AMC 8 · 2007 · #11
학년 4 logic문제
Tiles I,II,III and IV are translated so one tile coincides with each of the rectangles A,B,C and D. In the final arrangement, the two numbers on any side common to two adjacent tiles must be the same. Which of the tiles is translated to Rectangle C?
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AMC 8 2007 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 네 장의 정사각형 타일 I, II, III, IV 의 네 변에는 각각 숫자가 적혀 있습니다. 회전이나 뒤집기 없이 평행이동만으로 $2 \times 2$ 격자의 A(좌상), B(우상), C(좌하), D(우하) 에 한 장씩 끼워 넣습니다. 두 타일이 맞닿는 변에서는 양쪽에 같은 수가 적혀 있어야 합니다. C 자리에 들어가는 타일은 어느 것일까요?
주어진 것: 타일 I — 위 $8$, 오른쪽 $9$, 아래 $7$, 왼쪽 $3$; 타일 II — 위 $6$, 오른쪽 $3$, 아래 $2$, 왼쪽 $4$; 타일 III — 위 $7$, 오른쪽 $5$, 아래 $0$, 왼쪽 $1$; 타일 IV — 위 $2$, 오른쪽 $1$, 아래 $6$, 왼쪽 $9$; 격자 배치: A 좌상, B 우상, C 좌하, D 우하; 타일은 평행이동만 가능하므로 각 타일의 위·오른쪽·아래·왼쪽은 그대로 유지됩니다; 선택지: (A) I, (B) II, (C) III, (D) IV, (E) 결정할 수 없다
구하는 것: C 자리에 들어가는 타일
이해
문제 재정리: 네 장의 정사각형 타일 I, II, III, IV 의 네 변에는 각각 숫자가 적혀 있습니다. 회전이나 뒤집기 없이 평행이동만으로 $2 \times 2$ 격자의 A(좌상), B(우상), C(좌하), D(우하) 에 한 장씩 끼워 넣습니다. 두 타일이 맞닿는 변에서는 양쪽에 같은 수가 적혀 있어야 합니다. C 자리에 들어가는 타일은 어느 것일까요?
주어진 것: 타일 I — 위 $8$, 오른쪽 $9$, 아래 $7$, 왼쪽 $3$; 타일 II — 위 $6$, 오른쪽 $3$, 아래 $2$, 왼쪽 $4$; 타일 III — 위 $7$, 오른쪽 $5$, 아래 $0$, 왼쪽 $1$; 타일 IV — 위 $2$, 오른쪽 $1$, 아래 $6$, 왼쪽 $9$; 격자 배치: A 좌상, B 우상, C 좌하, D 우하; 타일은 평행이동만 가능하므로 각 타일의 위·오른쪽·아래·왼쪽은 그대로 유지됩니다; 선택지: (A) I, (B) II, (C) III, (D) IV, (E) 결정할 수 없다
계획
주요 도구: #2 체계적인 목록 만들기
보조 도구: #13 체계적으로 세기
도구 #2(체계적인 목록 만들기)로 $16$ 개 모서리 숫자를 표 하나에 모두 늘어놓아 놓치지 않도록 합니다. 도구 #13(체계적으로 세기)으로 $0$~$9$ 각각이 몇 번 등장하는지 셉니다. 핵심 관찰: $2 \times 2$ 격자의 내부 변은 두 타일이 공유하므로 거기에 쓰이는 수는 적어도 두 번 나타나야 합니다. 단 한 번만 등장하는 수는 내부 변에 올 수 없고 바깥 경계로 향해야 합니다. 이 유일성 조건이 한 타일의 자리를 강제로 정하고, 나머지 세 타일은 공유 변을 맞추며 차례로 결정됩니다.
실행 — 정답: D
3.MD.B.3 단계 1 네 타일의 모서리 숫자를 한 표에 정리합니다.
💡 표로 깔끔하게 적어 두면 어떤 숫자가 반복되고 어떤 숫자가 단 한 번 등장하는지 한눈에 보입니다.
3.MD.B.3 단계 2 - $16$ 개 모서리 전체에서 각 숫자가 몇 번 나오는지 셉니다.
- $0$ 과 $5$ 는 각각 정확히 한 번씩만 등장하며, 둘 다 타일 III 에 있습니다($0$ 은 아래, $5$ 는 오른쪽).
💡 내부 변은 양쪽에 같은 수가 필요하므로, 내부 변에 쓰이는 수는 표 안에서 최소 두 번 등장해야 합니다.
4.OA.C.5 단계 3 - 타일 III 의 자리를 정합니다.
- 격자의 내부 변은 가운데 가로선(A 의 아래 = C 의 위, B 의 아래 = D 의 위)과 가운데 세로선(A 의 오른쪽 = B 의 왼쪽, C 의 오른쪽 = D 의 왼쪽)입니다.
- 타일 III 의 아래($0$)와 오른쪽($5$)은 둘 다 유일한 값이므로 어느 쪽도 내부 변에 올 수 없고, 둘 다 바깥 경계를 향해야 합니다.
- 타일의 아래와 오른쪽이 동시에 바깥을 향하는 자리는 우하단뿐입니다.
💡 우하단은 한 타일의 아래쪽과 오른쪽이 둘 다 격자 바깥을 향하는 유일한 자리입니다.
