AMC 8 · 2002 · #17

학년 4 arithmeticalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

linear-equations-one-varguess-and-checksystematic-enumeration convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticlinear-equations-one-var

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문제

In a mathematics contest with ten problems, a student gains 5 points for a correct answer and loses 2 points for an incorrect answer. If Olivia answered every problem and her score was 29, how many correct answers did she have?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $10$ 문제짜리 시험에서 한 문제 맞히면 $+5$ 점, 틀리면 $-2$ 점입니다. Olivia 가 모든 문제를 풀어 총점 $29$ 점을 받았다면, 맞힌 문제는 몇 개일까요?

주어진 것: 문제는 모두 $10$ 개; Olivia 는 모든 문제를 풀었으므로 맞힌 수 $+$ 틀린 수 $= 10$; 맞히면 $+5$ 점, 틀리면 $-2$ 점; Olivia 의 최종 점수는 정확히 $29$ 점; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: Olivia 가 맞힌 문제의 수

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #5 규칙 찾기

맞힌 수로 가능한 경우는 $0$ 부터 $10$ 까지 $11$ 가지뿐이고 선택지가 $5$ 개로 더 좁혀 주므로, 값을 직접 넣어 보는 편이 대수보다 빠릅니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 이 그대로 통합니다 — 맞힌 수를 정하고, 짝이 되는 틀린 수와 함께 점수를 계산하면 됩니다. 도구 #5(규칙 찾기) 를 덧붙이면 검색이 훨씬 짧아집니다 — 맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꾸면 점수는 매번 $-5 - 2 = -7$ 점 변합니다. 이 "교체 한 번에 점수 $-7$" 규칙 덕분에 검색이 단순한 나눗셈으로 줄어듭니다 — 점수 차이를 $7$ 로 나누면 전부 맞힌 기준에서 몇 번을 틀려야 Olivia 의 점수가 나오는지 바로 알 수 있죠.

실행 — 정답: C

#6 추측하고 확인하기 3.OA.A.3 단계 1

가장 단순한 기준에서 출발합니다.
Olivia 가 $10$ 문제를 모두 맞혔다면 점수는 $10 \times 5$ 입니다.

$$10 \times 5 = 50 \text{ 점}$$

💡 가장 쉬운 극단부터 잡으면 $29$ 와 비교할 기준이 생깁니다.

#5 규칙 찾기 4.OA.A.3 단계 2

점수 차이를 잽니다.
목표는 $29$ 점, 기준은 $50$ 점이므로 점수가 $50 - 29$ 만큼 내려와야 합니다.

$$50 - 29 = 21 \text{ 점 만큼 내려가야 함}$$

💡 기준 추측과 실제 점수 사이의 차이가 교체 한 번씩 메워야 할 양입니다.

#5 규칙 찾기 4.OA.A.3 단계 3

교체 한 번에 점수가 얼마나 변하는지 봅니다.
맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꾸면 받았던 $+5$ 점이 사라지고 추가로 $-2$ 점 감점이 붙으므로, 점수는 $5 + 2 = 7$ 점씩 떨어집니다.

$$5 + 2 = 7 \text{ 점 / 교체}$$

💡 교체당 $-7$ 점이라는 깔끔한 비율이 나머지를 단순한 나눗셈으로 만듭니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.A.3 단계 4

차이를 비율로 나눠 교체 횟수를 셉니다.
$21$ 점 차이를 한 번에 $7$ 점씩 메우려면 교체가 $21 \div 7 = 3$ 번 필요합니다.
즉 $10$ 문제 중 $3$ 문제를 틀렸고, 맞힌 수는 $10 - 3 = 7$ 입니다.

$$21 \div 7 = 3 \text{ 틀림} \;\Rightarrow\; 10 - 3 = 7 \text{ 맞힘} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 한 번에 $7$ 점씩 메우는데 차이가 $21$ 점이니, 교체는 정확히 $3$ 번.

[1] #6 3.OA.A.3 가장 단순한 기준에서 출발합니다. Olivia 가 $10$ 문제를 모두 맞혔다면 점수는 $10 \times 5$ 입니다.

[2] #5 4.OA.A.3 점수 차이를 잽니다. 목표는 $29$ 점, 기준은 $50$ 점이므로 점수가 $50 - 29$ 만큼 내려와야 합니다.

[3] #5 4.OA.A.3 교체 한 번에 점수가 얼마나 변하는지 봅니다. 맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꾸면 받았던 $+5$ 점이 사라지고 추가로 $-2$ 점 감점이 붙으

[4] #6 3.OA.A.3 차이를 비율로 나눠 교체 횟수를 셉니다. $21$ 점 차이를 한 번에 $7$ 점씩 메우려면 교체가 $21 \div 7 = 3$ 번 필요합니다.

검토

합리성 확인: 총합을 직접 확인합니다. 맞힌 답 $7$ 개, 틀린 답 $3$ 개일 때 답한 문제 수 $= 7 + 3 = 10$ (일치), 점수 $= 7 \times 5 - 3 \times 2 = 35 - 6 = 29$ (일치). 또한 답은 "전부 틀린" 점수 $-20$ 과 "전부 맞힌" 점수 $50$ 사이에 있어야 하는데, $29$ 가 그 안에 들어가니 유효한 조합이 존재합니다. 함정 선택지도 직접 깔립니다 — 맞힌 답 $5$ 개면 $25 - 10 = 15$, $6$ 개면 $30 - 8 = 22$, $8$ 개면 $40 - 4 = 36$, $9$ 개면 $45 - 2 = 43$. $29$ 가 되는 건 $7$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): 맞힌 수 $c$ 가 $5$ 부터 $9$ 까지일 때 점수를 표로 정리합니다. 맞힌 수 $c$, 틀린 수 $10 - c$ 이면 점수는 $5c - 2(10 - c) = 7c - 20$. 결과는 $c = 5, 6, 7, 8, 9$ 에 대해 $15, 22, 29, 36, 43$. $29$ 가 나오는 곳은 $c = 7$, 답 (C) 동일. $7c - 20$ 이라는 식 자체가 "맞힌 답 하나당 $+7$" 패턴을 압축한 모양이기도 합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.3 곱셈·나눗셈을 이용한 문장제 해결 (같은 묶음·배열·측정) (기준이 되는 $10 \times 5 = 50$, 교체 횟수 $21 \div 7 = 3$, 그리고 최종 확인 $7 \times 5 - 3 \times 2 = 29$ 를 같은 묶음의 곱셈·나눗셈으로 계산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 자연수 다단계 문장제 해결 (나머지 포함) (점수 차이 $50 - 29 = 21$ 을 구하고 교체당 $-7$ 점으로 나눠 틀린 답의 수를 세는 데 사용.)

⭐ 가장 단순한 가정(전부 맞힘)에서 출발한 뒤, 맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꿀 때마다 점수가 딱 $7$ 점 떨어진다는 규칙을 알아채면, 점수 차이를 $7$ 로 나눈 값이 곧 틀린 답의 수입니다. 대수 없이도 이 AMC 8 문제는 4학년 다단계 문장제로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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