AMC 8 · 2005 · #5

학년 4 arithmetic

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문제

Soda is sold in packs of 6, 12 and 24 cans. What is the minimum number of packs needed to buy exactly 90 cans of soda?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 탄산음료가 $6$ 캔, $12$ 캔, $24$ 캔 들이 묶음으로 팔립니다. 정확히 $90$ 캔을 사려면 묶음을 최소 몇 개 사야 할까요?

주어진 것: 묶음 크기: $6$ 캔, $12$ 캔, $24$ 캔; 목표 총량: 정확히 $90$ 캔; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $15$

구하는 것: 정확히 $90$ 캔이 되는 묶음 개수의 최솟값

이해

문제 재정리: 탄산음료가 $6$ 캔, $12$ 캔, $24$ 캔 들이 묶음으로 팔립니다. 정확히 $90$ 캔을 사려면 묶음을 최소 몇 개 사야 할까요?

주어진 것: 묶음 크기: $6$ 캔, $12$ 캔, $24$ 캔; 목표 총량: 정확히 $90$ 캔; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $8$, (E) $15$

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

보조 도구: #3 가능성 지우기

도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 으로 "$90$ 캔 최소 묶음 수" 를 짧은 흐름으로 분해합니다. 먼저 $24$ 묶음을 들어가는 만큼 떼어내고, 남은 양에서 $12$ 묶음, 마지막으로 $6$ 묶음으로 마무리해요. 각 단계는 나눗셈 한 번이고, 큰 묶음부터 쓰면 전체 묶음 수가 자연스럽게 작아집니다. 도구 #3 (가능성 지우기) 은 최솟값을 확정하는 검증용입니다 — 더 작은 선택지인 (A) $4$ 묶음으로는 $90$ 을 만들 수 없다는 것을 직접 확인해, $5$ 가 정말 최솟값임을 보증합니다.

실행 — 정답: B

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 1

작은 문제 1: $90$ 캔 안에 $24$ 묶음이 몇 개 들어가는지 봅니다.
나머지가 있는 나눗셈으로 계산해요.

$$90 \div 24 = 3 \text{ 나머지 } 18 \;\Rightarrow\; 24 \text{ 묶음 } 3 \text{ 개} = 72 \text{ 캔, 남은 } 18 \text{ 캔}$$

💡 나머지가 있는 나눗셈은 4학년 "몇 묶음이 들어가고 얼마가 남는가" 그대로입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 2

작은 문제 2: 남은 $18$ 캔에 $12$ 묶음이 몇 개 들어가는지 봅니다.

$$18 \div 12 = 1 \text{ 나머지 } 6 \;\Rightarrow\; 12 \text{ 묶음 } 1 \text{ 개} = 12 \text{ 캔, 남은 } 6 \text{ 캔}$$

💡 같은 방식, 더 작은 수: $18$ 안의 $12$ 한 묶음을 떼면 $6$ 의 배수만 남습니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 3

작은 문제 3: 마지막 $6$ 캔은 $6$ 묶음 $1$ 개로 정확히 떨어집니다.

$$6 \div 6 = 1 \text{ 나머지 } 0 \;\Rightarrow\; 6 \text{ 묶음 } 1 \text{ 개} = 6 \text{ 캔, 남은 } 0 \text{ 캔}$$

💡 $6$ 묶음 하나로 남은 양을 마무리해서 총합이 정확히 $90$ 이 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 3.OA.A.3 단계 4

각 단계에서 쓴 묶음 수를 모두 더합니다.

$$\text{총 묶음 수} = 3 + 1 + 1 = 5$$

💡 세 단계에서 나온 묶음 개수를 합하면 최솟값 후보가 나옵니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.B.4 단계 5

도구 #3 으로 검증합니다.
더 작은 선택지 (A) $4$ 묶음을 지웁니다.
모든 묶음 크기는 $6$ 의 배수이므로, $4$ 개의 묶음을 $6$ 으로 나누면 각 묶음은 $1, 2, 4$ 중 하나의 "단위 수" 가 되고, 그 합이 $90 \div 6 = 15$ 가 되어야 합니다.
모두 $4$ 묶음 = $24 \times 4 = 96$ 으로 너무 많고, $24$ 묶음 $3$ 개 + $12$ 묶음 $1$ 개 = $84$ 로 너무 적고, $24$ 묶음 $3$ 개 + $6$ 묶음 $1$ 개 = $78$ 로 너무 적습니다.
$4$ 개 묶음으로는 $90$ 에 도달할 수 없어요.
따라서 최솟값은 정말 $5$ 입니다.

$$5 \text{ 묶음} \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 묶음 총합은 모두 $6$ 의 배수라는 사실을 이용하면 손으로 빠르게 따져 $4$ 묶음이 $90$ 을 못 만든다는 것을 확인할 수 있어요.

