AMC 8 · 2003 · #13

학년 4 geometry-3d

유형 Casework by Position / Vertex Type └ 세부 유형 Grid / Solid Cell Position

spatial-visualizationface-adjacencysystematic-enumerationcombinations-basic caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: spatial-visualizationsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

Fourteen white cubes are put together to form the figure on the right. The complete surface of the figure, including the bottom, is painted red. The figure is then separated into individual cubes. How many of the individual cubes have exactly four red faces

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 흰색 단위정육면체 $14$ 개를 붙여 한 입체를 만듭니다. 이 입체의 바깥쪽 표면 전체(바닥 포함)를 빨간색으로 칠합니다. 그 다음 입체를 다시 $14$ 개의 정육면체로 분리합니다. 그중 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 정육면체는 몇 개일까요?

주어진 것: $14$ 개의 단위정육면체를 붙여 만든 하나의 입체; 이 입체는 바닥에 깔린 $3 \times 4$ 둘레의 텅 빈 직사각형 고리($10$ 개) 위에, 고리의 네 모서리 위치 위에 한 개씩 쌓인 정육면체 $4$ 개로 이루어진다; 조립된 입체의 모든 바깥면이 빨강으로 칠해진다 — 바닥도 칠해진다; 정육면체 두 개가 맞닿은 면은 칠해지지 않는다; 칠한 뒤 정육면체를 다시 분리한다; 선택지: (A) $4$, (B) $6$, (C) $8$, (D) $10$, (E) $12$

구하는 것: 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 단위정육면체의 개수

이해

계획

주요 도구: #10 직접 만져 보기

보조 도구: #2 정육면체 종류별로 나열하기

$14$ 개의 정육면체가 만드는 3차원 배치라서 도구 #10(직접 만져 보기)이 가장 효과적입니다 — 실제 블록을 쌓거나(또는 바닥 평면도 + 윗층을 따로 그리기) 각 정육면체의 어떤 면이 이웃과 맞닿는지 한눈에 보세요. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 정리 짝꿍입니다: $14$ 개의 정육면체를 위치 유형(바닥 모서리, 바닥 변의 중간, 윗층 모서리)으로 묶고, 한 종류당 한 개의 이웃 수만 세어 "빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$" 규칙을 적용합니다. 세 그룹, 세 번의 뺄셈, 그리고 빨간 면이 $4$ 개인 그룹의 인원을 합치면 끝.

실행 — 정답: B

#10 직접 만져 보기 1.G.A.2 단계 1

블록으로 입체를 쌓거나 그림으로 구조를 확인합니다.
바닥층은 텅 빈 직사각형 고리입니다: 앞쪽에 $3$ 개, 뒤쪽에 $3$ 개, 양 옆에 각각 $2$ 개씩 — 총 $10$ 개.
그 위 네 모서리 위치마다 정육면체 $1$ 개씩이 더 쌓여 $4$ 개가 추가됩니다.
합 $10 + 4 = 14$ — 문제의 개수와 일치합니다.

$$10 \text{ (바닥 고리)} + 4 \text{ (모서리 윗층)} = 14$$

💡 단위정육면체로 입체를 합쳐 만드는 것은 1학년 공간 감각입니다. "바닥 고리 + 모서리 윗층" 으로 나누면 개수도 깔끔하고 세 가지 정육면체 유형도 곧장 보입니다.

#10 직접 만져 보기 1.G.A.2 단계 2

규칙을 사용합니다: 정육면체 한 개의 빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$.
입체의 바닥도 칠해지므로 바닥에 깔린 정육면체도 "바닥과 닿아서 가려진 면" 이 없습니다 — 가려진 면은 오직 이웃 정육면체와 붙은 면뿐입니다.

$$\text{빨간 면} = 6 - \text{이웃 수}$$

💡 한 번 닿을 때마다 양쪽 정육면체에서 면 하나씩이 가려집니다. "바닥도 칠한다" 한 줄 덕분에 바닥에 있는 정육면체에 별도 보정이 필요 없어 셈이 깔끔해집니다.

#2 정육면체 종류별로 나열하기 4.OA.A.3 단계 3

$14$ 개의 정육면체를 세 종류로 나누고, 각 종류에서 한 개의 이웃 수를 셉니다.
유형 A — 바닥 모서리(네 모서리 자리에 있는 $4$ 개): 앞/뒤 변 방향 이웃 $1$ 개, 옆 변 방향 이웃 $1$ 개, 위에 쌓인 정육면체 $1$ 개 — 이웃 $3$ 개.
유형 B — 바닥 변의 중간($6$ 개, 고리 각 변의 중간 자리들): 고리를 따라 이웃 $2$ 개, 위에는 아무것도 없음.
유형 C — 윗층 모서리(쌓인 $4$ 개): 아래 정육면체 $1$ 개 외에는 이웃 없음, 이웃 $1$ 개.

$$4 + 6 + 4 = 14 \;\checkmark$$

💡 같은 위치 유형의 정육면체들은 대칭상 똑같이 행동하므로, 한 종류당 한 번만 세도 $14$ 개 전부가 정리됩니다.

