AMC 8 · 2003 · #15
쉬운 모드 학년 5문제
한 변의 길이가 1인 작은 정육면체들로 어떤 모양을 만든다고 생각해봅시다. 모양 속 각 정육면체는 다른 정육면체와 면 하나가 통째로 맞붙어 있어야 합니다.
이 모양을 앞에서 본 모습(front view)과 옆에서 본 모습(side view)이 그림에 그려져 있어요. 두 모습 모두 단위 정사각형으로 이루어져 있습니다.
이 앞모습과 옆모습이 같이 나오도록 모양을 만들 때, 정육면체가 적어도 몇 개 필요할까요?
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AMC 8 2003 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 단위 정육면체를 쌓아 3D 도형을 만듭니다. 모든 정육면체는 다른 정육면체와 한 면 전체를 맞대고 있어야 해요. 정면에서 본 모습은 L자 모양($2$ 칸이 왼쪽에 위아래로 쌓이고, 그 아래 칸 오른쪽에 $1$ 칸이 더 붙은 형태)이고, 옆에서 본 모습은 그 거울상 L자 모양입니다. 이 두 모습이 모두 나오도록 만들려면 정육면체가 최소 몇 개 필요할까요?
주어진 것: 재료는 단위 정육면체. 모든 정육면체는 적어도 하나의 다른 정육면체와 한 면 전체를 맞대야 한다; 정면 뷰(한 수평 방향에서 본 모습)는 $3$ 칸의 L자: (열, 행) 좌표로 $(0,0), (0,1), (1,0)$; 측면 뷰(정면과 수직인 수평 방향에서 본 모습)는 거울상 L자, $3$ 칸; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$
구하는 것: 정면 뷰와 측면 뷰를 동시에 만족시키는 정육면체의 최소 개수
이해
문제 재정리: 단위 정육면체를 쌓아 3D 도형을 만듭니다. 모든 정육면체는 다른 정육면체와 한 면 전체를 맞대고 있어야 해요. 정면에서 본 모습은 L자 모양($2$ 칸이 왼쪽에 위아래로 쌓이고, 그 아래 칸 오른쪽에 $1$ 칸이 더 붙은 형태)이고, 옆에서 본 모습은 그 거울상 L자 모양입니다. 이 두 모습이 모두 나오도록 만들려면 정육면체가 최소 몇 개 필요할까요?
주어진 것: 재료는 단위 정육면체. 모든 정육면체는 적어도 하나의 다른 정육면체와 한 면 전체를 맞대야 한다; 정면 뷰(한 수평 방향에서 본 모습)는 $3$ 칸의 L자: (열, 행) 좌표로 $(0,0), (0,1), (1,0)$; 측면 뷰(정면과 수직인 수평 방향에서 본 모습)는 거울상 L자, $3$ 칸; 선택지: (A) $3$, (B) $4$, (C) $5$, (D) $6$, (E) $7$
계획
주요 도구: #10 직접 만져보기
보조 도구: #17 공간 상상하기, #3 가능성 지우기
문제는 2D 두 뷰를 주고 3D 도형을 구성하라고 합니다 — 도구 #10(직접 만져보기)의 전형적인 신호죠. 실제 또는 머릿속의 단위 정육면체를 격자에 올려놓으며 두 "그림자"가 모두 맞을 때까지 맞춰 봅니다. 도구 #17(공간 상상하기)은 한 정육면체가 두 뷰에 동시에 쓰이도록 한 축 방향으로 정렬해 개수를 줄이는 데 도움이 됩니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식 안전망입니다. 최소 후보 $3$ 부터 확인합니다 — 정면 뷰에 칸이 $3$ 개 있으니 $3$ 개로 가능한지 묻고, 연결 조건에서 막히면 답이 $4$ 로 굳어집니다.
실행 — 정답: B
5.G.A.1 단계 1 - 축을 잡아 뷰를 좌표로 옮깁니다.
- $x$ 축은 오른쪽(정면 뷰 방향), $y$ 축은 안쪽(깊이, 측면 뷰 방향), $z$ 축은 위쪽으로 둡니다.
