AMC 8 · 2005 · #5
쉬운 모드 학년 4문제
가게에서 음료수를 세 가지 묶음으로 팔고 있어요. 6캔짜리, 12캔짜리, 그리고 24캔짜리입니다.
음료수를 정확히 90캔 사고 싶습니다. 묶음의 종류는 자유롭게 섞어서 살 수 있어요.
가장 적은 묶음 수로 90캔을 사려면 몇 개의 묶음이 필요할까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 탄산음료가 $6$ 캔, $12$ 캔, $24$ 캔 들이 묶음으로 팔립니다. 정확히 $90$ 캔을 사려면 묶음을 최소 몇 개 사야 할까요?
주어진 것: 묶음 크기: $6$ 캔, $12$ 캔, $24$ 캔; 목표 총량: 정확히 $90$ 캔; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $15$
구하는 것: 정확히 $90$ 캔이 되는 묶음 개수의 최솟값
이해
문제 재정리: 탄산음료가 $6$ 캔, $12$ 캔, $24$ 캔 들이 묶음으로 팔립니다. 정확히 $90$ 캔을 사려면 묶음을 최소 몇 개 사야 할까요?
주어진 것: 묶음 크기: $6$ 캔, $12$ 캔, $24$ 캔; 목표 총량: 정확히 $90$ 캔; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $15$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #3 가능성 지우기
도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 으로 "$90$ 캔 최소 묶음 수" 를 짧은 흐름으로 분해합니다. 먼저 $24$ 묶음을 들어가는 만큼 떼어내고, 남은 양에서 $12$ 묶음, 마지막으로 $6$ 묶음으로 마무리해요. 각 단계는 나눗셈 한 번이고, 큰 묶음부터 쓰면 전체 묶음 수가 자연스럽게 작아집니다. 도구 #3 (가능성 지우기) 은 최솟값을 확정하는 검증용입니다 — 더 작은 선택지인 (A) $4$ 묶음으로는 $90$ 을 만들 수 없다는 것을 직접 확인해, $5$ 가 정말 최솟값임을 보증합니다.
실행 — 정답: B
4.OA.A.3 단계 1 - 작은 문제 1: $90$ 캔 안에 $24$ 묶음이 몇 개 들어가는지 봅니다.
- 나머지가 있는 나눗셈으로 계산해요.
💡 나머지가 있는 나눗셈은 4학년 "몇 묶음이 들어가고 얼마가 남는가" 그대로입니다.
4.OA.A.3 단계 2 작은 문제 2: 남은 $18$ 캔에 $12$ 묶음이 몇 개 들어가는지 봅니다.
💡 같은 방식, 더 작은 수: $18$ 안의 $12$ 한 묶음을 떼면 $6$ 의 배수만 남습니다.
3.OA.A.3 단계 3 작은 문제 3: 마지막 $6$ 캔은 $6$ 묶음 $1$ 개로 정확히 떨어집니다.
💡 $6$ 묶음 하나로 남은 양을 마무리해서 총합이 정확히 $90$ 이 됩니다.
3.OA.A.3 단계 4 각 단계에서 쓴 묶음 수를 모두 더합니다.
💡 세 단계에서 나온 묶음 개수를 합하면 최솟값 후보가 나옵니다.
4.OA.B.4 단계 5 - 도구 #3 으로 검증합니다.
- 더 작은 선택지 (A) $4$ 묶음을 지웁니다.
- 모든 묶음 크기는 $6$ 의 배수이므로, $4$ 개의 묶음을 $6$ 으로 나누면 각 묶음은 $1, 2, 4$ 중 하나의 "단위 수" 가 되고, 그 합이 $90 \div 6 = 15$ 가 되어야 합니다.
- 모두 $4$ 묶음 = $24 \times 4 = 96$ 으로 너무 많고, $24$ 묶음 $3$ 개 + $12$ 묶음 $1$ 개 = $84$ 로 너무 적고, $24$ 묶음 $3$ 개 + $6$ 묶음 $1$ 개 = $78$ 로 너무 적습니다.
- $4$ 개 묶음으로는 $90$ 에 도달할 수 없어요.
