AMC 8 · 2007 · #11
쉬운 모드 학년 4문제
직사각형 모양의 타일 4개가 있다고 생각해봅시다. 타일들에는 각각 I,II,III,IV라는 이름이 붙어 있어요. 각 타일의 네 변에는 숫자가 하나씩 적혀 있습니다.
이 타일들을 A,B,C,D라고 이름 붙은 네 자리에 하나씩 옮겨놓으려고 해요. 네 자리는 2×2 모양으로 나란히 붙어 있어서, 어떤 타일은 다른 타일과 한 변을 맞대게 됩니다.
규칙은 이래요. 두 타일이 한 변을 맞댈 때, 그 맞닿는 변에 적힌 두 숫자는 서로 같아야 합니다.
(아래 그림에서 왼쪽은 네 개의 타일, 오른쪽은 네 개의 자리입니다.)
자리 C에 들어가는 타일은 무엇일까요?
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AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 장의 정사각형 타일 I, II, III, IV 의 네 변에는 각각 숫자가 적혀 있습니다. 회전이나 뒤집기 없이 평행이동만으로 $2 \times 2$ 격자의 A(좌상), B(우상), C(좌하), D(우하) 에 한 장씩 끼워 넣습니다. 두 타일이 맞닿는 변에서는 양쪽에 같은 수가 적혀 있어야 합니다. C 자리에 들어가는 타일은 어느 것일까요?
주어진 것: 타일 I — 위 $8$, 오른쪽 $9$, 아래 $7$, 왼쪽 $3$; 타일 II — 위 $6$, 오른쪽 $3$, 아래 $2$, 왼쪽 $4$; 타일 III — 위 $7$, 오른쪽 $5$, 아래 $0$, 왼쪽 $1$; 타일 IV — 위 $2$, 오른쪽 $1$, 아래 $6$, 왼쪽 $9$; 격자 배치: A 좌상, B 우상, C 좌하, D 우하; 타일은 평행이동만 가능하므로 각 타일의 위·오른쪽·아래·왼쪽은 그대로 유지됩니다; 선택지: (A) I, (B) II, (C) III, (D) IV, (E) 결정할 수 없다
구하는 것: C 자리에 들어가는 타일
이해
문제 재정리: 네 장의 정사각형 타일 I, II, III, IV 의 네 변에는 각각 숫자가 적혀 있습니다. 회전이나 뒤집기 없이 평행이동만으로 $2 \times 2$ 격자의 A(좌상), B(우상), C(좌하), D(우하) 에 한 장씩 끼워 넣습니다. 두 타일이 맞닿는 변에서는 양쪽에 같은 수가 적혀 있어야 합니다. C 자리에 들어가는 타일은 어느 것일까요?
주어진 것: 타일 I — 위 $8$, 오른쪽 $9$, 아래 $7$, 왼쪽 $3$; 타일 II — 위 $6$, 오른쪽 $3$, 아래 $2$, 왼쪽 $4$; 타일 III — 위 $7$, 오른쪽 $5$, 아래 $0$, 왼쪽 $1$; 타일 IV — 위 $2$, 오른쪽 $1$, 아래 $6$, 왼쪽 $9$; 격자 배치: A 좌상, B 우상, C 좌하, D 우하; 타일은 평행이동만 가능하므로 각 타일의 위·오른쪽·아래·왼쪽은 그대로 유지됩니다; 선택지: (A) I, (B) II, (C) III, (D) IV, (E) 결정할 수 없다
계획
주요 도구: #2 체계적인 목록 만들기
보조 도구: #13 체계적으로 세기
도구 #2(체계적인 목록 만들기)로 $16$ 개 모서리 숫자를 표 하나에 모두 늘어놓아 놓치지 않도록 합니다. 도구 #13(체계적으로 세기)으로 $0$~$9$ 각각이 몇 번 등장하는지 셉니다. 핵심 관찰: $2 \times 2$ 격자의 내부 변은 두 타일이 공유하므로 거기에 쓰이는 수는 적어도 두 번 나타나야 합니다. 단 한 번만 등장하는 수는 내부 변에 올 수 없고 바깥 경계로 향해야 합니다. 이 유일성 조건이 한 타일의 자리를 강제로 정하고, 나머지 세 타일은 공유 변을 맞추며 차례로 결정됩니다.
실행 — 정답: D
3.MD.B.3 단계 1 네 타일의 모서리 숫자를 한 표에 정리합니다.
💡 표로 깔끔하게 적어 두면 어떤 숫자가 반복되고 어떤 숫자가 단 한 번 등장하는지 한눈에 보입니다.
3.MD.B.3 단계 2 - $16$ 개 모서리 전체에서 각 숫자가 몇 번 나오는지 셉니다.
- $0$ 과 $5$ 는 각각 정확히 한 번씩만 등장하며, 둘 다 타일 III 에 있습니다($0$ 은 아래, $5$ 는 오른쪽).
💡 내부 변은 양쪽에 같은 수가 필요하므로, 내부 변에 쓰이는 수는 표 안에서 최소 두 번 등장해야 합니다.
4.OA.C.5 단계 3 - 타일 III 의 자리를 정합니다.
- 격자의 내부 변은 가운데 가로선(A 의 아래 = C 의 위, B 의 아래 = D 의 위)과 가운데 세로선(A 의 오른쪽 = B 의 왼쪽, C 의 오른쪽 = D 의 왼쪽)입니다.
- 타일 III 의 아래($0$)와 오른쪽($5$)은 둘 다 유일한 값이므로 어느 쪽도 내부 변에 올 수 없고, 둘 다 바깥 경계를 향해야 합니다.