[1] #7 4.OA.A.3 작은 문제 1: $90$ 캔 안에 $24$ 묶음이 몇 개 들어가는지 봅니다. 나머지가 있는 나눗셈으로 계산해요.

[2] #7 4.OA.A.3 작은 문제 2: 남은 $18$ 캔에 $12$ 묶음이 몇 개 들어가는지 봅니다.

[3] #7 3.OA.A.3 작은 문제 3: 마지막 $6$ 캔은 $6$ 묶음 $1$ 개로 정확히 떨어집니다.

[4] #7 3.OA.A.3 각 단계에서 쓴 묶음 수를 모두 더합니다.

[5] #3 4.OA.B.4 도구 #3 으로 검증합니다. 더 작은 선택지 (A) $4$ 묶음을 지웁니다. 모든 묶음 크기는 $6$ 의 배수이므로, $4$ 개의 묶음을 $6$

검토

합리성 확인: 선택한 묶음을 다시 더해서 확인해 봅시다: $3 \times 24 + 1 \times 12 + 1 \times 6 = 72 + 12 + 6 = 90$. 총합이 정확히 $90$ 이고 묶음 수가 $5$ 이므로 (B) 가 일관됩니다. (C) $6$, (D) $8$, (E) $15$ 는 모두 더 큰 값이라 "더 적은 수로 안 될 때" 만 답이 될 수 있는데, 우리는 이미 $5$ 묶음으로 $90$ 을 만들었으니 최솟값이 될 수 없어요. (A) $4$ 는 앞에서 지웠고요. 참고로 $6$ 묶음 $15$ 개 역시 $90$ 캔이 되는데, 이는 최대가 될 수 있는 묶음 수일 뿐 최솟값이 아닙니다 — 그래서 (E) 가 함정으로 들어가 있어요.

대안 접근: 도구 #6 (추측하고 확인하기): $5$ 묶음부터 출발해 더 줄일 수 있는지 시도합니다. $4$ 묶음으로 만들 수 있는 최댓값은 $4 \times 24 = 96$, 다음 후보들은 $3 \times 24 + 1 \times 12 = 84$ 또는 $3 \times 24 + 1 \times 6 = 78$. $4$ 묶음으로는 $90$ 에 정확히 도달하지 못하니 $5$ 가 최솟값입니다. 답 (B) 일치.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

3.OA.A.3 $100$ 이내의 곱셈·나눗셈을 이용해 문장제 풀기 ($6$, $12$, $24$ 묶음이 각각 고정된 캔 수임을 활용해 총합을 짧은 곱셈의 합으로 보고, 묶음 수 $3 + 1 + 1 = 5$ 를 더하는 데 사용.)
4.OA.A.3 나머지가 있는 문제를 포함한 사칙연산 다단계 문장제 풀기 ($90 \div 24 = 3 \text{ 나머지 } 18$, $18 \div 12 = 1 \text{ 나머지 } 6$ 을 통해 큰 묶음부터 차례로 떼어내는 데 사용.)
4.OA.B.4 어떤 자연수의 약수와 배수 찾기 (모든 묶음 크기가 $6$ 의 배수임을 알아채어 떼어내는 순서를 정하고, $4$ 묶음으로는 $90$ 을 만들 수 없음을 확인하는 데 사용.)

⭐ 정확한 양을 가장 적은 묶음으로 사고 싶을 땐, 큰 묶음부터 들어가는 만큼 떼어내고 그 다음 크기로 넘어가요. "큰 것부터" 라는 한 가지 계획이 이 AMC 8 문제를 세 번의 4학년 "나머지 있는 나눗셈" 으로 줄여 줍니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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