- 정면 뷰는 $y$ 축을 "눌러" 보는 것: 위치 $(x,y,z)$ 의 정육면체는 정면 그림의 열 $x$, 행 $z$ 칸에 보입니다.
- 측면 뷰는 $x$ 축을 누른 것: 같은 정육면체가 측면 그림의 열 $y$, 행 $z$ 칸에 보입니다.
💡 3D 위치를 두 개의 2D 그림으로 읽는 건 5학년 좌표축 아이디어를 한 축 더 늘린 것뿐입니다.
5.G.A.1 단계 2 - 두 뷰를 격자 칸으로 해독합니다.
- 정면 L자는 $(x,z) = (0,0), (0,1), (1,0)$ 의 세 칸을 채웁니다.
- 측면의 거울상 L자는 $(y,z) = (0,0), (1,0), (1,1)$ 의 세 칸을 채웁니다.
- 따라서 $z = 1$ 인 칸은 정면에서는 $x = 0$ 에서만, 측면에서는 $y = 1$ 에서만 필요합니다.
💡 각 뷰의 켜진 칸을 좌표쌍 목록으로 적으면 그림이 "맞춰야 할 체크리스트"가 됩니다.
5.G.A.1 단계 3 - 뷰 방향으로 정육면체를 겹쳐서 개수를 최소화한 도형을 만듭니다.
- $4$ 개의 정육면체를 $(x,y,z) = (0,0,0), (0,0,1), (1,0,0), (1,1,0)$ 에 놓아 봅시다.
- 정면 투영: $(0,0), (0,1), (1,0), (1,0)$ — 서로 다른 칸은 $(0,0), (0,1), (1,0)$ 으로 정면 L자와 일치.
- 측면 투영: $(0,0), (0,1), (0,0), (1,0)$ — 서로 다른 칸은 $(0,0), (0,1), (1,0)$ 으로 측면 L자와 일치 (거울상 L자는 "측면" 축을 어느 쪽으로 잡느냐의 표기 차이일 뿐, 켜진 칸 집합은 동일).
- 연결 검사: $(0,0,1)$ 은 $(0,0,0)$ 위에 얹혀 있어 한 면을 공유, $(0,0,0)$ 은 $(1,0,0)$ 과 한 면 공유, $(1,0,0)$ 은 $(1,1,0)$ 과 한 면 공유.
- 모든 정육면체가 다른 정육면체와 면을 맞대고 있습니다.
💡 뷰가 누르는 축 방향으로 정육면체를 정렬하면 "한 정육면체로 두 뷰 동시에" 처리되어 개수가 최소화됩니다.
5.G.A.1 단계 4 - 정육면체 $3$ 개로는 안 된다는 것을 확인합니다.
- 각 뷰가 $3$ 칸씩이므로 $3$ 개로 두 뷰를 모두 채우려면 정육면체 하나가 정면 한 칸과 측면 한 칸을 정확히 하나씩 책임져야 합니다.
- 그런데 정면 L자에도 $z = 1$ 인 칸이 있고, 측면 L자에도 $z = 1$ 인 칸이 있으므로, $3$ 개일 땐 그 두 "꼭대기" 가 같은 정육면체 하나 $(x_0,y_0,1)$ 일 수밖에 없습니다.
- 나머지 $2$ 개는 $z = 0$ 에 놓이는데, 남은 정면 칸과 남은 측면 칸을 각각 채우려면 위치가 $(x_0,y_0',0)$ 과 $(x_0',y_0,0)$ 가 되어 $x$ 도 $y$ 도 서로 다릅니다.
- 이 두 바닥 정육면체는 서로 면을 맞대지 못하고, 꼭대기 정육면체는 둘 중 한쪽 바로 위에만 있으므로 다른 한쪽은 "공중에 떠 있는" 상태가 됩니다.
- 연결 조건을 깨므로 $3$ 개는 불가능.
💡 두 뷰만 보면 $3$ 개로도 그림자가 맞을 수 있지만, "모든 정육면체는 다른 정육면체와 면을 맞대야 한다" 는 조건이 한 개를 더 강제합니다.
