AMC 8 · 2000 · #8

쉬운 모드 학년 3

문제

주사위 세 개가 위로 차곡차곡 쌓여 있는 모습을 떠올려 봅시다. 각 주사위에는 $1$ 부터 $6$ 까지의 숫자가 면마다 적혀 있어요.

주사위 세 개의 면을 모두 합하면 $18$ 개입니다. 이 그림에서는 그중 $7$ 개의 면만 보여요. 나머지 $11$ 개의 면은 보이지 않아요. 어떤 면은 뒤쪽에, 어떤 면은 바닥에, 어떤 면은 주사위 사이에 가려져 있습니다.

보이지 않는 모든 면에 있는 점의 수를 전부 더하면 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2000 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 면에 $1$ 부터 $6$ 까지 적힌 표준 주사위 $3$ 개가 쌓여 있습니다. 전체 $18$ 개 면 중 $7$ 개가 보이고 $11$ 개는 가려져 있습니다(뒷면, 바닥면, 그리고 주사위 사이에 맞붙은 면). 보이는 면에 적힌 수는 $1, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 입니다. 가려진 $11$ 개 면에 찍힌 점의 총수를 구하세요.

주어진 것: 각 주사위의 면은 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 으로 번호가 붙어 있다; 주사위는 $3$ 개이므로 면은 모두 $18$ 개이다; 보이는 면 $7$ 개에 적힌 수는 $1, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 이다; 가려진 면은 $11$ 개이다; 선택지: (A) $21$, (B) $22$, (C) $31$, (D) $41$, (E) $53$

구하는 것: 가려진 $11$ 개 면 위 점의 총수

이해

계획

주요 도구: #11 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

각 주사위가 어느 방향으로 놓였는지는 알 수 없고, 가려진 $11$ 개 면이 무엇인지도 직접 알아낼 수 없어요. 그래서 가려진 면 하나하나를 추적하는 방향은 잘못된 길입니다. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)이 쓰입니다 — 주사위 하나의 여섯 면 합은 $1+2+3+4+5+6 = 21$ 로, 어떻게 돌리든 변하지 않으니까요. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 먼저 주사위 한 개를 풀고 그 다음 세 개로 확장하라고 알려 줍니다. 세 주사위의 전체 점수를 알면, 가려진 점은 "전체 $-$ 보이는 점" 뺄셈 하나로 끝납니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.OA.D.8 단계 1

더 쉬운 문제부터: 주사위 한 개의 점 총수를 구합니다.
여섯 면의 수는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 이고, 주사위를 어떻게 돌려도 이 합은 바뀌지 않습니다.

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21$$

💡 이 $21$ 이 바로 "변하지 않는 값"입니다. 어느 면이 위, 아래, 앞, 뒤, 왼쪽, 오른쪽이든 여섯 수의 합은 그대로 $21$.

#11 변하지 않는 것 찾기 3.OA.A.1 단계 2

주사위 세 개로 확장합니다.
$18$ 개 면 위 전체 점은 $21$ 의 $3$ 배입니다.

$$3 \times 21 = 63$$

💡 똑같은 $21$ 짜리 묶음 세 개 — 3학년 곱셈입니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 3.NBT.A.2 단계 3

보이는 면 $7$ 개의 점을 더합니다.
문제에 표시된 수는 $1, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 입니다.

$$1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 22$$

💡 작은 수 일곱 개를 그대로 더하는 단순한 덧셈.

#11 변하지 않는 것 찾기 3.NBT.A.2 단계 4

가려진 점 $=$ 전체 점 $-$ 보이는 점.
빼 줍니다.

$$63 - 22 = 41 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 주사위 위 모든 면은 "보이거나" "가려지거나" 둘 중 하나라서 두 부분을 합치면 전체가 됩니다. 전체에서 보이는 부분을 빼면 가려진 부분만 남습니다.

[1] #9 3.OA.D.8 더 쉬운 문제부터: 주사위 한 개의 점 총수를 구합니다. 여섯 면의 수는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 이고, 주사위를 어떻게 돌려도 이 합

[2] #11 3.OA.A.1 주사위 세 개로 확장합니다. $18$ 개 면 위 전체 점은 $21$ 의 $3$ 배입니다.

[3] #9 3.NBT.A.2 보이는 면 $7$ 개의 점을 더합니다. 문제에 표시된 수는 $1, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ 입니다.

[4] #11 3.NBT.A.2 가려진 점 $=$ 전체 점 $-$ 보이는 점. 빼 줍니다.

검토

합리성 확인: 답의 크기를 확인합니다. 가려진 면은 $11$ 개, 각 면의 수는 $1$ 부터 $6$ 사이이므로 가려진 점 총합은 $11 \times 1 = 11$ 과 $11 \times 6 = 66$ 사이여야 합니다. 우리의 답 $41$ 은 이 범위 안에 잘 들어갑니다. 가려진 면 한 개당 평균은 $41 / 11 \approx 3.7$ 로, 주사위 한 면의 평균값 $21/6 = 3.5$ 와 거의 같습니다 — 가려진 면들이 대체로 골고루 섞여 있을 때 기대되는 값과 정확히 맞습니다. 산수도 확인됩니다: $22 + 41 = 63 = 3 \times 21$.

대안 접근: 도구 #2(목록 만들기): 주사위 하나씩 여섯 면을 적고, 그 주사위에 "보이는 면"을 지운 뒤 남은 수를 더하는 방법. 풀리긴 하지만 각 보이는 면이 어느 주사위 것인지 가려야 해서 잡일이 늘어납니다. 도구 #11(변하지 않는 것 찾기)은 "한 주사위의 합 $= 21$" 한 가지로 그 잡일을 모두 건너뛰기 때문에 이쪽을 먼저 골랐습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

3.OA.A.1 자연수의 곱을 같은 묶음의 개수로 해석 (세 주사위 위 전체 점을 $21$ 짜리 묶음 $3$ 개, 즉 $3 \times 21 = 63$ 으로 계산하는 데 사용.)
3.NBT.A.2 $1000$ 이내의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (보이는 면 $7$ 개의 합 $22$ 를 구하고, $63 - 22 = 41$ 로 가려진 점의 합을 구하는 데 사용.)
3.OA.D.8 사칙연산을 사용한 두 단계 문장제 해결과 답의 타당성 점검 ("한 주사위는 $21$" $\to$ "세 주사위는 $63$" $\to$ "$63 - 22 = 41$ 가려짐" 의 연결과, $41$ 이 가능한 범위 $[11, 66]$ 안에 있다는 타당성 점검에 사용.)

⭐ 주사위 한 개의 여섯 면 합은 어떻게 돌려도 $21$. 주사위 세 개라면 점 총수는 $63$ 이므로, 가려진 점은 $63 - 22 = 41$ — "변하지 않는 값" 만 보이면 뺄셈 한 번으로 끝납니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)

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