AMC 8 · 2005 · #15
쉬운 모드 학년 5문제
이등변삼각형을 하나 떠올려봅시다. 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형이에요.
세 변의 길이는 모두 자연수이고, 세 변을 모두 더하면 23이 됩니다.
이런 조건을 만족하는 서로 다른 이등변삼각형은 몇 개나 만들 수 있을까요?
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AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 세 변의 길이가 모두 양의 정수이고 둘레가 $23$ 인 이등변삼각형이 몇 개인지 구합니다.
주어진 것: 삼각형은 이등변삼각형이므로 두 변의 길이가 같다; 세 변의 길이는 모두 양의 정수이다; 세 변의 길이의 합(둘레)은 $23$ 이다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $9$, (E) $11$
구하는 것: 세 조건을 모두 만족하는 서로 다른 이등변삼각형의 개수
이해
문제 재정리: 세 변의 길이가 모두 양의 정수이고 둘레가 $23$ 인 이등변삼각형이 몇 개인지 구합니다.
주어진 것: 삼각형은 이등변삼각형이므로 두 변의 길이가 같다; 세 변의 길이는 모두 양의 정수이다; 세 변의 길이의 합(둘레)은 $23$ 이다; 선택지: (A) $2$, (B) $4$, (C) $6$, (D) $9$, (E) $11$
계획
주요 도구: #2 빠짐없이 나열하기
보조 도구: #6 추측하고 확인하기
"몇 개" 를 묻고, 후보가 유한하며, 후보마다 검사는 단순합니다 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 딱 맞는 신호죠. 반복되는 변 $a$ 를 기준으로 정렬하면, $a$ 가 정해지는 순간 둘레가 나머지 변을 $b = 23 - 2a$ 로 못 박아 줍니다. 그래서 $a$ 하나당 후보가 최대 한 개. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 각 후보의 삼각형 부등식 $a + a > b$ 만 따져 보면 됩니다. 대수 없이 끝나고, 가장 큰 곱셈도 $11 \times 1 = 11$ 입니다.
실행 — 정답: C
3.MD.D.8 단계 1 - 체계적 나열을 위한 식부터 세웁니다.
- 이등변삼각형의 세 변을 $(a, a, b)$ 로 두면 둘레 식은 $a + a + b = 23$, 즉 $b = 23 - 2a$.
- $a$ 를 작은 값부터 커지는 순서로 늘려가며 후보를 나열할 거예요.
- 단, $b \ge 1$ 이 되는 $a$ 만.
💡 3학년 둘레는 "변을 모두 더하기". 이 식을 $b$ 에 대해 풀면 두 미지수가 하나로 줄어듭니다.
4.OA.A.3 단계 2 - $a$ 의 상한부터 정합니다.
- $b = 23 - 2a$ 가 양의 정수가 되려면 $23 - 2a \ge 1$, 즉 $a \le 11$.
- 하한은 $a = 1$ ($b = 21$ 도 정수).
- 그래서 삼각형 조건을 따지기 전 $a$ 의 후보는 $\{1, 2, \ldots, 11\}$.
💡 "$b$ 는 양의 정수" 라는 말 조건을 $a$ 의 수 조건으로 옮기는 4학년 다단계 사고.
5.G.B.3 단계 3 - 각 후보에 대해 삼각형 부등식 $a + a > b$ 만 검사합니다.
- 나머지 부등식 $a + b > a$ 는 $b > 0$ 이라 자동입니다.
- $a = 1$ 부터 $11$ 까지 차례로:
💡 5학년은 변의 길이로 삼각형을 분류합니다. 삼각형 부등식은 "이 세 변으로 정말 삼각형이 닫히는가?" 검사예요 — 이등변에서는 $2a > b$ 만 보면 충분.
4.OA.A.3 단계 4 - 통과한 줄을 세면 답입니다.
- 유효한 $a$ 는 $6, 7, 8, 9, 10, 11$.
- 모두 여섯 개.