- 타일의 아래와 오른쪽이 동시에 바깥을 향하는 자리는 우하단뿐입니다.
💡 우하단은 한 타일의 아래쪽과 오른쪽이 둘 다 격자 바깥을 향하는 유일한 자리입니다.
4.OA.C.5 단계 4 - 타일 III 의 내부 변과 맞물리는 타일을 찾습니다.
- III 의 위는 $7$, 왼쪽은 $1$ 입니다.
- D 위에 있는 B 의 타일은 아래 $= 7$ 이어야 하고, D 왼쪽에 있는 C 의 타일은 오른쪽 $= 1$ 이어야 합니다.
- 표를 보면 아래가 $7$ 인 타일은 I 뿐이므로 I 는 B 에, 오른쪽이 $1$ 인 타일은 IV 뿐이므로 IV 는 C 에 들어갑니다.
💡 필요한 값을 가진 타일이 각각 하나뿐이라 자리가 곧바로 강제됩니다.
4.OA.C.5 단계 5 - 나머지 변을 점검합니다.
- 남은 타일은 II 하나뿐이므로 II 는 A 에 들어갑니다.
- 나머지 공유 변도 확인: A-B 는 I 의 왼쪽($3$)과 II 의 오른쪽($3$), A-C 는 II 의 아래($2$)와 IV 의 위($2$).
- 둘 다 일치합니다.
💡 세 자리를 정하고 공유 변이 전부 맞으면 마지막 타일은 자동으로 들어맞습니다.
4.OA.C.5 단계 6 답을 읽어 냅니다.
💡 타일 IV 는 오른쪽이 $1$ 인 유일한 타일이라서, 오른쪽 열에서 III 의 왼쪽($1$)과 맞물리는 자리가 C 입니다.
3.MD.B.3 네 타일의 모서리 숫자를 한 표에 정리합니다. 3.MD.B.3 $16$ 개 모서리 전체에서 각 숫자가 몇 번 나오는지 셉니다. $0$ 과 $5$ 는 각각 정확히 한 번씩만 등장하며, 둘 다 타일 III 에 4.OA.C.5 타일 III 의 자리를 정합니다. 격자의 내부 변은 가운데 가로선(A 의 아래 = C 의 위, B 의 아래 = D 의 위)과 가운데 세로선(A 4.OA.C.5 타일 III 의 내부 변과 맞물리는 타일을 찾습니다. III 의 위는 $7$, 왼쪽은 $1$ 입니다. D 위에 있는 B 의 타일은 아래 $= 7 4.OA.C.5 나머지 변을 점검합니다. 남은 타일은 II 하나뿐이므로 II 는 A 에 들어갑니다. 나머지 공유 변도 확인: A-B 는 I 의 왼쪽($3$)과 4.OA.C.5 답을 읽어 냅니다. 검토
합리성 확인: 최종 배치 $\begin{smallmatrix} \text{II} & \text{I} \\ \text{IV} & \text{III} \end{smallmatrix}$ 의 네 공유 변을 모두 확인합니다. A-B: II 의 오른쪽 $3$ = I 의 왼쪽 $3$ $\checkmark$; C-D: IV 의 오른쪽 $1$ = III 의 왼쪽 $1$ $\checkmark$; A-C: II 의 아래 $2$ = IV 의 위 $2$ $\checkmark$; B-D: I 의 아래 $7$ = III 의 위 $7$ $\checkmark$. 네 내부 변이 모두 맞고, 유일하게 한 번만 등장한 $0, 4, 5, 8$ 은 모두 바깥 경계에 자리잡았으니 유일성 논증이 그대로 들어맞습니다.
대안 접근: 도구 #6(예측하고 검증하기): 타일 I 를 C 에 두어 봅니다. 그러면 C 의 오른쪽($9$)이 D 의 왼쪽과 같아야 하므로 D 자리에는 왼쪽 $= 9$ 인 타일, 즉 IV 가 와야 합니다. 그런데 C 의 위($8$)는 A 의 아래와 같아야 하는데 남은 어떤 타일도 아래 $= 8$ 이 아니어서 막힙니다. II 를 C 에 두면 II 의 오른쪽이 $3$ 이라 D 자리에는 왼쪽 $3$ 인 타일이 필요한데 그런 타일이 없습니다. III 을 C 에 두면 오른쪽이 $5$ 라서 왼쪽 $5$ 인 타일이 필요한데 역시 없습니다. 결국 살아남는 경우는 IV 를 C 에 두는 경우뿐이라 답은 (D) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.MD.B.3여러 범주의 자료를 나타내는 그림그래프와 막대그래프 그리기 (각 타일의 네 모서리 값을 표로 정리하고 각 숫자가 몇 번 등장하는지 세는 3학년 자료 정리 작업에 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (맞닿는 변 규칙을 따라 배치를 연쇄적으로 결정: III $\to$ D 가 I $\to$ B 와 IV $\to$ C 를 강제하고, 마지막에 II $\to$ A 가 남습니다.)
⭐ 타일 모서리 숫자를 표로 정리한 뒤 빈도를 세요. 단 한 번만 나오는 숫자는 짝지을 수 없으니 바깥쪽을 향할 수밖에 없고, 그 한 가지 관찰만으로 퍼즐 전체가 풀려요.
⭐ 타일 모서리 숫자를 표로 정리한 뒤 빈도를 세요. 단 한 번만 나오는 숫자는 짝지을 수 없으니 바깥쪽을 향할 수밖에 없고, 그 한 가지 관찰만으로 퍼즐 전체가 풀려요.
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