{-120, 0, 120, 600, 720\}$ 중 $7!$ 의 배수가 될 수 있는 "작은" 값은 $0$ 뿐이므로 답은 곧장 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
3.OA.B.5곱셈·나눗셈 전략으로 연산의 성질 적용하기 (분배법칙으로 $10! - 7! \cdot 6!$ 에서 공통 인수 $7!$ 을 묶어내고, 마지막에 "$0$ 곱셈" 성질로 답이 $0$ 임을 확정하는 데 사용.)4.NBT.B.5네 자리까지의 자연수와 한 자리 수의 곱셈 ($10 \cdot 9 \cdot 8 = 90 \cdot 8 = 720$ 을 한 자리 수 곱셈의 연쇄로 계산하는 데 사용.)5.NBT.B.5다자릿수 자연수의 곱셈을 능숙하게 수행하기 ($6! = 720$ 을 차근차근 곱해 만들고, 앞에서 구한 $10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ 과 일치함을 알아보는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 다자릿수 곱셈과 3학년 분배법칙만 알면, $10 \cdot 9 \cdot 8 = 6!$ 임을 눈치채는 순간 답이 곧장 $0$ 으로 나와요!
⭐ 이 AMC 10 문제는 사실 5학년 다자릿수 곱셈과 3학년 분배법칙만 알면, $10 \cdot 9 \cdot 8 = 6!$ 임을 눈치채는 순간 답이 곧장 $0$ 으로 나와요!
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