AMC 8 · 2001 · #4
쉬운 모드 학년 4문제
숫자 1, 2, 3, 4, 9가 있어요. 이 다섯 개의 숫자를 한 번씩만 써서 다섯 자리 수를 만들려고 합니다.
조건이 두 가지 있어요. 만든 수는 짝수여야 하고, 그 짝수들 중에서 가장 작은 수여야 합니다.
그 수의 십의 자리에는 어떤 숫자가 올까요?
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AMC 8 2001 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 숫자 $1, 2, 3, 4, 9$ 를 각각 한 번씩 모두 사용해 가능한 가장 작은 $5$ 자리 짝수를 만듭니다. 그때 십의 자리 숫자는 무엇입니까?
주어진 것: $1, 2, 3, 4, 9$ 다섯 숫자를 각각 정확히 한 번씩 사용한다; $5$ 자리 수는 짝수여야 한다; 그 중 가장 작은 수를 찾는다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $9$
구하는 것: 가장 작은 짝수의 십의 자리 숫자
이해
문제 재정리: 숫자 $1, 2, 3, 4, 9$ 를 각각 한 번씩 모두 사용해 가능한 가장 작은 $5$ 자리 짝수를 만듭니다. 그때 십의 자리 숫자는 무엇입니까?
주어진 것: $1, 2, 3, 4, 9$ 다섯 숫자를 각각 정확히 한 번씩 사용한다; $5$ 자리 수는 짝수여야 한다; 그 중 가장 작은 수를 찾는다; 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $9$
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #5 규칙 찾기
도구 #5(규칙 찾기)는 자리값 규칙을 알려줍니다 — 여러 자리 수에서는 왼쪽 자리가 가장 무겁기 때문에, 수를 작게 만들려면 작은 숫자부터 왼쪽에 차례로 놓아야 한다는 것이죠. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 비틀린 조건을 처리합니다 — 짝수 조건 때문에 일의 자리는 $2$ 또는 $4$ 여야 하므로, 왼쪽부터 무작정 채우는 방식은 마지막 두 자리에서 부딪힐 수 있습니다. 그때 일의 자리만 바꿔 다시 확인하면 됩니다.
실행 — 정답: E
4.NBT.A.2 단계 1 - 먼저 욕심껏 왼쪽부터 채워 봅니다.
- $1 < 2 < 3 < 4 < 9$ 순서대로, 왼쪽 자리부터 가장 작은 숫자를 놓으면 $12349$ 가 나옵니다.
💡 자리값에 따르면 만의 자리가 가장 무거우므로 가장 작은 숫자가 그 자리에 들어가야 하고, 다음은 천의 자리, 그다음은 백의 자리 순으로 채웁니다.
2.OA.C.3 단계 2 - 짝수 조건을 확인합니다.
- $12349$ 의 일의 자리는 $9$ 로 홀수이므로 조건에 어긋납니다.
- 일의 자리는 $2$ 또는 $4$ 여야 합니다 — 주어진 숫자 중 짝수는 그 둘뿐입니다.
💡 어떤 수가 짝수인지 아닌지는 일의 자리만 보면 알 수 있고, 사용 가능한 짝수는 $2$ 와 $4$ 입니다.
4.NBT.A.2 단계 3 - 일의 자리를 고정한 뒤 자리값 규칙을 다시 적용합니다.
- 수를 작게 만들려면 큰 짝수 $4$ 를 일의 자리에 보내고, 작은 짝수 $2$ 는 더 왼쪽 자리에 두어야 합니다.
- 그러면 남은 네 숫자 $1, 2, 3, 9$ 를 왼쪽부터 작은 순으로 놓아 만, 천, 백의 자리는 $1, 2, 3$ 이 차지하고, $9$ 가 십의 자리에 남습니다.
💡 $2$ 보다 $4$ 를 일의 자리에 보내는 것이 유리합니다 — $2$ 가 더 작으므로 더 무거운 자리에 두는 편이 전체 수를 더 많이 낮춰 줍니다.
4.NBT.A.2 단계 4 $12394$ 의 십의 자리 숫자를 읽습니다.
💡 십의 자리는 오른쪽에서 두 번째 자리이므로 $9$ 입니다.
4.NBT.A.2 먼저 욕심껏 왼쪽부터 채워 봅니다. $1 < 2 < 3 < 4 < 9$ 순서대로, 왼쪽 자리부터 가장 작은 숫자를 놓으면 $12349$ 가 나옵 2.OA.C.3 짝수 조건을 확인합니다. $12349$ 의 일의 자리는 $9$ 로 홀수이므로 조건에 어긋납니다. 일의 자리는 $2$ 또는 $4$ 여야 합니다 — 4.NBT.A.2 일의 자리를 고정한 뒤 자리값 규칙을 다시 적용합니다. 수를 작게 만들려면 큰 짝수 $4$ 를 일의 자리에 보내고, 작은 짝수 $2$ 는 더 왼 4.NBT.A.2 $12394$ 의 십의 자리 숫자를 읽습니다. 검토
합리성 확인: 다른 후보와 비교해 봅니다. 일의 자리에 $2$ 를 놓았다면 남은 $1, 3, 4, 9$ 를 왼쪽부터 작은 순으로 채워 $13492$ 가 됩니다. $12394 < 13492$ 이므로 일의 자리에 $4$ 를 둔 선택이 맞습니다. 또 $12394$ 는 $1, 2, 3, 4, 9$ 를 각각 한 번씩 사용하고($\checkmark$) 끝이 $4$ 로 짝수임도 확인됩니다($\checkmark$). 마지막으로 십의 자리는 오른쪽에서 두 번째 — $1\,2\,3\,\underline{9}\,4 \to 9$, 답 (E) 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): 일의 자리는 $2$ 또는 $4$ 입니다. 각 경우에 남은 숫자를 왼쪽부터 작은 순으로 채우면 됩니다. 일의 자리 $= 2$ 이면 남은 $\{1,3,4,9\}$ 로 $13492$, 일의 자리 $= 4$ 이면 남은 $\{1,2,3,9\}$ 로 $12394$. 더 작은 쪽은 $12394$ 이고, 그 십의 자리는 $9$ 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.NBT.A.2다자리 자연수를 십진 표기·이름·전개식으로 읽고 쓰기 (왼쪽 자리의 자리값이 가장 크다는 사실을 이용해, 수를 작게 만들기 위해 가장 작은 숫자를 가장 왼쪽 자리에 두는 데 사용.)2.OA.C.3물체의 묶음(최대 $20$ 개)이 짝수인지 홀수인지 판별하기 (어떤 자연수가 짝수인지 여부는 일의 자리만 보면 된다는 사실을 이용해, 정답 수의 일의 자리를 $2$ 또는 $4$ 로 좁히는 데 사용.)
⭐ 수를 작게 만들려면 작은 숫자부터 왼쪽 자리로 보내면 되는데, "짝수여야 한다" 같은 조건이 한 자리를 차지하면 그 자리에는 허용된 숫자 중 큰 쪽을 두어 작은 숫자가 더 무거운 왼쪽에서 일하도록 두면 됩니다.
⭐ 수를 작게 만들려면 작은 숫자부터 왼쪽 자리로 보내면 되는데, "짝수여야 한다" 같은 조건이 한 자리를 차지하면 그 자리에는 허용된 숫자 중 큰 쪽을 두어 작은 숫자가 더 무거운 왼쪽에서 일하도록 두면 됩니다.
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