💡 체계적 나열의 마무리는 통과한 줄 세기. 4학년 다단계 문제는 결국 자연수 개수로 끝납니다.
3.MD.D.8 체계적 나열을 위한 식부터 세웁니다. 이등변삼각형의 세 변을 $(a, a, b)$ 로 두면 둘레 식은 $a + a + b = 23$, 즉 $b 4.OA.A.3 $a$ 의 상한부터 정합니다. $b = 23 - 2a$ 가 양의 정수가 되려면 $23 - 2a \ge 1$, 즉 $a \le 11$. 하한은 $ 5.G.B.3 각 후보에 대해 삼각형 부등식 $a + a > b$ 만 검사합니다. 나머지 부등식 $a + b > a$ 는 $b > 0$ 이라 자동입니다. $a 4.OA.A.3 통과한 줄을 세면 답입니다. 유효한 $a$ 는 $6, 7, 8, 9, 10, 11$. 모두 여섯 개. 검토
합리성 확인: 경계인 $a = 6$ 을 확인해 봅시다. 변 $(6, 6, 11)$ 은 $6 + 6 = 12 > 11$ 로 아슬아슬하게 삼각형이 됩니다. 한 칸만 줄여 $a = 5$ 면 $(5, 5, 13)$, $5 + 5 = 10 < 13$ 으로 탈락. 따라서 $a \ge 6$ 이 정확한 컷오프입니다. 반대편 $a = 11$ 은 $(11, 11, 1)$ — 아주 가는 삼각형이지만 $11 + 11 > 1$ 이라 합법. 결과적으로 유효 삼각형은 $(6,6,11)$, $(7,7,9)$, $(8,8,7)$, $(9,9,5)$, $(10,10,3)$, $(11,11,1)$ 여섯 개. 모두 둘레 $23$ 이고 $2a > b$ 를 만족하므로 답 (C) 가 맞습니다.
대안 접근: 도구 #13(대수로 바꾸기): $b = 23 - 2a$ 와 $2a > b$ 를 결합하면 $2a > 23 - 2a$, 즉 $4a > 23$, 따라서 $a > 5.75$. 여기에 $a \le 11$ 까지 더하면 정수 $a = 6, 7, 8, 9, 10, 11$ — 정확히 여섯 개로 (C) 가 바로 나옵니다. 대수가 표를 건너뛰지만, 위의 나열은 탈락 경우까지 보여줘서 직관을 키우는 단계에는 더 정직한 길입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)
3.MD.D.8다각형의 둘레를 이용한 실생활 및 수학 문제 해결 (둘레 조건 $a + a + b = 23$ 을 $b = 23 - 2a$ 로 옮겨 미지의 두 변을 하나로 줄이는 데 사용.)4.OA.A.3자연수를 이용한 다단계 문장제 해결 (둘레 식과 "$b$ 는 양의 정수" 조건을 결합해 $a \le 11$ 의 범위를 잡고, 삼각형 부등식을 통과한 줄을 세는 데 사용.)5.G.B.3한 범주의 이차원 도형이 갖는 속성은 그 하위 범주의 모든 도형도 갖는다는 사실 이해하기 (이등변삼각형의 정의(두 변이 같음)와 삼각형 부등식을 이용해 어떤 세 변이 실제로 삼각형이 되는지 판정하는 데 사용.)
⭐ "몇 개?" 라는 문제는 빠짐없이 나열하기로 풀어요. 둘레가 반복되는 변에서 나머지 변을 정해 주니, 각 줄에서 따질 것은 단 하나 — 같은 두 변이 충분히 길어서 삼각형이 닫히는가입니다.
⭐ "몇 개?" 라는 문제는 빠짐없이 나열하기로 풀어요. 둘레가 반복되는 변에서 나머지 변을 정해 주니, 각 줄에서 따질 것은 단 하나 — 같은 두 변이 충분히 길어서 삼각형이 닫히는가입니다.
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