AMC 8 · 2002 · #23

학년 4 geometry-2dcounting

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula

pattern-recognitionspatial-visualizationfraction-arithmeticratio-proportion pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

A corner of a tiled floor is shown. If the entire floor is tiled in this way and each of the four corners looks like this one, then what fraction of the tiled floor is made of darker tiles?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}3$

(B)

$\frac{4}9$

(C)

$\frac{1}2$

(D)

$\frac{5}9$

(E)

$\frac{5}8$

AMC 8 2002 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 타일 바닥의 한 모서리가 보입니다. 바닥 전체가 같은 패턴으로 깔려 있고, 네 모서리 모두 그림과 같은 모양입니다. 어두운 타일이 전체 바닥에서 차지하는 비율을 구하세요.

주어진 것: 주어진 모서리는 어두운 타일과 밝은 타일이 섞인 정사각형 블록이다; 같은 패턴이 바닥 전체에 걸쳐 반복된다; 바닥의 네 모서리는 모두 그림 속 모서리와 똑같이 생겼다; 선택지: (A) $\tfrac{1}{3}$, (B) $\tfrac{4}{9}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{5}{9}$, (E) $\tfrac{5}{8}$

구하는 것: 전체 바닥에서 어두운 타일이 차지하는 비율

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기, #1 그림 그리기

바닥은 머릿속에선 끝없이 펼쳐져 있지만 타일 패턴은 주기적입니다. 도구 #5(패턴 찾기)에 따르면 어두운 비율은 반복되는 한 블록만으로 결정되므로, 바닥 전체를 셀 필요는 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 할 일을 더 줄입니다 — 그림 속 큰 모서리 전체가 아니라, 비율을 그대로 담고 있는 가장 작은 정사각형 블록을 찾으면 됩니다. 모서리에 있는 $3 \times 3$ 블록이면 충분합니다. 도구 #1(그림 그리기) — 사실은 이미 주어진 그림을 읽는 것 — 으로 그 $3 \times 3$ 의 각 칸을 어두움·밝음으로 표시하고 세기만 하면 됩니다.

실행 — 정답: B

#5 패턴 찾기 4.OA.C.5 단계 1

패턴을 이용해 작은 블록 문제로 줄입니다.
같은 패턴이 바닥 전체에 반복되므로, 반복되는 한 블록의 어두운 비율은 바닥 전체의 어두운 비율과 같습니다.
그래서 작은 블록 하나만 살펴보면 됩니다.

$$\dfrac{\text{바닥 위 어두운 수}}{\text{바닥 위 전체 수}} = \dfrac{\text{블록 안 어두운 수}}{\text{블록 안 전체 수}}$$

💡 4학년 "반복 패턴 만들고 분석하기" — 단위가 반복되면 어느 복제본을 보든 똑같으므로, 한 복제본만 봐도 전체 바닥의 답이 나옵니다.

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 4.OA.C.5 단계 2

가장 작고 편리한 블록을 고릅니다.
그림의 모서리에 있는 $3 \times 3$ 정사각형을 봅시다.
바닥의 네 모서리가 모두 같은 모양이므로, 이 모서리 블록의 어두운 비율은 바닥 전체의 어두운 비율과 같습니다.

$$\text{블록 크기} = 3 \times 3 = 9 \text{ 칸}$$

💡 더 쉬운 관련 문제 풀기: 수백 칸을 세는 대신 $9$ 칸만 셉니다. 블록이 작아 눈으로도 셀 수 있습니다.

#1 그림 그리기 3.G.A.2 단계 3

그림에서 모서리 $3 \times 3$ 블록의 각 칸을 읽어 어두움(D) 또는 밝음(L)으로 표시합니다.
위쪽 행부터 차례로 적으면:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline \text{L} & \text{L} & \text{D} \\\hline \text{L} & \text{D} & \text{D} \\\hline \text{D} & \text{L} & \text{L} \\\hline \end{array}$$

💡 3학년 "도형을 같은 크기 부분으로 나누기" — $3 \times 3$ 격자는 이미 $9$ 개의 같은 단위 정사각형으로 나뉘어 있고, 우리는 각 칸에 색만 표시합니다.

#5 패턴 찾기 3.OA.D.8 단계 4

블록 안 어두운 칸의 개수를 셉니다.
1행은 $1$ 개, 2행은 $2$ 개, 3행은 $1$ 개.
모두 더합니다.

$$\text{어두운 수} = 1 + 2 + 1 = 4$$

💡 3학년 여러 단계 덧셈: 각 행별 어두운 수를 세고 행 합을 더합니다.

