AMC 8 · 2002 · #17

쉬운 모드 학년 4

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문제

수학 대회에 문제가 10개 있다고 생각해봅시다. 점수는 이런 식으로 매겨집니다.

한 문제를 맞히면 5점을 얻습니다.
한 문제를 틀리면 2점을 잃습니다.

올리비아(Olivia)는 10문제를 빠짐없이 모두 풀었습니다. 어떤 문제는 맞히고 어떤 문제는 틀렸어요. 점수를 다 더해보니 총점이 29점이었습니다.

올리비아는 10문제 중 몇 문제를 맞혔을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $10$ 문제짜리 시험에서 한 문제 맞히면 $+5$ 점, 틀리면 $-2$ 점입니다. Olivia 가 모든 문제를 풀어 총점 $29$ 점을 받았다면, 맞힌 문제는 몇 개일까요?

주어진 것: 문제는 모두 $10$ 개; Olivia 는 모든 문제를 풀었으므로 맞힌 수 $+$ 틀린 수 $= 10$; 맞히면 $+5$ 점, 틀리면 $-2$ 점; Olivia 의 최종 점수는 정확히 $29$ 점; 선택지: (A) $5$, (B) $6$, (C) $7$, (D) $8$, (E) $9$

구하는 것: Olivia 가 맞힌 문제의 수

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #5 규칙 찾기

맞힌 수로 가능한 경우는 $0$ 부터 $10$ 까지 $11$ 가지뿐이고 선택지가 $5$ 개로 더 좁혀 주므로, 값을 직접 넣어 보는 편이 대수보다 빠릅니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 이 그대로 통합니다 — 맞힌 수를 정하고, 짝이 되는 틀린 수와 함께 점수를 계산하면 됩니다. 도구 #5(규칙 찾기) 를 덧붙이면 검색이 훨씬 짧아집니다 — 맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꾸면 점수는 매번 $-5 - 2 = -7$ 점 변합니다. 이 "교체 한 번에 점수 $-7$" 규칙 덕분에 검색이 단순한 나눗셈으로 줄어듭니다 — 점수 차이를 $7$ 로 나누면 전부 맞힌 기준에서 몇 번을 틀려야 Olivia 의 점수가 나오는지 바로 알 수 있죠.

실행 — 정답: C

#6 추측하고 확인하기 3.OA.A.3 단계 1

가장 단순한 기준에서 출발합니다.
Olivia 가 $10$ 문제를 모두 맞혔다면 점수는 $10 \times 5$ 입니다.

$$10 \times 5 = 50 \text{ 점}$$

💡 가장 쉬운 극단부터 잡으면 $29$ 와 비교할 기준이 생깁니다.

#5 규칙 찾기 4.OA.A.3 단계 2

점수 차이를 잽니다.
목표는 $29$ 점, 기준은 $50$ 점이므로 점수가 $50 - 29$ 만큼 내려와야 합니다.

$$50 - 29 = 21 \text{ 점 만큼 내려가야 함}$$

💡 기준 추측과 실제 점수 사이의 차이가 교체 한 번씩 메워야 할 양입니다.

#5 규칙 찾기 4.OA.A.3 단계 3

교체 한 번에 점수가 얼마나 변하는지 봅니다.
맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꾸면 받았던 $+5$ 점이 사라지고 추가로 $-2$ 점 감점이 붙으므로, 점수는 $5 + 2 = 7$ 점씩 떨어집니다.

$$5 + 2 = 7 \text{ 점 / 교체}$$

💡 교체당 $-7$ 점이라는 깔끔한 비율이 나머지를 단순한 나눗셈으로 만듭니다.

#6 추측하고 확인하기 3.OA.A.3 단계 4

차이를 비율로 나눠 교체 횟수를 셉니다.
$21$ 점 차이를 한 번에 $7$ 점씩 메우려면 교체가 $21 \div 7 = 3$ 번 필요합니다.
즉 $10$ 문제 중 $3$ 문제를 틀렸고, 맞힌 수는 $10 - 3 = 7$ 입니다.

$$21 \div 7 = 3 \text{ 틀림} \;\Rightarrow\; 10 - 3 = 7 \text{ 맞힘} \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 한 번에 $7$ 점씩 메우는데 차이가 $21$ 점이니, 교체는 정확히 $3$ 번.

[1] #6 3.OA.A.3 가장 단순한 기준에서 출발합니다. Olivia 가 $10$ 문제를 모두 맞혔다면 점수는 $10 \times 5$ 입니다.

[2] #5 4.OA.A.3 점수 차이를 잽니다. 목표는 $29$ 점, 기준은 $50$ 점이므로 점수가 $50 - 29$ 만큼 내려와야 합니다.

[3] #5 4.OA.A.3 교체 한 번에 점수가 얼마나 변하는지 봅니다. 맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꾸면 받았던 $+5$ 점이 사라지고 추가로 $-2$ 점 감점이 붙으

[4] #6 3.OA.A.3 차이를 비율로 나눠 교체 횟수를 셉니다. $21$ 점 차이를 한 번에 $7$ 점씩 메우려면 교체가 $21 \div 7 = 3$ 번 필요합니다.

검토

합리성 확인: 총합을 직접 확인합니다. 맞힌 답 $7$ 개, 틀린 답 $3$ 개일 때 답한 문제 수 $= 7 + 3 = 10$ (일치), 점수 $= 7 \times 5 - 3 \times 2 = 35 - 6 = 29$ (일치). 또한 답은 "전부 틀린" 점수 $-20$ 과 "전부 맞힌" 점수 $50$ 사이에 있어야 하는데, $29$ 가 그 안에 들어가니 유효한 조합이 존재합니다. 함정 선택지도 직접 깔립니다 — 맞힌 답 $5$ 개면 $25 - 10 = 15$, $6$ 개면 $30 - 8 = 22$, $8$ 개면 $40 - 4 = 36$, $9$ 개면 $45 - 2 = 43$. $29$ 가 되는 건 $7$ 뿐입니다.

대안 접근: 도구 #2(체계적으로 나열하기): 맞힌 수 $c$ 가 $5$ 부터 $9$ 까지일 때 점수를 표로 정리합니다. 맞힌 수 $c$, 틀린 수 $10 - c$ 이면 점수는 $5c - 2(10 - c) = 7c - 20$. 결과는 $c = 5, 6, 7, 8, 9$ 에 대해 $15, 22, 29, 36, 43$. $29$ 가 나오는 곳은 $c = 7$, 답 (C) 동일. $7c - 20$ 이라는 식 자체가 "맞힌 답 하나당 $+7$" 패턴을 압축한 모양이기도 합니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.3 곱셈·나눗셈을 이용한 문장제 해결 (같은 묶음·배열·측정) (기준이 되는 $10 \times 5 = 50$, 교체 횟수 $21 \div 7 = 3$, 그리고 최종 확인 $7 \times 5 - 3 \times 2 = 29$ 를 같은 묶음의 곱셈·나눗셈으로 계산하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 자연수 다단계 문장제 해결 (나머지 포함) (점수 차이 $50 - 29 = 21$ 을 구하고 교체당 $-7$ 점으로 나눠 틀린 답의 수를 세는 데 사용.)

⭐ 가장 단순한 가정(전부 맞힘)에서 출발한 뒤, 맞힌 답 하나를 틀린 답으로 바꿀 때마다 점수가 딱 $7$ 점 떨어진다는 규칙을 알아채면, 점수 차이를 $7$ 로 나눈 값이 곧 틀린 답의 수입니다. 대수 없이도 이 AMC 8 문제는 4학년 다단계 문장제로 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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