AMC 8 · 2004 · #18
쉬운 모드 학년 3문제
다트판에 10개의 영역이 있다고 생각해 봅시다. 각 영역에 적힌 점수는 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10점이에요.
다섯 명의 친구가 차례로 다트를 던집니다: 앨리스, 벤, 신디, 데이브, 엘렌. 각 친구는 다트를 2개씩 던져요. 각자의 총점은 자기가 맞춘 두 영역 점수의 합입니다.
모든 다트는 서로 다른 영역에 꽂혀요. 그래서 10개의 영역이 정확히 한 번씩 맞습니다.
각 친구의 총점은 다음과 같아요:
- 앨리스: 16점
- 벤: 4점
- 신디: 7점
- 데이브: 11점
- 엘렌: 17점
6점 영역을 맞춘 친구는 누구일까요?
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AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 다섯 친구 — Alice, Ben, Cindy, Dave, Ellen — 가 점수 $1$ ~ $10$ 으로 표시된 표적에 각각 두 번씩 다트를 던집니다. 다트 $10$ 개가 던져지는 동안 $1$ 부터 $10$ 까지의 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞습니다. 각 사람의 점수는 자기가 맞춘 두 영역의 합입니다. 점수는 Alice $16$, Ben $4$, Cindy $7$, Dave $11$, Ellen $17$ 입니다. $6$ 점 영역을 맞춘 사람은 누구일까요?
주어진 것: 표적의 영역 점수는 자연수 $1, 2, 3, \ldots, 10$; 다섯 친구가 각각 다트를 두 번씩 던지므로 총 $10$ 번; 각 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞음 ($1$ ~ $10$ 의 값이 모두 한 번씩 등장); 점수: Alice $=16$, Ben $=4$, Cindy $=7$, Dave $=11$, Ellen $=17$; 선택지: (A) Alice, (B) Ben, (C) Cindy, (D) Dave, (E) Ellen
구하는 것: $6$ 점 영역이 어느 친구의 두 영역 쌍에 들어 있는지
이해
문제 재정리: 다섯 친구 — Alice, Ben, Cindy, Dave, Ellen — 가 점수 $1$ ~ $10$ 으로 표시된 표적에 각각 두 번씩 다트를 던집니다. 다트 $10$ 개가 던져지는 동안 $1$ 부터 $10$ 까지의 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞습니다. 각 사람의 점수는 자기가 맞춘 두 영역의 합입니다. 점수는 Alice $16$, Ben $4$, Cindy $7$, Dave $11$, Ellen $17$ 입니다. $6$ 점 영역을 맞춘 사람은 누구일까요?
주어진 것: 표적의 영역 점수는 자연수 $1, 2, 3, \ldots, 10$; 다섯 친구가 각각 다트를 두 번씩 던지므로 총 $10$ 번; 각 점수 영역은 정확히 한 번씩 맞음 ($1$ ~ $10$ 의 값이 모두 한 번씩 등장); 점수: Alice $=16$, Ben $=4$, Cindy $=7$, Dave $=11$, Ellen $=17$; 선택지: (A) Alice, (B) Ben, (C) Cindy, (D) Dave, (E) Ellen
계획
주요 도구: #4 격자 논리표
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기, #3 가능성 지우기
전형적인 "누가 무엇을 가졌는가?" 퍼즐입니다 — 다섯 명, 영역 열 개, 각 영역은 단 한 번만 사용됩니다. 도구 #4(격자 논리표)가 주도구로 잘 맞아요. 각 사람이 가질 수 있는 영역 쌍을 표로 추적하다가 가능한 쌍이 하나만 남으면 확정합니다. 표를 채우려면 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 각 점수마다 합이 그 점수가 되는 모든 서로 다른 두 수 쌍 $\{a,b\}$ 를 적습니다. 이후 도구 #3(가능성 지우기)으로, 앞서 확정된 영역을 포함하는 쌍은 모두 지웁니다. 가능한 쌍이 하나뿐인 Ben 부터 시작하면 연쇄적으로 유일한 해가 나옵니다.
실행 — 정답: A
2.OA.B.2 단계 1 - 각 친구의 점수마다 합이 그 점수가 되는 $1$ ~ $10$ 의 서로 다른 두 수 쌍을 빠짐없이 적습니다.
- 이것이 후보 격자입니다.
💡 $20$ 이내의 덧셈은 2학년 "$20$ 이내에서 자유롭게 더하고 빼기" 그대로입니다. 작은 수부터 차례로 쌍을 적으면 빠뜨림 없이 다 나와요.
3.OA.D.8 단계 2 - Ben 을 먼저 확정.
- 점수 $4$ 의 유일한 쌍은 $\{1,3\}$ 뿐이므로 Ben 은 $1$ 과 $3$ 을 맞췄습니다.
- $1$ 과 $3$ 을 사용된 영역으로 표시하고, 이 두 숫자가 들어간 쌍을 격자에서 지웁니다.
💡 3학년 "여러 단계 문장제" 처럼 한 번 확정된 사실이 다른 행으로 퍼져 나갑니다 — 각 영역이 한 번만 쓰인다는 조건 덕분이에요.
3.OA.D.8 단계 3 - Cindy 를 확정.
- Ben 의 지우기 이후 Cindy 의 후보는 $\{2,5\}$ 하나만 남았습니다.
- 그래서 Cindy 는 $2$ 와 $5$ 를 맞췄어요.
- 사용된 영역을 갱신하고, $2$ 나 $5$ 가 들어간 쌍을 또 지웁니다.
💡 지우기를 통해 Cindy 의 행이 후보 하나만 남게 되는 — 격자 논리의 정석 수입니다.
3.OA.D.8 단계 4 - Dave 를 확정.
