AMC 8 · 2000 · #5
쉬운 모드 학년 3문제
링컨 고등학교라는 학교를 떠올려 봅시다. 이 학교의 교장 선생님은 누구든지 정확히 3년 동안만 일하고, 그 뒤에는 다음 교장 선생님이 그 자리를 이어받습니다.
이제 이 학교에서 어떤 8년 동안을 살펴본다고 해요. 그 8년 사이에 교장 선생님이 여러 명 바뀔 수 있어요. 첫 번째 교장 선생님은 임기가 거의 끝나갈 무렵일 수도 있고, 마지막 교장 선생님은 막 시작했을 수도 있습니다.
이 8년 동안 가장 많이 거쳐갈 수 있는 교장 선생님은 몇 명일까요?
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AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
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도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 링컨 고등학교의 모든 교장은 정확히 $3$ 년 임기를 한 번 채웁니다. $8$ 년 동안 이 학교에 있을 수 있는 서로 다른 교장의 최대 인원은 몇 명인가요?
주어진 것: 각 교장의 임기는 정확히 $3$ 년 연속이다; 관찰 기간은 $8$ 년이다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $8$
구하는 것: $8$ 년 안에 임기 일부라도 걸치는 서로 다른 교장의 최대 인원
이해
문제 재정리: 링컨 고등학교의 모든 교장은 정확히 $3$ 년 임기를 한 번 채웁니다. $8$ 년 동안 이 학교에 있을 수 있는 서로 다른 교장의 최대 인원은 몇 명인가요?
주어진 것: 각 교장의 임기는 정확히 $3$ 년 연속이다; 관찰 기간은 $8$ 년이다; 선택지: (A) $2$, (B) $3$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $8$
계획
주요 도구: #1 그림 그리기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
$8$ 년이라는 창문은 칸 $8$ 개짜리 띠로 그리기 좋고, $3$ 년 임기는 칸 $3$ 개를 색칠한 블록입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 문장을 시간 띠 그림으로 바꾸면 상황이 한눈에 보입니다. 최댓값을 찾을 때는 도구 #6(추측하고 확인하기)을 써서 $3$ 명, $4$ 명, $5$ 명을 차례로 시도해 봅니다. 그림은 또 한 가지 단서를 알려 줍니다 — 임기는 창문 양 끝 바깥으로 비어져 나가도 되므로, 첫 교장과 마지막 교장은 창문 안에서 $1$ 년만 근무해도 됩니다.
실행 — 정답: C
3.MD.A.1 단계 1 - $8$ 년 창문을 $1$ 년차부터 $8$ 년차까지 칸 $8$ 개로 그립니다.
- 각 교장의 $3$ 년 임기는 연속한 칸 $3$ 개짜리 블록이지만, 블록은 $1$ 년차 이전에서 시작하거나 $8$ 년차 이후로 이어져도 됩니다.
- 창문 안에 적어도 한 칸만 들어오면 그 교장은 세어집니다.
💡 $8$ 년을 띠 그림으로 그려 두면 $3$ 년 블록을 이리저리 밀어 보며 어떻게 들어맞는지 바로 보입니다 — 3학년 "시간 구간을 표현하기" 그대로입니다.
3.OA.D.8 단계 2 - $4$ 명을 시도합니다.
- 교장 A의 임기 마지막 해를 $1$ 년차에 맞춥니다(임기 $-1, 0, 1$ 년차).
- 교장 B는 $2{-}4$ 년차, 교장 C는 $5{-}7$ 년차, 교장 D는 $8$ 년차에 임기 첫 해(임기 $8, 9, 10$ 년차).
- 창문 안 햇수를 더하면 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 로 딱 맞으므로 $4$ 명은 가능합니다.
💡 $1 + 3 + 3 + 1 = 8$. 첫 교장과 마지막 교장이 창문에 $1$ 년씩만 내놓으면 가운데에 $3$ 년 임기 두 개가 꽉 들어갑니다.
3.OA.D.8 단계 3 - 이번에는 $5$ 명이 들어가는지 확인합니다.
- 첫 교장과 마지막 교장은 창문 안에 최소 $1$ 년씩, 나머지 $3$ 명의 "가운데" 교장은 임기 전체가 창문 안에 있으므로 각자 $3$ 년을 차지합니다.
