AMC 8 · 2006 · #11
쉬운 모드 학년 3문제
10부터 99까지의 모든 두 자리 수를 생각해봅시다.
각 수에 대해 두 자리 숫자를 더합니다. 예를 들어, 23의 두 자리 숫자 합은 2+3=5입니다.
이때 두 자리 숫자의 합이 완전제곱수인 수만 세고 싶습니다. (완전제곱수는 1,4,9,16,25,… 같은 수입니다.)
이 조건에 맞는 두 자리 수는 몇 개일까요?
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AMC 8 2006 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 두 자리 수($10$ 부터 $99$ 까지) 가운데 각 자리 숫자의 합이 완전제곱수인 것은 몇 개인가요?
주어진 것: 각 수는 십의 자리 $t \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ 와 일의 자리 $u \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ 를 가진다; 그 수의 "자릿수의 합"은 $t + u$; 완전제곱수란 어떤 음이 아닌 정수 $k$ 에 대해 $k^2$ 꼴인 수: $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$; 선택지: (A) $13$, (B) $16$, (C) $17$, (D) $18$, (E) $19$
구하는 것: $t + u$ 가 완전제곱수가 되는 두 자리 수의 개수
이해
문제 재정리: 두 자리 수($10$ 부터 $99$ 까지) 가운데 각 자리 숫자의 합이 완전제곱수인 것은 몇 개인가요?
주어진 것: 각 수는 십의 자리 $t \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ 와 일의 자리 $u \in \{0, 1, \ldots, 9\}$ 를 가진다; 그 수의 "자릿수의 합"은 $t + u$; 완전제곱수란 어떤 음이 아닌 정수 $k$ 에 대해 $k^2$ 꼴인 수: $0, 1, 4, 9, 16, 25, \ldots$; 선택지: (A) $13$, (B) $16$, (C) $17$, (D) $18$, (E) $19$
계획
주요 도구: #13 체계적으로 세기
보조 도구: #7 작은 문제로 나누기, #14 극단을 살펴보기
도구 #14(극단을 살펴보기)로 보면 자릿수의 합은 $1$ 이상 $18$ 이하예요. 그러니 노려야 할 완전제곱수는 $1, 4, 9, 16$ 네 개뿐입니다. 도구 #7(작은 문제로 나누기)로 문제를 네 개의 작은 세기 문제로 쪼개고, 도구 #13(체계적으로 세기)으로 각 경우마다 $t + u$ 가 목표값이 되는 $(t, u)$ 쌍을 빠짐없이 적습니다($t \in \{1, \ldots, 9\}$, $u \in \{0, \ldots, 9\}$). 네 결과를 더하면 답이 나옵니다.
실행 — 정답: C
3.OA.C.7 단계 1 - 자릿수의 합의 범위를 먼저 잡습니다.
- 십의 자리는 $1$ 부터 $9$, 일의 자리는 $0$ 부터 $9$ 이므로 합은 최소 $1$, 최대 $9 + 9 = 18$.
- 그 범위 $[1, 18]$ 안의 완전제곱수는 $1, 4, 9, 16$ 입니다.
💡 $1, 4, 9, 16, 25, \ldots$ 를 떠올리는 건 3학년 곱셈구구($1 \times 1, 2 \times 2, 3 \times 3, 4 \times 4$) 그대로입니다. $25$ 부터는 자릿수의 합이 될 수 없어서 빼면 됩니다.
2.NBT.A.1 단계 2 - 자릿수의 합이 $1$ 인 두 자리 수를 셉니다.
- $t \ge 1$ 인 채로 $t + u = 1$ 이 되려면 $t = 1, u = 0$ 뿐이고, 이때 수는 $10$ 입니다.
💡 2학년 자릿값 그대로: 두 자리 수는 $10t + u$ 이므로 두 자리만 정하면 수가 정해집니다. $t \ge 1$ 이라 $t = 1$ 만 가능합니다.
3.OA.D.9 단계 3 - 자릿수의 합이 $4$ 인 경우를 셉니다.
- $t \in \{1, \ldots, 9\}$, $u \in \{0, \ldots, 9\}$, $t + u = 4$ 인 쌍을 모두 적으면 $(1,3), (2,2), (3,1), (4,0)$.
💡 3학년 패턴: $t$ 가 $1$ 씩 커지면 $u$ 는 $1$ 씩 작아집니다. $t = 1$ 부터 $4$ 까지 훑으면 끝이고, $t = 5$ 부터는 $u = -1$ 이라 불가능합니다.
3.OA.D.9 단계 4 - 자릿수의 합이 $9$ 인 경우.
- 똑같은 패턴을 쓰면 $t$ 가 $1$ 부터 $9$ 까지 가는 동안 $u = 9 - t$ 는 늘 $0$ 부터 $8$ 사이의 자릿수입니다.
- $t$ 의 모든 값에서 수가 만들어집니다.
💡 패턴은 같지만 이번엔 $9 - t$ 가 늘 $\{0, \ldots, 8\}$ 안에 들어가므로 $t$ 의 $9$ 개 값이 모두 살아납니다.