4.OA.C.5 단계 4 - 타일 III 의 내부 변과 맞물리는 타일을 찾습니다.
- III 의 위는 $7$, 왼쪽은 $1$ 입니다.
- D 위에 있는 B 의 타일은 아래 $= 7$ 이어야 하고, D 왼쪽에 있는 C 의 타일은 오른쪽 $= 1$ 이어야 합니다.
- 표를 보면 아래가 $7$ 인 타일은 I 뿐이므로 I 는 B 에, 오른쪽이 $1$ 인 타일은 IV 뿐이므로 IV 는 C 에 들어갑니다.
💡 필요한 값을 가진 타일이 각각 하나뿐이라 자리가 곧바로 강제됩니다.
4.OA.C.5 단계 5 - 나머지 변을 점검합니다.
- 남은 타일은 II 하나뿐이므로 II 는 A 에 들어갑니다.
- 나머지 공유 변도 확인: A-B 는 I 의 왼쪽($3$)과 II 의 오른쪽($3$), A-C 는 II 의 아래($2$)와 IV 의 위($2$).
- 둘 다 일치합니다.
💡 세 자리를 정하고 공유 변이 전부 맞으면 마지막 타일은 자동으로 들어맞습니다.
4.OA.C.5 단계 6 답을 읽어 냅니다.
💡 타일 IV 는 오른쪽이 $1$ 인 유일한 타일이라서, 오른쪽 열에서 III 의 왼쪽($1$)과 맞물리는 자리가 C 입니다.
3.MD.B.3 네 타일의 모서리 숫자를 한 표에 정리합니다. 3.MD.B.3 $16$ 개 모서리 전체에서 각 숫자가 몇 번 나오는지 셉니다. $0$ 과 $5$ 는 각각 정확히 한 번씩만 등장하며, 둘 다 타일 III 에 4.OA.C.5 타일 III 의 자리를 정합니다. 격자의 내부 변은 가운데 가로선(A 의 아래 = C 의 위, B 의 아래 = D 의 위)과 가운데 세로선(A 4.OA.C.5 타일 III 의 내부 변과 맞물리는 타일을 찾습니다. III 의 위는 $7$, 왼쪽은 $1$ 입니다. D 위에 있는 B 의 타일은 아래 $= 7 4.OA.C.5 나머지 변을 점검합니다. 남은 타일은 II 하나뿐이므로 II 는 A 에 들어갑니다. 나머지 공유 변도 확인: A-B 는 I 의 왼쪽($3$)과 4.OA.C.5 답을 읽어 냅니다. 검토
합리성 확인: 최종 배치 $\begin{smallmatrix} \text{II} & \text{I} \\ \text{IV} & \text{III} \end{smallmatrix}$ 의 네 공유 변을 모두 확인합니다. A-B: II 의 오른쪽 $3$ = I 의 왼쪽 $3$ $\checkmark$; C-D: IV 의 오른쪽 $1$ = III 의 왼쪽 $1$ $\checkmark$; A-C: II 의 아래 $2$ = IV 의 위 $2$ $\checkmark$; B-D: I 의 아래 $7$ = III 의 위 $7$ $\checkmark$. 네 내부 변이 모두 맞고, 유일하게 한 번만 등장한 $0, 4, 5, 8$ 은 모두 바깥 경계에 자리잡았으니 유일성 논증이 그대로 들어맞습니다.
대안 접근: 도구 #6(예측하고 검증하기): 타일 I 를 C 에 두어 봅니다. 그러면 C 의 오른쪽($9$)이 D 의 왼쪽과 같아야 하므로 D 자리에는 왼쪽 $= 9$ 인 타일, 즉 IV 가 와야 합니다. 그런데 C 의 위($8$)는 A 의 아래와 같아야 하는데 남은 어떤 타일도 아래 $= 8$ 이 아니어서 막힙니다. II 를 C 에 두면 II 의 오른쪽이 $3$ 이라 D 자리에는 왼쪽 $3$ 인 타일이 필요한데 그런 타일이 없습니다. III 을 C 에 두면 오른쪽이 $5$ 라서 왼쪽 $5$ 인 타일이 필요한데 역시 없습니다. 결국 살아남는 경우는 IV 를 C 에 두는 경우뿐이라 답은 (D) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
3.MD.B.3여러 범주의 자료를 나타내는 그림그래프와 막대그래프 그리기 (각 타일의 네 모서리 값을 표로 정리하고 각 숫자가 몇 번 등장하는지 세는 3학년 자료 정리 작업에 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙을 따르는 수 또는 도형 패턴 만들기 (맞닿는 변 규칙을 따라 배치를 연쇄적으로 결정: III $\to$ D 가 I $\to$ B 와 IV $\to$ C 를 강제하고, 마지막에 II $\to$ A 가 남습니다.)
⭐ 타일 모서리 숫자를 표로 정리한 뒤 빈도를 세요. 단 한 번만 나오는 숫자는 짝지을 수 없으니 바깥쪽을 향할 수밖에 없고, 그 한 가지 관찰만으로 퍼즐 전체가 풀려요.
⭐ 타일 모서리 숫자를 표로 정리한 뒤 빈도를 세요. 단 한 번만 나오는 숫자는 짝지을 수 없으니 바깥쪽을 향할 수밖에 없고, 그 한 가지 관찰만으로 퍼즐 전체가 풀려요.
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