AMC 8 · 1999 · #15

쉬운 모드 학년 5

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문제

Flatville이라는 마을의 자전거 번호판은 세 글자가 나란히 적혀 있어요.

첫 번째 글자는 5개짜리 모음 {C, H, L, P, R} 중에서 골라요.
두 번째 글자는 3개짜리 모음 {A, I, O} 중에서 골라요.
세 번째 글자는 4개짜리 모음 {D, M, N, T} 중에서 골라요.

마을에 번호판이 더 필요해져서, 완전히 새로운 글자 2개를 추가하려고 해요. 새 글자 각각은 위 세 모음 중 하나에 넣어야 해요. 두 가지 방법이 있어요:

새 글자 2개를 같은 모음에 모두 넣거나,
새 글자 1개를 한 모음에, 다른 1개를 다른 모음에 넣을 수 있어요.

마을은 새로 만들어지는 번호판 수가 가장 많아지는 쪽을 고를 거예요.

원래 만들 수 있던 번호판에 더해서, 최대 몇 개의 번호판이 더 만들어질 수 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 플랫빌의 자전거 번호판은 세 글자입니다. 첫 글자는 $5$ 개짜리 집합, 둘째 글자는 $3$ 개짜리 집합, 셋째 글자는 $4$ 개짜리 집합에서 고릅니다. 새 글자 $2$ 개를 추가하는데(둘 다 한 집합에 넣거나, 두 집합에 한 개씩 넣음), 이때 만들 수 있는 ADDITIONAL(추가) 번호판 수의 최댓값은?

주어진 것: 원래 집합 크기는 $5$, $3$, $4$; 새 글자 $2$ 개를 세 집합에 분배해 추가한다; 전체 번호판 수 = (1번째 집합 크기) $\times$ (2번째 집합 크기) $\times$ (3번째 집합 크기); 선택지: (A) $24$, (B) $30$, (C) $36$, (D) $40$, (E) $60$

구하는 것: 글자 $2$ 개를 추가했을 때 늘어나는 번호판 수의 최댓값

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

글자 $2$ 개를 세 집합에 나눠 넣는 방법은 그리 많지 않으니, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모두 훑으면 빠뜨릴 일이 없어요. 한 집합에 둘 다 넣는 경우 $3$ 가지, 서로 다른 두 집합에 한 개씩 넣는 경우 $3$ 가지 — 합쳐서 정확히 $6$ 가지입니다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 경우의 새 곱을 계산해 가장 큰 값을 고르면 됩니다. 경우 수가 작아 굳이 대수를 끌어들이지 않아도 되니 풀이가 가벼워집니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 5.NBT.B.5 단계 1

원래 번호판 수를 세 집합 크기의 곱으로 구합니다.
이 값이 마지막에 빼게 될 기준선입니다.

$$5 \times 3 \times 4 = 60 \text{ 개}$$

💡 서로 독립인 세 선택을 곱하는 것 — 5학년 "세는 일은 곱셈" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 2

새 글자 $2$ 개를 세 집합에 분배하는 모든 방법을 적습니다.
한 집합에 둘 다 넣는 경우(어느 집합인지 $3$ 가지) + 서로 다른 두 집합에 한 개씩 넣는 경우(어떤 두 집합인지 $3$ 가지) = 총 $6$ 가지.

$$\text{경우들: } (7,3,4),\ (5,5,4),\ (5,3,6),\ (6,4,4),\ (6,3,5),\ (5,4,5)$$

💡 경우 수가 적을 때는 모두 적어 두는 것이 정답을 놓치지 않는 가장 안전한 방법입니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.5 단계 3

각 경우마다 새 집합 크기 세 개를 곱해 새 번호판 총 개수를 구합니다.

$$7\times3\times4=84,\ 5\times5\times4=100,\ 5\times3\times6=90,\ 6\times4\times4=96,\ 6\times3\times5=90,\ 5\times4\times5=100$$

💡 한 줄에 한 번씩 곱셈을 하면, 경우의 목록이 한 줄로 늘어선 총 개수 표로 바뀝니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 4

새 총 개수의 최댓값은 $100$ 입니다($5{\cdot}5{\cdot}4$ 와 $5{\cdot}4{\cdot}5$, 두 번 나타납니다).
여기서 원래 $60$ 을 빼면 추가된 번호판 수가 나옵니다.

$$100 - 60 = 40 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "추가"는 시작값에 비해 얼마나 늘었는지를 묻는 것이므로, 가장 큰 새 총 개수에서 원래 총 개수를 빼면 됩니다.

[1] #2 5.NBT.B.5 원래 번호판 수를 세 집합 크기의 곱으로 구합니다. 이 값이 마지막에 빼게 될 기준선입니다.

[2] #2 4.OA.A.3 새 글자 $2$ 개를 세 집합에 분배하는 모든 방법을 적습니다. 한 집합에 둘 다 넣는 경우(어느 집합인지 $3$ 가지) + 서로 다른 두 집합

[3] #6 5.NBT.B.5 각 경우마다 새 집합 크기 세 개를 곱해 새 번호판 총 개수를 구합니다.

[4] #6 4.OA.A.3 새 총 개수의 최댓값은 $100$ 입니다($5{\cdot}5{\cdot}4$ 와 $5{\cdot}4{\cdot}5$, 두 번 나타납니다). 여기

검토

합리성 확인: 최댓값을 낸 두 경우의 합부터 확인합시다: $5+5+4=14$, $5+4+5=14$ 로 모두 $5+3+4+2=14$ 와 맞습니다. 두 경우 모두 세 수가 가장 비슷하게 균형 잡힌 형태인데, "합이 일정할 때 곱이 가장 커지는 것은 수들이 가장 균등할 때"라는 잘 알려진 규칙과 일치합니다. 다른 경우들은 한 집합이 유난히 크거나 작아서 곱이 작아집니다. 또한 $40$ 은 선택지에 있고, 더 큰 선택지 $60$ 이 정답이려면 새 총 개수가 $120$ 이어야 하는데 합 $14$ 짜리 어떤 경우도 그 값을 낼 수 없습니다($5\cdot5\cdot4=100$ 이 한계). 따라서 (D) 만이 일관된 답입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 균등 규칙과 함께 씁니다. 모든 경우를 적지 말고, 세 크기가 가장 비슷해지는 후보만 골라 시도합니다. $(5,3,4)$ 에서 가장 작은 집합에 글자 두 개를 모두 넣으면 $(5,5,4)$, 곱은 $100$. 작은 두 집합에 한 개씩 나눠 넣으면 $(5,4,5)$, 역시 $100$. $(7,3,4)$ 같은 덜 균등한 경우는 분명히 곱이 더 작으니, 새 총 개수는 $100$ 이고 추가 번호판은 $100-60=40$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 계산하기 (각 경우의 새 번호판 총 개수를 구하기 위해 세 집합 크기를 곱하는 데 사용(예: $5 \times 5 \times 4 = 100$).)
4.OA.A.3 자연수로 주어진 다단계 문장제 해결하기 (글자 $2$ 개를 분배하는 $6$ 가지 경우를 빠짐없이 나열하고, 가장 큰 새 총 개수에서 원래 $60$ 을 빼서 추가 번호판 수를 구하는 데 사용.)

⭐ 새 글자 $2$ 개를 세 집합에 나눠 넣는 방법은 단 $6$ 가지뿐 — 모두 적어 곱해 보면 최댓값은 $5 \times 5 \times 4 = 100$, 원래 $60$ 보다 $40$ 개 더 많습니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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