- Dave 의 원래 다섯 쌍 중 $\{1,2,3,5\}$ 와 겹치지 않는 것은 $\{4,7\}$ 뿐입니다.
- 그래서 Dave 는 $4$ 와 $7$ 을 맞췄습니다.
💡 Dave 의 다섯 쌍 중 네 개를 지우면 한 개만 남습니다 — 또 한 번의 강제 확정.
3.OA.D.8 단계 5 - 남은 영역 $\{6,8,9,10\}$ 으로 Alice 와 Ellen 을 정리합니다.
- 가능한 합들을 점검하면 $6+8=14$, $6+9=15$, $6+10=16$, $8+9=17$, $8+10=18$, $9+10=19$.
- Alice 의 $16$ 은 $6+10$ 만, Ellen 의 $17$ 은 $8+9$ 만 만들 수 있습니다.
💡 남은 네 수와 두 목표 합으로 짝짓는 방법이 단 하나로 정해집니다 — 격자가 완성됩니다.
3.OA.D.8 단계 6 - $6$ 을 누가 맞췄는지 읽어 냅니다.
- $6$ 은 Alice 의 쌍 $\{6,10\}$ 에 들어 있습니다.
💡 격자가 다 채워지면 질문은 한 줄짜리 조회로 줄어듭니다.
2.OA.B.2 각 친구의 점수마다 합이 그 점수가 되는 $1$ ~ $10$ 의 서로 다른 두 수 쌍을 빠짐없이 적습니다. 이것이 후보 격자입니다. 3.OA.D.8 Ben 을 먼저 확정. 점수 $4$ 의 유일한 쌍은 $\{1,3\}$ 뿐이므로 Ben 은 $1$ 과 $3$ 을 맞췄습니다. $1$ 과 $3$ 을 3.OA.D.8 Cindy 를 확정. Ben 의 지우기 이후 Cindy 의 후보는 $\{2,5\}$ 하나만 남았습니다. 그래서 Cindy 는 $2$ 와 $5$ 3.OA.D.8 Dave 를 확정. Dave 의 원래 다섯 쌍 중 $\{1,2,3,5\}$ 와 겹치지 않는 것은 $\{4,7\}$ 뿐입니다. 그래서 Dave 는 3.OA.D.8 남은 영역 $\{6,8,9,10\}$ 으로 Alice 와 Ellen 을 정리합니다. 가능한 합들을 점검하면 $6+8=14$, $6+9=15$, 3.OA.D.8 $6$ 을 누가 맞췄는지 읽어 냅니다. $6$ 은 Alice 의 쌍 $\{6,10\}$ 에 들어 있습니다. 검토
합리성 확인: 확정된 배정이 모든 조건을 만족하는지 점검합니다. Ben $1+3=4$ ✓, Cindy $2+5=7$ ✓, Dave $4+7=11$ ✓, Alice $6+10=16$ ✓, Ellen $8+9=17$ ✓. 사용된 영역은 $\{1,3,2,5,4,7,6,10,8,9\}=\{1,2,\ldots,10\}$ — 모든 영역이 정확히 한 번씩 ✓. 총합도 $1+2+\cdots+10=55$ 이고 $4+7+11+16+17=55$ ✓. 다른 선택지는 모두 탈락: Ben 의 쌍 $\{1,3\}$ 에는 $6$ 이 없고, Cindy 의 $\{2,5\}$ 에도 없고, Dave 의 $\{4,7\}$ 에도 없고, Ellen 의 $\{8,9\}$ 에도 없습니다. $6$ 을 가진 사람은 Alice 뿐이므로 (A) 로 확정.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 쌓아 올리지 말고 "$6$ 의 짝은 누구인가?" 를 거꾸로 물어 봅니다. $6$ 이 Cindy 의 쌍에 있다면 짝은 $1$ ($6+1=7$). 그런데 Ben 의 유일한 쌍 $\{1,3\}$ 도 $1$ 을 필요로 해 충돌 — 탈락. $6$ 이 Dave 의 쌍에 있다면 짝은 $5$ ($5+6=11$). 그러면 Cindy 의 $\{2,5\}$ 도 막히고 $\{1,6\}$, $\{3,4\}$ 는 Ben 때문에 이미 막혔으므로 Cindy 가 만들 쌍이 없음 — 탈락. 따라서 $6$ 은 Alice 의 것일 수밖에 없고 ($6+10=16$), 답은 같은 (A).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
2.OA.B.2$20$ 이내에서 자유롭게 더하고 빼기 (각 점수 ($4$, $7$, $11$, $16$, $17$) 가 되는 $1$ ~ $10$ 의 서로 다른 두 수 쌍을 빠짐없이 적는 데 사용.)3.OA.D.8사칙연산을 이용한 두 단계 문장제 해결과 답의 타당성 점검 ("Ben 이 $\{1,3\}$ 확정 → Cindy 가 $\{2,5\}$ 확정 → Dave 가 $\{4,7\}$ 확정 → Alice/Ellen 이 $\{6,8,9,10\}$ 을 나눠 가짐" 의 연쇄 추론과, 각 쌍의 합을 다시 더해 검산하는 데 사용.)
⭐ 단서가 모두 합이고 각 숫자가 한 번씩만 쓰이면, 가능한 쌍이 단 하나뿐인 사람부터 시작하세요 — 그 한 수가 다음을 풀어 주고, 나머지는 도미노처럼 무너집니다.
⭐ 단서가 모두 합이고 각 숫자가 한 번씩만 쓰이면, 가능한 쌍이 단 하나뿐인 사람부터 시작하세요 — 그 한 수가 다음을 풀어 주고, 나머지는 도미노처럼 무너집니다.
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