5.G.A.1 단계 5 - 결론.
- $4$ 개 구성은 작동하고 $3$ 개는 불가능하므로 최소 개수는 $4$ 입니다.
💡 선택지 중 $4$ 만이 "구성 가능 + 그 아래로는 불가능" 을 동시에 만족합니다.
5.G.A.1 축을 잡아 뷰를 좌표로 옮깁니다. $x$ 축은 오른쪽(정면 뷰 방향), $y$ 축은 안쪽(깊이, 측면 뷰 방향), $z$ 축은 위쪽으로 둡니다. 5.G.A.1 두 뷰를 격자 칸으로 해독합니다. 정면 L자는 $(x,z) = (0,0), (0,1), (1,0)$ 의 세 칸을 채웁니다. 측면의 거울상 L자는 5.G.A.1 뷰 방향으로 정육면체를 겹쳐서 개수를 최소화한 도형을 만듭니다. $4$ 개의 정육면체를 $(x,y,z) = (0,0,0), (0,0,1), (1 5.G.A.1 정육면체 $3$ 개로는 안 된다는 것을 확인합니다. 각 뷰가 $3$ 칸씩이므로 $3$ 개로 두 뷰를 모두 채우려면 정육면체 하나가 정면 한 칸과 5.G.A.1 결론. $4$ 개 구성은 작동하고 $3$ 개는 불가능하므로 최소 개수는 $4$ 입니다. 검토
합리성 확인: 수치 감각으로 점검합니다. 각 뷰가 $3$ 칸이므로 단순한 하한은 $3$ 개. 연결 조건이 $1$ 개를 더 요구하므로 "$3 + 1$ = $4$" 형태의 답이 자연스럽고, 그게 (B)입니다. $\{(0,0,0),(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0)\}$ 의 $4$ 개 구성은 모든 정육면체가 다른 정육면체와 한 면을 맞대고 있고 두 뷰 모두 L자로 투영되므로 $4$ 개는 실제로 달성됩니다. (C)$5$, (D)$6$, (E)$7$ 은 최소가 아니므로 제외되고, (A)$3$ 은 연결 논증으로 제외됩니다.
대안 접근: 도구 #17(공간 상상하기)만으로도 같은 결론에 닿습니다. 정면 L자를 머릿속에 띄우고, 측면 L자의 바닥줄($z = 0$)이 정면 L자의 바닥줄과 같은 $z$ 줄에 있다는 사실을 이용합니다. $y$ 축 방향으로 정육면체 $2$ 개를 $z = 0$ 에 놓아 정면의 $(1,0)$ 칸과 측면의 $(1,0)$ 칸을 동시에 켭니다. $(0,0,0)$ 에 한 개를 더 놓아 정면 $(0,0)$ 과 측면 $(0,0)$ 을 함께 켜고, 마지막으로 그 위에 한 개를 더 얹어 정면 $(0,1)$ 과 측면 $(0,1)$ 을 동시에 켭니다. 같은 $4$ 개짜리 도형이고, 각 정육면체가 어느 뷰에 기여하는지를 머릿속으로 추적해 도출한 것이죠.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
5.G.A.1두 수직 수선(좌표축)을 이용해 좌표계를 정의하기 (정면 뷰를 $(x,z)$ 투영, 측면 뷰를 $(y,z)$ 투영으로 읽고, 단위 정육면체를 $(x,y,z)$ 좌표에 배치해 두 투영이 동시에 L자가 되도록 맞추는 데 사용.)
⭐ 두 개의 납작한 뷰, 하나의 3D 답: 뷰가 누르는 축 방향으로 정육면체를 정렬해 겹치고, "공중에 뜨지 않게" 한 개를 더 — 5학년 좌표 사고로 이 AMC 8 문제는 $4$ 개로 풀립니다.
⭐ 두 개의 납작한 뷰, 하나의 3D 답: 뷰가 누르는 축 방향으로 정육면체를 정렬해 겹치고, "공중에 뜨지 않게" 한 개를 더 — 5학년 좌표 사고로 이 AMC 8 문제는 $4$ 개로 풀립니다.
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