AMC 8 · 2003 · #1

학년 2 geometry-3d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

spatial-visualizationmulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Jamie counted the number of edges of a cube, Jimmy counted the numbers of corners, and Judy counted the number of faces. They then added the three numbers. What was the resulting sum?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 세 친구가 같은 정육면체를 봅니다. Jamie는 모서리의 개수를, Jimmy는 꼭짓점의 개수를, Judy는 면의 개수를 셉니다. 세 수를 더하면 얼마인가요?

주어진 것: 도형은 정육면체이다; Jamie는 모서리(edges)를 센다; Jimmy는 꼭짓점(corners)을 센다; Judy는 면(faces)을 센다; 선택지: (A) $12$, (B) $16$, (C) $20$, (D) $22$, (E) $26$

구하는 것: 합계: 모서리 $+$ 꼭짓점 $+$ 면

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기

묻는 답은 한 수이지만 그 수는 독립적인 세 개수를 더해 만든 값입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 모서리 세기, 꼭짓점 세기, 면 세기의 세 작은 일로 나누고 마지막에 더하기만 하면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 작은 일을 처리합니다 — 면은 방향별(위·아래·옆 네 면), 꼭짓점은 층별(아래층·위층), 모서리는 방향별 그룹(아래 가로·위 가로·세로)으로 나열하면 빠뜨림 없이, 겹침 없이 셀 수 있습니다.

실행 — 정답: E

#2 빠짐없이 나열하기 2.G.A.1 단계 1

면의 개수를 셉니다.
정육면체에는 위, 아래, 그리고 옆면 네 개가 있습니다.
방향으로 묶어서 빠짐없이 셉니다.

$$\text{면} = 1 \text{ (위)} + 1 \text{ (아래)} + 4 \text{ (옆면)} = 6$$

💡 2학년에서 도형을 평평한 면의 수로 구분합니다. 정육면체의 면은 정사각형 $6$ 개입니다.

#2 빠짐없이 나열하기 2.G.A.1 단계 2

꼭짓점의 개수를 셉니다.
모든 꼭짓점은 아래 정사각형 네 모퉁이 또는 위 정사각형 네 모퉁이 중 하나입니다.

$$\text{꼭짓점} = 4 \text{ (아래)} + 4 \text{ (위)} = 8$$

💡 아래 정사각형의 각 모퉁이 바로 위에 위 정사각형의 모퉁이가 한 개씩 있으므로 $4 + 4 = 8$ 개.

#2 빠짐없이 나열하기 2.G.A.1 단계 3

모서리는 방향이 같은 것끼리 묶어 셉니다.
정육면체의 모서리는 평행한 세 묶음으로 나뉩니다 — 아래 둘레 $4$, 위 둘레 $4$, 그리고 사이를 잇는 세로 $4$.

$$\text{모서리} = 4 \text{ (아래)} + 4 \text{ (위)} + 4 \text{ (세로)} = 12$$

💡 모서리를 $4$ 개씩 세 묶음으로 나누면 각 모서리가 정확히 한 번씩 세어집니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 2.NBT.B.5 단계 4

세 작은 답을 더해 마무리합니다.

$$12 + 8 + 6 = 26 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 2학년의 $100$ 이하 덧셈입니다. $12 + 8 = 20$, 다시 $20 + 6 = 26$.

[1] #2 2.G.A.1 면의 개수를 셉니다. 정육면체에는 위, 아래, 그리고 옆면 네 개가 있습니다. 방향으로 묶어서 빠짐없이 셉니다.

[2] #2 2.G.A.1 꼭짓점의 개수를 셉니다. 모든 꼭짓점은 아래 정사각형 네 모퉁이 또는 위 정사각형 네 모퉁이 중 하나입니다.

[3] #2 2.G.A.1 모서리는 방향이 같은 것끼리 묶어 셉니다. 정육면체의 모서리는 평행한 세 묶음으로 나뉩니다 — 아래 둘레 $4$, 위 둘레 $4$, 그리고 사이

[4] #7 2.NBT.B.5 세 작은 답을 더해 마무리합니다.

검토

합리성 확인: 볼록 다면체에서 항상 성립하는 오일러 식 $V - E + F = 2$ 로 확인해 봅니다. $V = 8$, $E = 12$, $F = 6$ 을 넣으면 $8 - 12 + 6 = 2$ 로 맞으므로 세 개수가 서로 일관됩니다. 그리고 $V + E + F = 8 + 12 + 6 = 26$, 답 (E) 와 일치합니다. 또한 답이 선택지 중 가장 큰 값인 점도 자연스러운데, 양수 셋을 더한 값이라 결과가 클 수밖에 없기 때문입니다.

대안 접근: 도구 #15(다르게 정리하기): 주사위 한 개를 떠올려 봅니다. 손에 잡으면 정사각형 면 $6$ 개, 뾰족한 꼭짓점 $8$ 개, 두 면이 만나는 곧은 모서리 $12$ 개가 한눈에 보입니다. 더하면 $6 + 8 + 12 = 26$, 답은 (E).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

2.G.A.1 주어진 속성을 가진 도형(예: 각의 수, 같은 면의 수)을 알아보고 그리기 (정육면체의 부분을 파악하고 면 $6$, 꼭짓점 $8$, 모서리 $12$ 를 그룹별로 빠짐없이 세는 데 사용.)
2.NBT.B.5 자릿값과 연산 성질, 덧셈·뺄셈의 관계를 이용해 $100$ 이하 범위에서 능숙하게 더하고 빼기 (세 작은 답 $12 + 8 + 6$ 을 더해 최종 합 $26$ 을 구하는 데 사용.)

⭐ 3차원 도형에 대한 큰 질문도 잘게 쪼개면 쉬워집니다 — 면 세기, 꼭짓점 세기, 모서리 세기, 그리고 더하기. 정육면체는 언제나 $6$, $8$, $12$ 이고, 합은 $26$ 입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 2)

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