AMC 8 · 2002 · #23

쉬운 모드 학년 4

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문제

작은 정사각형 타일로 덮인 바닥을 떠올려봅시다. 어떤 타일은 어둡고 어떤 타일은 밝아요. 어두운 타일들은 일정한 모양을 이루며 바닥 전체에 반복해서 깔려 있습니다.

아래 그림은 바닥의 한 모퉁이를 보여줍니다. 같은 패턴이 바닥 전체에 똑같이 반복되고, 바닥의 네 모퉁이 모두 이 그림과 똑같이 생겼습니다.

만약 바닥 전체를 다 본다면, 전체 타일 중 어두운 타일은 얼마만큼의 비율을 차지할까요? 분수로 답해주세요.

그림

3x3 모퉁이 블록 하나 — 이 블록이 바닥 전체에 반복돼요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}3$

(B)

$\frac{4}9$

(C)

$\frac{1}2$

(D)

$\frac{5}9$

(E)

$\frac{5}8$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 타일 바닥의 한 모서리가 보입니다. 바닥 전체가 같은 패턴으로 깔려 있고, 네 모서리 모두 그림과 같은 모양입니다. 어두운 타일이 전체 바닥에서 차지하는 비율을 구하세요.

주어진 것: 주어진 모서리는 어두운 타일과 밝은 타일이 섞인 정사각형 블록이다; 같은 패턴이 바닥 전체에 걸쳐 반복된다; 바닥의 네 모서리는 모두 그림 속 모서리와 똑같이 생겼다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{3}$, (B) $\tfrac{4}{9}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{5}{9}$, (E) $\tfrac{5}{8}$

구하는 것: 전체 바닥에서 어두운 타일이 차지하는 비율

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #1 그림 그리기

바닥은 머릿속에선 끝없이 펼쳐져 있지만 타일 패턴은 주기적입니다. 도구 #5(패턴 찾기)에 따르면 어두운 비율은 반복되는 한 블록만으로 결정되므로, 바닥 전체를 셀 필요는 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 할 일을 더 줄입니다 — 그림 속 큰 모서리 전체가 아니라, 비율을 그대로 담고 있는 가장 작은 정사각형 블록을 찾으면 됩니다. 모서리에 있는 $3 \times 3$ 블록이면 충분합니다. 도구 #1(그림 그리기) — 사실은 이미 주어진 그림을 읽는 것 — 으로 그 $3 \times 3$ 의 각 칸을 어두움·밝음으로 표시하고 세기만 하면 됩니다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

패턴을 이용해 작은 블록 문제로 줄입니다.
같은 패턴이 바닥 전체에 반복되므로, 반복되는 한 블록의 어두운 비율은 바닥 전체의 어두운 비율과 같습니다.
그래서 작은 블록 하나만 살펴보면 됩니다.

$$\dfrac{\text{바닥 위 어두운 수}}{\text{바닥 위 전체 수}} = \dfrac{\text{블록 안 어두운 수}}{\text{블록 안 전체 수}}$$

💡 4학년 "반복 패턴 만들고 분석하기" — 단위가 반복되면 어느 복제본을 보든 똑같으므로, 한 복제본만 봐도 전체 바닥의 답이 나옵니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 2

가장 작고 편리한 블록을 고릅니다.
그림의 모서리에 있는 $3 \times 3$ 정사각형을 봅시다.
바닥의 네 모서리가 모두 같은 모양이므로, 이 모서리 블록의 어두운 비율은 바닥 전체의 어두운 비율과 같습니다.

$$\text{블록 크기} = 3 \times 3 = 9 \text{ 칸}$$

💡 더 쉬운 관련 문제 풀기: 수백 칸을 세는 대신 $9$ 칸만 셉니다. 블록이 작아 눈으로도 셀 수 있습니다.

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 3

그림에서 모서리 $3 \times 3$ 블록의 각 칸을 읽어 어두움(D) 또는 밝음(L)으로 표시합니다.
위쪽 행부터 차례로 적으면:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{L} & \text{L} & \text{D} \\\hline \text{L} & \text{D} & \text{D} \\\hline \text{D} & \text{L} & \text{L} \\\hline \end{array}$$

💡 3학년 "도형을 같은 크기 부분으로 나누기" — $3 \times 3$ 격자는 이미 $9$ 개의 같은 단위 정사각형으로 나뉘어 있고, 우리는 각 칸에 색만 표시합니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.8 단계 4

블록 안 어두운 칸의 개수를 셉니다.
1행은 $1$ 개, 2행은 $2$ 개, 3행은 $1$ 개.
모두 더합니다.

$$\text{어두운 수} = 1 + 2 + 1 = 4$$

💡 3학년 여러 단계 덧셈: 각 행별 어두운 수를 세고 행 합을 더합니다.