3.OA.D.9 단계 5 - 자릿수의 합이 $16$ 인 경우.
- 이번에는 $u = 16 - t$ 가 $9$ 이하여야 하므로 $t \ge 7$.
- 가능한 쌍은 $(7, 9), (8, 8), (9, 7)$.
💡 같은 훑기인데, 이번엔 일의 자리 쪽에서 막힙니다. $t = 6$ 이면 $u = 10$ 이 되어 한 자리 수가 아니므로 $t$ 는 $7$ 부터 시작.
2.OA.B.2 단계 6 - 네 경우의 개수를 더합니다.
- 자릿수의 합이 완전제곱수인 두 자리 수는 $1 + 4 + 9 + 3 = 17$ 개입니다.
💡 2학년 덧셈으로 네 작은 문제의 답을 모으면 $17$, 그게 (C).
3.OA.C.7 자릿수의 합의 범위를 먼저 잡습니다. 십의 자리는 $1$ 부터 $9$, 일의 자리는 $0$ 부터 $9$ 이므로 합은 최소 $1$, 최대 $9 + 2.NBT.A.1 자릿수의 합이 $1$ 인 두 자리 수를 셉니다. $t \ge 1$ 인 채로 $t + u = 1$ 이 되려면 $t = 1, u = 0$ 뿐이고, 3.OA.D.9 자릿수의 합이 $4$ 인 경우를 셉니다. $t \in \{1, \ldots, 9\}$, $u \in \{0, \ldots, 9\}$, $t + 3.OA.D.9 자릿수의 합이 $9$ 인 경우. 똑같은 패턴을 쓰면 $t$ 가 $1$ 부터 $9$ 까지 가는 동안 $u = 9 - t$ 는 늘 $0$ 부터 $8 3.OA.D.9 자릿수의 합이 $16$ 인 경우. 이번에는 $u = 16 - t$ 가 $9$ 이하여야 하므로 $t \ge 7$. 가능한 쌍은 $(7, 9), ( 2.OA.B.2 네 경우의 개수를 더합니다. 자릿수의 합이 완전제곱수인 두 자리 수는 $1 + 4 + 9 + 3 = 17$ 개입니다. 검토
합리성 확인: 각 경우를 소리 내어 다시 읽어 확인할 수 있어요 — $10$; $13, 22, 31, 40$; $18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90$; $79, 88, 97$ — 서로 다른 수들이라 겹치지 않습니다. 합 $1 + 4 + 9 + 3 = 17$ 은 선택지 (C) 와 일치합니다. 또 가운데 제곱수 $9$ 가 가장 많은 수를 만들어 내는 것도 자연스러워요. $9$ 는 자릿수의 합 범위 $[1, 18]$ 의 한가운데라 $t \ge 1$ 도, $u \le 9$ 도 잘라 내는 경우가 없거든요.
대안 접근: 도구 #2(목록 만들기): $10, 11, 12, \ldots, 99$ 를 $9 \times 10$ 격자에 적고, 각 칸마다 자릿수의 합을 계산해 $1, 4, 9, 16$ 인 칸에 동그라미를 칩니다. 동그라미가 모두 $17$ 개. 시간은 더 들지만 셈을 한눈에 점검할 수 있어서 좋은 교차검증입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
2.NBT.A.1자릿값 이해: 두 자리 수는 십의 자리와 일의 자리로 표현됨 (두 자리 수를 십의 자리 $t$ 와 일의 자리 $u$ 의 쌍으로 다루어, 수 세기를 자릿수 쌍 세기로 바꾸는 데 사용.)2.OA.B.2$20$ 이내에서 덧뺄셈을 능숙하게 하기 (각 자릿수의 합 $t + u$ 계산과 네 경우의 개수 $1 + 4 + 9 + 3 = 17$ 을 더해 최종값을 구하는 데 사용.)3.OA.C.7$100$ 이내에서 곱셈·나눗셈을 능숙하게 하고 기본 곱을 외우기 (작은 완전제곱수 $1, 4, 9, 16, 25$ 를 $1 \times 1, 2 \times 2, 3 \times 3, 4 \times 4, 5 \times 5$ 로 떠올리고, $25$ 가 이미 자릿수의 합 한도를 넘는다는 사실을 확인하는 데 사용.)3.OA.D.9산술 패턴을 찾아내고 연산의 성질로 설명하기 (십의 자리 $t$ 를 가능한 범위 안에서 훑으며 $u = (\text{목표}) - t$ 를 읽어 내는 같은 패턴을 네 경우마다 반복 적용.)
⭐ 두 자리 수의 자릿수 합은 $1$ 부터 $18$ 까지만 가능해요. 그래서 쫓아야 할 완전제곱수는 $1, 4, 9, 16$ 네 개. 각각 세서 더하면 $17$ 입니다.
⭐ 두 자리 수의 자릿수 합은 $1$ 부터 $18$ 까지만 가능해요. 그래서 쫓아야 할 완전제곱수는 $1, 4, 9, 16$ 네 개. 각각 세서 더하면 $17$ 입니다.
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