#5 패턴 찾기 3.NF.A.1 단계 5

분수를 만듭니다.
블록의 어두운 칸 수를 전체 칸 수로 나누면 그게 바닥 전체의 어두운 비율입니다.

$$\dfrac{\text{어두움}}{\text{전체}} = \dfrac{4}{9} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 3학년 분수: 똑같이 나눈 $9$ 칸 중 $4$ 칸이 칠해져 있으면 분수는 $\tfrac{4}{9}$.

[1] #5 4.OA.C.5 패턴을 이용해 작은 블록 문제로 줄입니다. 같은 패턴이 바닥 전체에 반복되므로, 반복되는 한 블록의 어두운 비율은 바닥 전체의 어두운 비율과 같

[2] #9 4.OA.C.5 가장 작고 편리한 블록을 고릅니다. 그림의 모서리에 있는 $3 \times 3$ 정사각형을 봅시다. 바닥의 네 모서리가 모두 같은 모양이므로,

[3] #1 3.G.A.2 그림에서 모서리 $3 \times 3$ 블록의 각 칸을 읽어 어두움(D) 또는 밝음(L)으로 표시합니다. 위쪽 행부터 차례로 적으면:

[4] #5 3.OA.D.8 블록 안 어두운 칸의 개수를 셉니다. 1행은 $1$ 개, 2행은 $2$ 개, 3행은 $1$ 개. 모두 더합니다.

[5] #5 3.NF.A.1 분수를 만듭니다. 블록의 어두운 칸 수를 전체 칸 수로 나누면 그게 바닥 전체의 어두운 비율입니다.

검토

합리성 확인: $\tfrac{4}{9}$ 가 그림과 잘 맞는지 확인합니다. 모서리 블록은 절반보다 살짝 적은 부분이 어두운데, 눈으로 본 인상과 일치합니다 — 어두운 바람개비가 한 행을 거의 다 덮고, 다른 행은 한 칸만, 또 다른 행은 거의 비어 있습니다. 바로 위 선택지 $\tfrac{1}{2}$ 는 정확히 절반이 어두워야 하니 너무 많고, 바로 아래 선택지 $\tfrac{1}{3}$ 는 $9$ 칸 중 $3$ 칸만 어두워야 하니 너무 적습니다. 네 모서리가 모두 같다는 조건도 "한 블록만 보면 된다" 는 논리를 뒷받침하므로, 작은 블록 한 번의 계산으로 충분합니다.

대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기, 여집합 세기): $3 \times 3$ 모서리 블록에서 어두운 대신 밝은 칸을 세 봅시다. 1행 $2$ 개, 2행 $1$ 개, 3행 $2$ 개 → $2 + 1 + 2 = 5$ 개. 그러면 어두운 비율은 $1 - \tfrac{5}{9} = \tfrac{4}{9}$ 로 같은 답이 나옵니다. 어두움과 밝음 수가 비슷할 때 다른 색을 다시 세 보는 것은 셈 실수를 잡아내는 가장 쉬운 방법입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.C.5 주어진 규칙에 따라 수 또는 모양 패턴 만들기 (타일이 반복된다는 사실을 이용해 바닥 전체 문제를 작은 블록 하나의 문제로 줄이는 데 사용.)
3.G.A.2 도형을 넓이가 같은 부분으로 나누기 (모서리 $3 \times 3$ 블록을 $9$ 개의 같은 단위 정사각형으로 읽고 각 칸을 어두움/밝음으로 표시하는 데 사용.)
3.OA.D.8 사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결 (행별 어두운 수 $1 + 2 + 1$ 을 더해 블록 안 어두운 타일 총 $4$ 개를 구하는 데 사용.)
3.NF.A.1 분수 $a/b$ 를 $1/b$ 크기의 $a$ 조각으로 이해하기 (답을 $9$ 개 동등 조각 중 $4$ 개가 칠해진 분수 $\tfrac{4}{9}$ 로 쓰는 데 사용.)

⭐ 패턴이 반복될 땐 바닥 전체를 셀 필요가 없어요 — 작은 블록 하나만 세면 됩니다. $3 \times 3$ 모서리 블록의 어두운 타일은 $9$ 중 $4$, 그래서 답은 $\tfrac{4}{9}$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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