#5 패턴 찾기 3.NF.A.1 단계 5

분수를 만듭니다.
블록의 어두운 칸 수를 전체 칸 수로 나누면 그게 바닥 전체의 어두운 비율입니다.

$$\dfrac{\text{어두움}}{\text{전체}} = \dfrac{4}{9} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 3학년 분수: 똑같이 나눈 $9$ 칸 중 $4$ 칸이 칠해져 있으면 분수는 $\tfrac{4}{9}$.

[1] #5 4.OA.C.5 패턴을 이용해 작은 블록 문제로 줄입니다. 같은 패턴이 바닥 전체에 반복되므로, 반복되는 한 블록의 어두운 비율은 바닥 전체의 어두운 비율과 같

[2] #9 4.OA.C.5 가장 작고 편리한 블록을 고릅니다. 그림의 모서리에 있는 $3 \times 3$ 정사각형을 봅시다. 바닥의 네 모서리가 모두 같은 모양이므로,

[3] #1 3.G.A.2 그림에서 모서리 $3 \times 3$ 블록의 각 칸을 읽어 어두움(D) 또는 밝음(L)으로 표시합니다. 위쪽 행부터 차례로 적으면:

[4] #5 3.OA.D.8 블록 안 어두운 칸의 개수를 셉니다. 1행은 $1$ 개, 2행은 $2$ 개, 3행은 $1$ 개. 모두 더합니다.

[5] #5 3.NF.A.1 분수를 만듭니다. 블록의 어두운 칸 수를 전체 칸 수로 나누면 그게 바닥 전체의 어두운 비율입니다.

검토

합리성 확인: $\tfrac{4}{9}$ 가 그림과 잘 맞는지 확인합니다. 모서리 블록은 절반보다 살짝 적은 부분이 어두운데, 눈으로 본 인상과 일치합니다 — 어두운 바람개비가 한 행을 거의 다 덮고, 다른 행은 한 칸만, 또 다른 행은 거의 비어 있습니다. 바로 위 선택지 $\tfrac{1}{2}$ 는 정확히 절반이 어두워야 하니 너무 많고, 바로 아래 선택지 $\tfrac{1}{3}$ 는 $9$ 칸 중 $3$ 칸만 어두워야 하니 너무 적습니다. 네 모서리가 모두 같다는 조건도 "한 블록만 보면 된다" 는 논리를 뒷받침하므로, 작은 블록 한 번의 계산으로 충분합니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기): $3 \times 3$ 모서리 블록에서 어두운 대신 밝은 칸을 세 봅시다. 1행 $2$ 개, 2행 $1$ 개, 3행 $2$ 개 → $2 + 1 + 2 = 5$ 개. 그러면 어두운 비율은 $1 - \tfrac{5}{9} = \tfrac{4}{9}$ 로 같은 답이 나옵니다. 어두움과 밝음 수가 비슷할 때 다른 색을 다시 세 보는 것은 셈 실수를 잡아내는 가장 쉬운 방법입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 모양 패턴 만들기 (타일이 반복된다는 사실을 이용해 바닥 전체 문제를 작은 블록 하나의 문제로 줄이는 데 사용.)
3.G.A.2 도형을 넓이가 같은 부분으로 나누기 (모서리 $3 \times 3$ 블록을 $9$ 개의 같은 단위 정사각형으로 읽고 각 칸을 어두움/밝음으로 표시하는 데 사용.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (행별 어두운 수 $1 + 2 + 1$ 을 더해 블록 안 어두운 타일 총 $4$ 개를 구하는 데 사용.)
3.NF.A.1 분수 $a/b$ 를 $1/b$ 크기의 $a$ 조각으로 이해하기 (답을 $9$ 개 동등 조각 중 $4$ 개가 칠해진 분수 $\tfrac{4}{9}$ 로 쓰는 데 사용.)

⭐ 패턴이 반복될 땐 바닥 전체를 셀 필요가 없어요 — 작은 블록 하나만 세면 됩니다. $3 \times 3$ 모서리 블록의 어두운 타일은 $9$ 중 $4$, 그래서 답은 $\tfrac{4}{9}$ 입니다.

문제

그림

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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