AMC 8 · 2003 · #13
쉬운 모드 학년 4문제
작은 하얀 정육면체 14개를 쌓아 하나의 모양을 만들었다고 생각해봅시다. 이 모양의 바깥쪽 전체, 바닥까지 포함해서, 빨간색 페인트에 담급니다.
그 다음, 이 모양을 다시 14개의 따로따로 떨어진 정육면체로 나눕니다.
이 정육면체들 중에는 면 6개 중에서 정확히 4개에만 빨간색이 칠해진 것들이 있습니다. 그런 정육면체는 몇 개일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 흰색 단위정육면체 $14$ 개를 붙여 한 입체를 만듭니다. 이 입체의 바깥쪽 표면 전체(바닥 포함)를 빨간색으로 칠합니다. 그 다음 입체를 다시 $14$ 개의 정육면체로 분리합니다. 그중 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 정육면체는 몇 개일까요?
주어진 것: $14$ 개의 단위정육면체를 붙여 만든 하나의 입체; 이 입체는 바닥에 깔린 $3 \times 4$ 둘레의 텅 빈 직사각형 고리($10$ 개) 위에, 고리의 네 모서리 위치 위에 한 개씩 쌓인 정육면체 $4$ 개로 이루어진다; 조립된 입체의 모든 바깥면이 빨강으로 칠해진다 — 바닥도 칠해진다; 정육면체 두 개가 맞닿은 면은 칠해지지 않는다; 칠한 뒤 정육면체를 다시 분리한다; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $12$
구하는 것: 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 단위정육면체의 개수
이해
문제 재정리: 흰색 단위정육면체 $14$ 개를 붙여 한 입체를 만듭니다. 이 입체의 바깥쪽 표면 전체(바닥 포함)를 빨간색으로 칠합니다. 그 다음 입체를 다시 $14$ 개의 정육면체로 분리합니다. 그중 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 정육면체는 몇 개일까요?
주어진 것: $14$ 개의 단위정육면체를 붙여 만든 하나의 입체; 이 입체는 바닥에 깔린 $3 \times 4$ 둘레의 텅 빈 직사각형 고리($10$ 개) 위에, 고리의 네 모서리 위치 위에 한 개씩 쌓인 정육면체 $4$ 개로 이루어진다; 조립된 입체의 모든 바깥면이 빨강으로 칠해진다 — 바닥도 칠해진다; 정육면체 두 개가 맞닿은 면은 칠해지지 않는다; 칠한 뒤 정육면체를 다시 분리한다; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $12$
계획
주요 도구: #10 직접 만져 보기
보조 도구: #2 정육면체 종류별로 나열하기
$14$ 개의 정육면체가 만드는 3차원 배치라서 도구 #10(직접 만져 보기)이 가장 효과적입니다 — 실제 블록을 쌓거나(또는 바닥 평면도 + 윗층을 따로 그리기) 각 정육면체의 어떤 면이 이웃과 맞닿는지 한눈에 보세요. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 정리 짝꿍입니다: $14$ 개의 정육면체를 위치 유형(바닥 모서리, 바닥 변의 중간, 윗층 모서리)으로 묶고, 한 종류당 한 개의 이웃 수만 세어 "빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$" 규칙을 적용합니다. 세 그룹, 세 번의 뺄셈, 그리고 빨간 면이 $4$ 개인 그룹의 인원을 합치면 끝.
실행 — 정답: B
1.G.A.2 단계 1 - 블록으로 입체를 쌓거나 그림으로 구조를 확인합니다.
- 바닥층은 텅 빈 직사각형 고리입니다: 앞쪽에 $3$ 개, 뒤쪽에 $3$ 개, 양 옆에 각각 $2$ 개씩 — 총 $10$ 개.
- 그 위 네 모서리 위치마다 정육면체 $1$ 개씩이 더 쌓여 $4$ 개가 추가됩니다.
- 합 $10 + 4 = 14$ — 문제의 개수와 일치합니다.
💡 단위정육면체로 입체를 합쳐 만드는 것은 1학년 공간 감각입니다. "바닥 고리 + 모서리 윗층" 으로 나누면 개수도 깔끔하고 세 가지 정육면체 유형도 곧장 보입니다.
1.G.A.2 단계 2 - 규칙을 사용합니다: 정육면체 한 개의 빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$.
- 입체의 바닥도 칠해지므로 바닥에 깔린 정육면체도 "바닥과 닿아서 가려진 면" 이 없습니다 — 가려진 면은 오직 이웃 정육면체와 붙은 면뿐입니다.
💡 한 번 닿을 때마다 양쪽 정육면체에서 면 하나씩이 가려집니다. "바닥도 칠한다" 한 줄 덕분에 바닥에 있는 정육면체에 별도 보정이 필요 없어 셈이 깔끔해집니다.
4.OA.A.3 단계 3 - $14$ 개의 정육면체를 세 종류로 나누고, 각 종류에서 한 개의 이웃 수를 셉니다.
- 유형 A — 바닥 모서리(네 모서리 자리에 있는 $4$ 개): 앞/뒤 변 방향 이웃 $1$ 개, 옆 변 방향 이웃 $1$ 개, 위에 쌓인 정육면체 $1$ 개 — 이웃 $3$ 개.