- 필요한 햇수는 최소 $1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 11$ 년인데, 창문은 $8$ 년뿐이므로 $5$ 명은 불가능합니다.
💡 더 쪼개려 해도 소용없습니다. 가운데 교장이 한 명만 있어도 그 교장의 $3$ 년 전체가 창문 안에 있어야 하니, 가운데 세 명만으로도 이미 $9 > 8$ 년이 필요합니다.
3.OA.D.8 단계 4 - $4$ 명이 들어가는 배치를 직접 만들었고, $5$ 명은 불가능함을 보였습니다.
- 따라서 최댓값은 $4$ 이고 정답은 $\textbf{(C)}$ 입니다.
💡 그림으로 확인됩니다: 양끝 교장이 $1$ 년씩만 내놓으면 $4$ 명이 $8$ 년을 정확히 채웁니다.
3.MD.A.1 $8$ 년 창문을 $1$ 년차부터 $8$ 년차까지 칸 $8$ 개로 그립니다. 각 교장의 $3$ 년 임기는 연속한 칸 $3$ 개짜리 블록이지만, 3.OA.D.8 $4$ 명을 시도합니다. 교장 A의 임기 마지막 해를 $1$ 년차에 맞춥니다(임기 $-1, 0, 1$ 년차). 교장 B는 $2{-}4$ 년차, 3.OA.D.8 이번에는 $5$ 명이 들어가는지 확인합니다. 첫 교장과 마지막 교장은 창문 안에 최소 $1$ 년씩, 나머지 $3$ 명의 "가운데" 교장은 임기 3.OA.D.8 $4$ 명이 들어가는 배치를 직접 만들었고, $5$ 명은 불가능함을 보였습니다. 따라서 최댓값은 $4$ 이고 정답은 $\textbf{(C)}$ 검토
합리성 확인: 구성을 그대로 확인합니다. A 는 $1$ 년차, B 는 $2{-}4$ 년차, C 는 $5{-}7$ 년차, D 는 $8$ 년차 — 모든 해가 정확히 한 교장에게 덮이고, 겹침은 없으며, 각 임기는 여전히 $3$ 년입니다(A 와 D 의 일부는 그저 창문 바깥에 있을 뿐). 서로 다른 $4$ 명. 그리고 부등식 $1 + 3(n-2) + 1 \le 8$ 은 $n \le 4$ 를 주니 더 늘릴 수 없습니다. 정답 (C) $= 4$ 가 양쪽에서 모두 맞습니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): 교장 수를 $n$ 이라 하면, 첫과 마지막은 창문 안에서 최소 $1$ 년, 가운데 $n-2$ 명은 임기 $3$ 년 전체이므로 $1 + 3(n-2) + 1 \le 8 \Rightarrow 3n \le 12 \Rightarrow n \le 4$. 그림과 확인만으로도 같은 답이 나오기 때문에 그 쪽을 먼저 골랐습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
3.MD.A.1시각을 읽고 쓰며, 시간 구간의 덧셈·뺄셈 문장제 해결 ($8$ 년 창문을 띠로 그리고 각 $3$ 년 임기를 그 띠 위 연속한 블록으로 나타내는 데 사용.)3.OA.D.8사칙연산을 사용한 두 단계 문장제 해결과 답의 타당성 점검 ($1 + 3 + 3 + 1 = 8$ 로 후보 배치를 점검하고 $1 + 3 + 3 + 3 + 1 = 11 > 8$ 로 $5$ 명을 배제하는 데 사용.)
⭐ $8$ 년을 띠로 그리고 $3$ 년 블록을 끼워 넣으세요. 첫과 마지막 임기가 창문 바깥으로 살짝 삐져나갈 수 있다는 점을 살리면, 8년 안에 교장 $4$ 명이 들어갑니다.
⭐ $8$ 년을 띠로 그리고 $3$ 년 블록을 끼워 넣으세요. 첫과 마지막 임기가 창문 바깥으로 살짝 삐져나갈 수 있다는 점을 살리면, 8년 안에 교장 $4$ 명이 들어갑니다.
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