AMC 8 · 2004 · #4
쉬운 모드 학년 3문제
해밀턴 선생님 반에서 3명이 한 팀이 되는 농구 대회에 나가려고 합니다.
팀에는 네 명의 학생이 있어요: 랜스, 샐리, 조이, 프레드. 코치는 이 중에서 세 명을 선발 선수로 뽑아야 합니다.
세 명의 선발 선수를 뽑는 방법은 몇 가지일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2004 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: Lance, Sally, Joy, Fred 네 명의 선수 중 세 명을 선발로 뽑습니다. 선발 3명을 고르는 서로 다른 방법은 몇 가지일까요?
주어진 것: 선수는 $4$ 명: Lance, Sally, Joy, Fred; 매번 정확히 $3$ 명이 선발로 뛴다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $10$
구하는 것: 서로 다른 선발 $3$ 인조의 개수
이해
문제 재정리: Lance, Sally, Joy, Fred 네 명의 선수 중 세 명을 선발로 뽑습니다. 선발 3명을 고르는 서로 다른 방법은 몇 가지일까요?
주어진 것: 선수는 $4$ 명: Lance, Sally, Joy, Fred; 매번 정확히 $3$ 명이 선발로 뛴다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $10$
계획
주요 도구: #2 체계적으로 나열하기
선수가 $4$ 명, 뽑는 인원이 $3$ 명이라 모든 경우가 짧은 목록 하나에 다 들어갑니다. 도구 #2(체계적으로 나열하기)가 가장 알맞은 접근입니다 — 선수 순서를 고정한 다음 가능한 조 하나씩 빠짐없이 한 번만 적으면 됩니다. 도구 #13(대수)이나 $\binom{4}{3}$ 공식까지 갈 필요가 없습니다. 또한 나열을 하다 보면 자연스럽게 보이는 지름길도 있습니다 — $3$ 명을 "뛰게 하는" 것은 $1$ 명을 "빼는" 것과 같으므로, 답은 선수 수와 같은 $4$ 가 됩니다.
실행 — 정답: B
2.OA.A.1 단계 1 - 네 선수에 고정 순서를 정해 목록이 중복되거나 빠지지 않게 합니다.
- L(Lance), S(Sally), J(Joy), F(Fred)로 부릅시다.
💡 선수를 한 글자로 부르면 목록이 짧아지고 한눈에 들어옵니다.
3.OA.A.3 단계 2 - $\{L, S, J, F\}$ 에서 $3$ 명짜리 조를 모두 적습니다.
- 정한 순서대로 한 명씩 빼고, 남은 세 명을 한 조로 묶습니다.
💡 각 줄은 "빠진 사람"으로 이름이 정해집니다 — L 빼기, S 빼기, J 빼기, F 빼기. 이 체계 덕분에 어떤 조도 빠지거나 두 번 세지지 않습니다.
2.OA.A.1 단계 3 목록의 조 수를 세고 선택지와 맞춥니다.
💡 빠질 수 있는 선수 한 명마다 한 조씩 생기므로, 개수는 선수 수와 같습니다.
2.OA.A.1 네 선수에 고정 순서를 정해 목록이 중복되거나 빠지지 않게 합니다. L(Lance), S(Sally), J(Joy), F(Fred)로 부릅시다. 3.OA.A.3 $\{L, S, J, F\}$ 에서 $3$ 명짜리 조를 모두 적습니다. 정한 순서대로 한 명씩 빼고, 남은 세 명을 한 조로 묶습니다. 2.OA.A.1 목록의 조 수를 세고 선택지와 맞춥니다. 검토
합리성 확인: 답은 최소 $1$(가능한 조가 적어도 하나) 이상이고, 순서까지 따지면 $4 \times 3 \times 2 = 24$ 가지가 되니 그 이하여야 합니다. 같은 $3$ 명을 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 가지 순서로 적을 수 있으니, 순서를 무시한 개수는 $24 \div 6 = 4$ 가 되어 (B) 와 일치합니다. 함정 선택지 (C) $6$ 은 $4$ 명 중 "순서 없는 쌍"의 수($4 \times 3 \div 2$); (D) $8$ 은 두 자리에 순서가 있는 것처럼 두 배로 센 값; (E) $10$ 은 $\binom{5}{3}$ 로 선수 수를 잘못 쓴 경우입니다.
대안 접근: 도구 #5(규칙 찾기): "$3$ 명을 뽑는다"는 "$1$ 명을 뺀다"와 같습니다. 선수가 $4$ 명이므로 빼는 방법이 $4$ 가지, 따라서 가능한 선발 조도 $4$ 가지입니다. 목록을 적지 않아도 같은 답 (B).
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
2.OA.A.1$100$ 이내 덧셈·뺄셈으로 1~2단계 문장제 해결 (선수 집합을 정하고 최종 목록의 조 수를 작은 자연수로 세는 데 사용.)3.OA.A.3곱셈·나눗셈을 이용한 문장제 해결 (같은 묶음·배열·측정) ($4$ 명에서 $3$ 명짜리 조를 체계적인 순서로 나열해 각 조를 정확히 한 번씩만 세는 데 사용.)
⭐ 선수가 몇 명 안 될 때는 가능한 조를 직접 적는 것이 어떤 공식보다 빠릅니다 — 게다가 $3$ 명 뽑기를 $1$ 명 빼기로 바꿔 보면 답은 곧장 보입니다. 이 시점만 잡으면 이 AMC 8 문제는 3학년 체계적 나열 문제로 풀려요.
⭐ 선수가 몇 명 안 될 때는 가능한 조를 직접 적는 것이 어떤 공식보다 빠릅니다 — 게다가 $3$ 명 뽑기를 $1$ 명 빼기로 바꿔 보면 답은 곧장 보입니다. 이 시점만 잡으면 이 AMC 8 문제는 3학년 체계적 나열 문제로 풀려요.
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