AMC 8 · 1999 · #15

학년 5 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

permutations-basicsystematic-enumerationmulti-digit-arithmetic caseworkoptimization-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basicmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

Bicycle license plates in Flatville each contain three letters. The first is chosen from the set {C,H,L,P,R}, the second from {A,I,O}, and the third from {D,M,N,T}.

When Flatville needed more license plates, they added two new letters. The new letters may both be added to one set or one letter may be added to one set and one to another set. What is the largest possible number of ADDITIONAL license plates that can be made by adding two letters?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 플랫빌의 자전거 번호판은 세 글자입니다. 첫 글자는 $5$ 개짜리 집합, 둘째 글자는 $3$ 개짜리 집합, 셋째 글자는 $4$ 개짜리 집합에서 고릅니다. 새 글자 $2$ 개를 추가하는데(둘 다 한 집합에 넣거나, 두 집합에 한 개씩 넣음), 이때 만들 수 있는 ADDITIONAL(추가) 번호판 수의 최댓값은?

주어진 것: 원래 집합 크기는 $5$, $3$, $4$; 새 글자 $2$ 개를 세 집합에 분배해 추가한다; 전체 번호판 수 = (1번째 집합 크기) $\times$ (2번째 집합 크기) $\times$ (3번째 집합 크기); 선택지: (A) $24$, (B) $30$, (C) $36$, (D) $40$, (E) $60$

구하는 것: 글자 $2$ 개를 추가했을 때 늘어나는 번호판 수의 최댓값

이해

계획

주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기

보조 도구: #6 추측하고 확인하기

글자 $2$ 개를 세 집합에 나눠 넣는 방법은 그리 많지 않으니, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모두 훑으면 빠뜨릴 일이 없어요. 한 집합에 둘 다 넣는 경우 $3$ 가지, 서로 다른 두 집합에 한 개씩 넣는 경우 $3$ 가지 — 합쳐서 정확히 $6$ 가지입니다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 경우의 새 곱을 계산해 가장 큰 값을 고르면 됩니다. 경우 수가 작아 굳이 대수를 끌어들이지 않아도 되니 풀이가 가벼워집니다.

실행 — 정답: D

#2 빠짐없이 나열하기 5.NBT.B.5 단계 1

원래 번호판 수를 세 집합 크기의 곱으로 구합니다.
이 값이 마지막에 빼게 될 기준선입니다.

$$5 \times 3 \times 4 = 60 \text{ 개}$$

💡 서로 독립인 세 선택을 곱하는 것 — 5학년 "세는 일은 곱셈" 그대로입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 4.OA.A.3 단계 2

새 글자 $2$ 개를 세 집합에 분배하는 모든 방법을 적습니다.
한 집합에 둘 다 넣는 경우(어느 집합인지 $3$ 가지) + 서로 다른 두 집합에 한 개씩 넣는 경우(어떤 두 집합인지 $3$ 가지) = 총 $6$ 가지.

$$\text{경우들: } (7,3,4),\ (5,5,4),\ (5,3,6),\ (6,4,4),\ (6,3,5),\ (5,4,5)$$

💡 경우 수가 적을 때는 모두 적어 두는 것이 정답을 놓치지 않는 가장 안전한 방법입니다.

#6 추측하고 확인하기 5.NBT.B.5 단계 3

각 경우마다 새 집합 크기 세 개를 곱해 새 번호판 총 개수를 구합니다.

$$7\times3\times4=84,\ 5\times5\times4=100,\ 5\times3\times6=90,\ 6\times4\times4=96,\ 6\times3\times5=90,\ 5\times4\times5=100$$

💡 한 줄에 한 번씩 곱셈을 하면, 경우의 목록이 한 줄로 늘어선 총 개수 표로 바뀝니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 4

새 총 개수의 최댓값은 $100$ 입니다($5{\cdot}5{\cdot}4$ 와 $5{\cdot}4{\cdot}5$, 두 번 나타납니다).
여기서 원래 $60$ 을 빼면 추가된 번호판 수가 나옵니다.

$$100 - 60 = 40 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 "추가"는 시작값에 비해 얼마나 늘었는지를 묻는 것이므로, 가장 큰 새 총 개수에서 원래 총 개수를 빼면 됩니다.

[1] #2 5.NBT.B.5 원래 번호판 수를 세 집합 크기의 곱으로 구합니다. 이 값이 마지막에 빼게 될 기준선입니다.

[2] #2 4.OA.A.3 새 글자 $2$ 개를 세 집합에 분배하는 모든 방법을 적습니다. 한 집합에 둘 다 넣는 경우(어느 집합인지 $3$ 가지) + 서로 다른 두 집합

[3] #6 5.NBT.B.5 각 경우마다 새 집합 크기 세 개를 곱해 새 번호판 총 개수를 구합니다.

[4] #6 4.OA.A.3 새 총 개수의 최댓값은 $100$ 입니다($5{\cdot}5{\cdot}4$ 와 $5{\cdot}4{\cdot}5$, 두 번 나타납니다). 여기

검토

합리성 확인: 최댓값을 낸 두 경우의 합부터 확인합시다: $5+5+4=14$, $5+4+5=14$ 로 모두 $5+3+4+2=14$ 와 맞습니다. 두 경우 모두 세 수가 가장 비슷하게 균형 잡힌 형태인데, "합이 일정할 때 곱이 가장 커지는 것은 수들이 가장 균등할 때"라는 잘 알려진 규칙과 일치합니다. 다른 경우들은 한 집합이 유난히 크거나 작아서 곱이 작아집니다. 또한 $40$ 은 선택지에 있고, 더 큰 선택지 $60$ 이 정답이려면 새 총 개수가 $120$ 이어야 하는데 합 $14$ 짜리 어떤 경우도 그 값을 낼 수 없습니다($5\cdot5\cdot4=100$ 이 한계). 따라서 (D) 만이 일관된 답입니다.

대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기)을 균등 규칙과 함께 씁니다. 모든 경우를 적지 말고, 세 크기가 가장 비슷해지는 후보만 골라 시도합니다. $(5,3,4)$ 에서 가장 작은 집합에 글자 두 개를 모두 넣으면 $(5,5,4)$, 곱은 $100$. 작은 두 집합에 한 개씩 나눠 넣으면 $(5,4,5)$, 역시 $100$. $(7,3,4)$ 같은 덜 균등한 경우는 분명히 곱이 더 작으니, 새 총 개수는 $100$ 이고 추가 번호판은 $100-60=40$.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

5.NBT.B.5 여러 자리 자연수의 곱셈을 표준 알고리즘으로 능숙하게 계산하기 (각 경우의 새 번호판 총 개수를 구하기 위해 세 집합 크기를 곱하는 데 사용(예: $5 \times 5 \times 4 = 100$).)
4.OA.A.3 자연수로 주어진 다단계 문장제 해결하기 (글자 $2$ 개를 분배하는 $6$ 가지 경우를 빠짐없이 나열하고, 가장 큰 새 총 개수에서 원래 $60$ 을 빼서 추가 번호판 수를 구하는 데 사용.)

⭐ 새 글자 $2$ 개를 세 집합에 나눠 넣는 방법은 단 $6$ 가지뿐 — 모두 적어 곱해 보면 최댓값은 $5 \times 5 \times 4 = 100$, 원래 $60$ 보다 $40$ 개 더 많습니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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