AMC 8 · 2003 · #1

쉬운 모드 학년 2

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문제

정육면체 하나가 책상 위에 놓여 있다고 생각해봅시다.

Jamie는 정육면체의 모서리를 모두 세었어요. Jimmy는 꼭짓점을 모두 세었어요. Judy는 면을 모두 세었어요. 그런 다음 세 사람이 센 수를 모두 더했습니다.

더한 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 친구가 같은 정육면체를 봅니다. Jamie는 모서리의 개수를, Jimmy는 꼭짓점의 개수를, Judy는 면의 개수를 셉니다. 세 수를 더하면 얼마인가요?

주어진 것: 도형은 정육면체이다; Jamie는 모서리(edges)를 센다; Jimmy는 꼭짓점(corners)을 센다; Judy는 면(faces)을 센다; 선택지: (A) $12$, (B) $16$, (C) $20$, (D) $22$, (E) $26$

구하는 것: 합계: 모서리 $+$ 꼭짓점 $+$ 면

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

묻는 답은 한 수이지만 그 수는 독립적인 세 개수를 더해 만든 값입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 모서리 세기, 꼭짓점 세기, 면 세기의 세 작은 일로 나누고 마지막에 더하기만 하면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 작은 일을 처리합니다 — 면은 방향별(위·아래·옆 네 면), 꼭짓점은 층별(아래층·위층), 모서리는 방향별 그룹(아래 가로·위 가로·세로)으로 나열하면 빠뜨림 없이, 겹침 없이 셀 수 있습니다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 2.G.A.1 단계 1

면의 개수를 셉니다.
정육면체에는 위, 아래, 그리고 옆면 네 개가 있습니다.
방향으로 묶어서 빠짐없이 셉니다.

$$\text{면} = 1 \text{ (위)} + 1 \text{ (아래)} + 4 \text{ (옆면)} = 6$$

💡 2학년에서 도형을 평평한 면의 수로 구분합니다. 정육면체의 면은 정사각형 $6$ 개입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.G.A.1 단계 2

꼭짓점의 개수를 셉니다.
모든 꼭짓점은 아래 정사각형 네 모퉁이 또는 위 정사각형 네 모퉁이 중 하나입니다.

$$\text{꼭짓점} = 4 \text{ (아래)} + 4 \text{ (위)} = 8$$

💡 아래 정사각형의 각 모퉁이 바로 위에 위 정사각형의 모퉁이가 한 개씩 있으므로 $4 + 4 = 8$ 개.

#2 빠짐없이 나열하기 2.G.A.1 단계 3

모서리는 방향이 같은 것끼리 묶어 셉니다.
정육면체의 모서리는 평행한 세 묶음으로 나뉩니다 — 아래 둘레 $4$, 위 둘레 $4$, 그리고 사이를 잇는 세로 $4$.

$$\text{모서리} = 4 \text{ (아래)} + 4 \text{ (위)} + 4 \text{ (세로)} = 12$$

💡 모서리를 $4$ 개씩 세 묶음으로 나누면 각 모서리가 정확히 한 번씩 세어집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 4

세 작은 답을 더해 마무리합니다.

$$12 + 8 + 6 = 26 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 2학년의 $100$ 이하 덧셈입니다. $12 + 8 = 20$, 다시 $20 + 6 = 26$.

[1] #2 2.G.A.1 면의 개수를 셉니다. 정육면체에는 위, 아래, 그리고 옆면 네 개가 있습니다. 방향으로 묶어서 빠짐없이 셉니다.

[2] #2 2.G.A.1 꼭짓점의 개수를 셉니다. 모든 꼭짓점은 아래 정사각형 네 모퉁이 또는 위 정사각형 네 모퉁이 중 하나입니다.

[3] #2 2.G.A.1 모서리는 방향이 같은 것끼리 묶어 셉니다. 정육면체의 모서리는 평행한 세 묶음으로 나뉩니다 — 아래 둘레 $4$, 위 둘레 $4$, 그리고 사이

[4] #7 2.NBT.B.5 세 작은 답을 더해 마무리합니다.

검토

합리성 확인: 볼록 다면체에서 항상 성립하는 오일러 식 $V - E + F = 2$ 로 확인해 봅니다. $V = 8$, $E = 12$, $F = 6$ 을 넣으면 $8 - 12 + 6 = 2$ 로 맞으므로 세 개수가 서로 일관됩니다. 그리고 $V + E + F = 8 + 12 + 6 = 26$, 답 (E) 와 일치합니다. 또한 답이 선택지 중 가장 큰 값인 점도 자연스러운데, 양수 셋을 더한 값이라 결과가 클 수밖에 없기 때문입니다.

대안 접근: 도구 #15(다르게 정리하기): 주사위 한 개를 떠올려 봅니다. 손에 잡으면 정사각형 면 $6$ 개, 뾰족한 꼭짓점 $8$ 개, 두 면이 만나는 곧은 모서리 $12$ 개가 한눈에 보입니다. 더하면 $6 + 8 + 12 = 26$, 답은 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

2.G.A.1 주어진 속성을 가진 도형(예: 각의 수, 같은 면의 수)을 알아보고 그리기 (정육면체의 부분을 파악하고 면 $6$, 꼭짓점 $8$, 모서리 $12$ 를 그룹별로 빠짐없이 세는 데 사용.)
2.NBT.B.5 자릿값과 연산 성질, 덧셈·뺄셈의 관계를 이용해 $100$ 이하 범위에서 능숙하게 더하고 빼기 (세 작은 답 $12 + 8 + 6$ 을 더해 최종 합 $26$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 3차원 도형에 대한 큰 질문도 잘게 쪼개면 쉬워집니다 — 면 세기, 꼭짓점 세기, 모서리 세기, 그리고 더하기. 정육면체는 언제나 $6$, $8$, $12$ 이고, 합은 $26$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

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