- 유형 B — 바닥 변의 중간($6$ 개, 고리 각 변의 중간 자리들): 고리를 따라 이웃 $2$ 개, 위에는 아무것도 없음.
- 유형 C — 윗층 모서리(쌓인 $4$ 개): 아래 정육면체 $1$ 개 외에는 이웃 없음, 이웃 $1$ 개.
💡 같은 위치 유형의 정육면체들은 대칭상 똑같이 행동하므로, 한 종류당 한 번만 세도 $14$ 개 전부가 정리됩니다.
4.OA.A.3 단계 4 - 각 유형에 $6 - \text{이웃 수}$ 를 적용합니다.
- 유형 A: $6 - 3 = 3$ 개.
- 유형 B: $6 - 2 = 4$ 개.
- 유형 C: $6 - 1 = 5$ 개.
- 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 것은 유형 B 뿐이며, 그 종류의 개수는 $6$ 입니다.
💡 "빨간 면 $4$ 개" 는 "이웃 $2$ 개" 와 같은 말이고, 그 조건을 만족하는 자리는 고리 네 변의 중간뿐입니다.
1.G.A.2 블록으로 입체를 쌓거나 그림으로 구조를 확인합니다. 바닥층은 텅 빈 직사각형 고리입니다: 앞쪽에 $3$ 개, 뒤쪽에 $3$ 개, 양 옆에 각각 1.G.A.2 규칙을 사용합니다: 정육면체 한 개의 빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$. 입체의 바닥도 칠해지므로 바닥에 깔린 정육면체도 "바닥과 닿 4.OA.A.3 $14$ 개의 정육면체를 세 종류로 나누고, 각 종류에서 한 개의 이웃 수를 셉니다. 유형 A — 바닥 모서리(네 모서리 자리에 있는 $4$ 개 4.OA.A.3 각 유형에 $6 - \text{이웃 수}$ 를 적용합니다. 유형 A: $6 - 3 = 3$ 개. 유형 B: $6 - 2 = 4$ 개. 유형 C: 검토
합리성 확인: 총 빨간 면 수를 두 방식으로 비교해 확인합니다. 유형 A 의 기여는 $4 \times 3 = 12$, 유형 B 는 $6 \times 4 = 24$, 유형 C 는 $4 \times 5 = 20$, 합 $12 + 24 + 20 = 56$. 반대로 칠해진 입체의 바깥 표면을 직접 세면 — $3 \times 4 = 12$ 인 바닥, 고리 윗면(가운데 $1 \times 2$ 구멍과 모서리 네 자리가 위에 쌓인 정육면체에 가려진 부분 제외), 네 모서리 윗층의 윗면 $4$ 개, 그리고 고리 바깥/안쪽 옆면 띠와 윗층 정육면체 네 옆면 — 모두 더하면 똑같이 $56$ 개가 나와 이웃 수 계산이 옳음을 확인합니다. 또 답 $6$ 은 선택지의 가운데 값으로, AMC 8 에서 흔히 옳을 위치에 있어 자연스럽습니다.
대안 접근: 도구 #17(공간 상상하기): "빨간 면 정확히 $4$ 개" 를 그대로 "가려진 면 정확히 $2$ 개" — 즉 이웃이 정확히 $2$ 개인 정육면체로 바꿔 읽습니다. 조립된 입체에서 바닥 고리의 모든 정육면체는 네 변 중 하나의 위에 놓입니다. 네 모서리 자리는 두 변이 꺾이는 곳이라 이웃 $3$ 개(고리 이웃 $2$ + 위에 쌓인 정육면체 $1$), 윗층의 정육면체는 아래 한 개와만 닿아 이웃 $1$ 개. 남는 것은 네 변의 가운데 자리뿐 — 앞쪽 변에 $1$ 개, 뒤쪽 변에 $1$ 개, 왼쪽 변에 $2$ 개, 오른쪽 변에 $2$ 개로 $1+1+2+2 = 6$. 같은 답 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
1.G.A.2이차원 도형 또는 삼차원 도형을 합쳐 합성 도형 만들기 ($14$ 개의 단위정육면체를 "바닥 고리 $10$ 개 + 모서리 윗층 $4$ 개" 의 합성 입체로 보고, 각 정육면체의 이웃을 조립 구조에서 직접 읽어내는 데 사용.)4.OA.A.3네 가지 연산을 사용해 자연수 다단계 문장제 문제 풀기 ($14$ 개의 정육면체를 세 가지 위치 유형으로 묶고, 각 유형에 $\text{빨간 면} = 6 - \text{이웃 수}$ 규칙을 적용해 빨간 면이 $4$ 인 유형의 개수를 찾는 데 사용.)
⭐ 이웃과 맞닿은 면은 흰색 그대로니까 빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$. $14$ 개의 정육면체를 자리 유형(바닥 모서리, 바닥 변 중간, 윗층 모서리)으로 나누면, 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 것은 고리 네 변 가운데에 있는 $6$ 개입니다.
⭐ 이웃과 맞닿은 면은 흰색 그대로니까 빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$. $14$ 개의 정육면체를 자리 유형(바닥 모서리, 바닥 변 중간, 윗층 모서리)으로 나누면, 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 것은 고리 네 변 가운데에 있는 $6$ 개입니다.
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