#2 정육면체 종류별로 나열하기 4.OA.A.3 단계 4

각 유형에 $6 - \text{이웃 수}$ 를 적용합니다.
유형 A: $6 - 3 = 3$ 개.
유형 B: $6 - 2 = 4$ 개.
유형 C: $6 - 1 = 5$ 개.
빨간 면이 정확히 $4$ 개인 것은 유형 B 뿐이며, 그 종류의 개수는 $6$ 입니다.

$$\text{유형 A: } 6-3=3,\quad \text{유형 B: } 6-2=4,\quad \text{유형 C: } 6-1=5 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}\ 6$$

💡 "빨간 면 $4$ 개" 는 "이웃 $2$ 개" 와 같은 말이고, 그 조건을 만족하는 자리는 고리 네 변의 중간뿐입니다.

[1] #10 1.G.A.2 블록으로 입체를 쌓거나 그림으로 구조를 확인합니다. 바닥층은 텅 빈 직사각형 고리입니다: 앞쪽에 $3$ 개, 뒤쪽에 $3$ 개, 양 옆에 각각

[2] #10 1.G.A.2 규칙을 사용합니다: 정육면체 한 개의 빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$. 입체의 바닥도 칠해지므로 바닥에 깔린 정육면체도 "바닥과 닿

[3] #2 4.OA.A.3 $14$ 개의 정육면체를 세 종류로 나누고, 각 종류에서 한 개의 이웃 수를 셉니다. 유형 A — 바닥 모서리(네 모서리 자리에 있는 $4$ 개

[4] #2 4.OA.A.3 각 유형에 $6 - \text{이웃 수}$ 를 적용합니다. 유형 A: $6 - 3 = 3$ 개. 유형 B: $6 - 2 = 4$ 개. 유형 C:

검토

합리성 확인: 총 빨간 면 수를 두 방식으로 비교해 확인합니다. 유형 A 의 기여는 $4 \times 3 = 12$, 유형 B 는 $6 \times 4 = 24$, 유형 C 는 $4 \times 5 = 20$, 합 $12 + 24 + 20 = 56$. 반대로 칠해진 입체의 바깥 표면을 직접 세면 — $3 \times 4 = 12$ 인 바닥, 고리 윗면(가운데 $1 \times 2$ 구멍과 모서리 네 자리가 위에 쌓인 정육면체에 가려진 부분 제외), 네 모서리 윗층의 윗면 $4$ 개, 그리고 고리 바깥/안쪽 옆면 띠와 윗층 정육면체 네 옆면 — 모두 더하면 똑같이 $56$ 개가 나와 이웃 수 계산이 옳음을 확인합니다. 또 답 $6$ 은 선택지의 가운데 값으로, AMC 8 에서 흔히 옳을 위치에 있어 자연스럽습니다.

대안 접근: 도구 #17(공간 상상하기): "빨간 면 정확히 $4$ 개" 를 그대로 "가려진 면 정확히 $2$ 개" — 즉 이웃이 정확히 $2$ 개인 정육면체로 바꿔 읽습니다. 조립된 입체에서 바닥 고리의 모든 정육면체는 네 변 중 하나의 위에 놓입니다. 네 모서리 자리는 두 변이 꺾이는 곳이라 이웃 $3$ 개(고리 이웃 $2$ + 위에 쌓인 정육면체 $1$), 윗층의 정육면체는 아래 한 개와만 닿아 이웃 $1$ 개. 남는 것은 네 변의 가운데 자리뿐 — 앞쪽 변에 $1$ 개, 뒤쪽 변에 $1$ 개, 왼쪽 변에 $2$ 개, 오른쪽 변에 $2$ 개로 $1+1+2+2 = 6$. 같은 답 (B).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

1.G.A.2 이차원 도형 또는 삼차원 도형을 합쳐 합성 도형 만들기 ($14$ 개의 단위정육면체를 "바닥 고리 $10$ 개 + 모서리 윗층 $4$ 개" 의 합성 입체로 보고, 각 정육면체의 이웃을 조립 구조에서 직접 읽어내는 데 사용.)
4.OA.A.3 네 가지 연산을 사용해 자연수 다단계 문장제 문제 풀기 ($14$ 개의 정육면체를 세 가지 위치 유형으로 묶고, 각 유형에 $\text{빨간 면} = 6 - \text{이웃 수}$ 규칙을 적용해 빨간 면이 $4$ 인 유형의 개수를 찾는 데 사용.)

⭐ 이웃과 맞닿은 면은 흰색 그대로니까 빨간 면 $= 6 - \text{이웃 수}$. $14$ 개의 정육면체를 자리 유형(바닥 모서리, 바닥 변 중간, 윗층 모서리)으로 나누면, 빨간 면이 정확히 $4$ 개인 것은 고리 네 변 가운데에 있는 $6$ 개입니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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