- 따라서 최솟값은 정말 $5$ 입니다.
💡 묶음 총합은 모두 $6$ 의 배수라는 사실을 이용하면 손으로 빠르게 따져 $4$ 묶음이 $90$ 을 못 만든다는 것을 확인할 수 있어요.
4.OA.A.3 작은 문제 1: $90$ 캔 안에 $24$ 묶음이 몇 개 들어가는지 봅니다. 나머지가 있는 나눗셈으로 계산해요. 4.OA.A.3 작은 문제 2: 남은 $18$ 캔에 $12$ 묶음이 몇 개 들어가는지 봅니다. 3.OA.A.3 작은 문제 3: 마지막 $6$ 캔은 $6$ 묶음 $1$ 개로 정확히 떨어집니다. 3.OA.A.3 각 단계에서 쓴 묶음 수를 모두 더합니다. 4.OA.B.4 도구 #3 으로 검증합니다. 더 작은 선택지 (A) $4$ 묶음을 지웁니다. 모든 묶음 크기는 $6$ 의 배수이므로, $4$ 개의 묶음을 $6$ 검토
합리성 확인: 선택한 묶음을 다시 더해서 확인해 봅시다: $3 \times 24 + 1 \times 12 + 1 \times 6 = 72 + 12 + 6 = 90$. 총합이 정확히 $90$ 이고 묶음 수가 $5$ 이므로 (B) 가 일관됩니다. (C) $6$, (D) $8$, (E) $15$ 는 모두 더 큰 값이라 "더 적은 수로 안 될 때" 만 답이 될 수 있는데, 우리는 이미 $5$ 묶음으로 $90$ 을 만들었으니 최솟값이 될 수 없어요. (A) $4$ 는 앞에서 지웠고요. 참고로 $6$ 묶음 $15$ 개 역시 $90$ 캔이 되는데, 이는 최대가 될 수 있는 묶음 수일 뿐 최솟값이 아닙니다 — 그래서 (E) 가 함정으로 들어가 있어요.
대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기): $5$ 묶음부터 출발해 더 줄일 수 있는지 시도합니다. $4$ 묶음으로 만들 수 있는 최댓값은 $4 \times 24 = 96$, 다음 후보들은 $3 \times 24 + 1 \times 12 = 84$ 또는 $3 \times 24 + 1 \times 6 = 78$. $4$ 묶음으로는 $90$ 에 정확히 도달하지 못하니 $5$ 가 최솟값입니다. 답 (B) 일치.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.OA.A.3$100$ 이내의 곱셈·나눗셈을 이용해 문장제 풀기 ($6$, $12$, $24$ 묶음이 각각 고정된 캔 수임을 활용해 총합을 짧은 곱셈의 합으로 보고, 묶음 수 $3 + 1 + 1 = 5$ 를 더하는 데 사용.)4.OA.A.3나머지가 있는 문제를 포함한 사칙연산 다단계 문장제 풀기 ($90 \div 24 = 3 \text{ 나머지 } 18$, $18 \div 12 = 1 \text{ 나머지 } 6$ 을 통해 큰 묶음부터 차례로 떼어내는 데 사용.)4.OA.B.4어떤 자연수의 약수와 배수 찾기 (모든 묶음 크기가 $6$ 의 배수임을 알아채어 떼어내는 순서를 정하고, $4$ 묶음으로는 $90$ 을 만들 수 없음을 확인하는 데 사용.)
⭐ 정확한 양을 가장 적은 묶음으로 사고 싶을 땐, 큰 묶음부터 들어가는 만큼 떼어내고 그 다음 크기로 넘어가요. "큰 것부터" 라는 한 가지 계획이 이 AMC 8 문제를 세 번의 4학년 "나머지 있는 나눗셈" 으로 줄여 줍니다.
⭐ 정확한 양을 가장 적은 묶음으로 사고 싶을 땐, 큰 묶음부터 들어가는 만큼 떼어내고 그 다음 크기로 넘어가요. "큰 것부터" 라는 한 가지 계획이 이 AMC 8 문제를 세 번의 4학년 "나머지 있는 나눗셈" 으로 줄여 줍니다.
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