AMC 8 · 2009 · #18
쉬운 모드 학년 4문제
한 변이 7피트인 정사각형 바닥을 떠올려 봅시다. 이 바닥은 한 변이 1피트인 정사각형 타일로 덮여 있어요. 어떤 타일은 검은색, 어떤 타일은 흰색입니다.
그림에서 네 모서리에 있는 타일은 모두 흰색입니다. 나머지 무늬는 그림에 나와 있어요.
이제 더 큰 바닥을 생각해봅시다. 한 변이 15피트인 정사각형 바닥에 똑같은 무늬로 타일을 깐다고 해요. 이 더 큰 바닥에는 흰색 타일이 몇 개나 필요할까요?
그림
같은 규칙을 더 작은 홀수 변 바닥에 적용해 흰 타일 수를 세어 패턴을 찾아보자.
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: $7$ 피트 $\times$ $7$ 피트 바닥을 $1$ 제곱피트짜리 검은 타일과 흰 타일로 줄무늬 모양으로 깐다고 합니다 — 네 모서리는 흰색이고, 가장자리에서 한 칸 안쪽부터 한 줄 건너 한 줄씩 검은 줄(가로 줄·세로 줄)이 배치됩니다. 같은 규칙으로 $15$ 피트 $\times$ $15$ 피트 바닥을 깔 때 필요한 흰 타일 수를 구합니다.
주어진 것: 한 타일은 $1$ 제곱피트; $7 \times 7$ 그림에서 검은 타일은 한쪽 가장자리에서 $2, 4, 6$ 번째 가로 줄과 $2, 4, 6$ 번째 세로 줄을 가득 채움; 네 모서리 타일은 모두 흰색; 새 바닥은 $15 \times 15$ 이며 같은 규칙으로 깖; 선택지: (A) $49$, (B) $57$, (C) $64$, (D) $96$, (E) $126$
구하는 것: $15 \times 15$ 바닥에 필요한 흰 타일의 개수
이해
문제 재정리: $7$ 피트 $\times$ $7$ 피트 바닥을 $1$ 제곱피트짜리 검은 타일과 흰 타일로 줄무늬 모양으로 깐다고 합니다 — 네 모서리는 흰색이고, 가장자리에서 한 칸 안쪽부터 한 줄 건너 한 줄씩 검은 줄(가로 줄·세로 줄)이 배치됩니다. 같은 규칙으로 $15$ 피트 $\times$ $15$ 피트 바닥을 깔 때 필요한 흰 타일 수를 구합니다.
주어진 것: 한 타일은 $1$ 제곱피트; $7 \times 7$ 그림에서 검은 타일은 한쪽 가장자리에서 $2, 4, 6$ 번째 가로 줄과 $2, 4, 6$ 번째 세로 줄을 가득 채움; 네 모서리 타일은 모두 흰색; 새 바닥은 $15 \times 15$ 이며 같은 규칙으로 깖; 선택지: (A) $49$, (B) $57$, (C) $64$, (D) $96$, (E) $126$
계획
주요 도구: #5 패턴 찾기
보조 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기
$15 \times 15$ 를 곧바로 세는 건 번거롭습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 같은 규칙을 한 변이 작은 홀수 — $1 \times 1$, $3 \times 3$, $5 \times 5$, $7 \times 7$ — 에 적용해 손으로 세고, 도구 #5(패턴 찾기) 로 네 개의 결과에서 규칙을 뽑아 한 변이 $15$ 인 경우로 확장합니다. $7 \times 7$ 은 그림이 이미 제공되어 있어 출발점이 명확합니다.
실행 — 정답: C
2.G.A.2 단계 1 - $7 \times 7$ 그림에서 흰 타일의 위치를 봅니다.
- 검은 줄은 $2, 4, 6$ 번째 가로·세로 줄이므로, 흰 타일은 가로·세로 위치가 모두 $\{1, 3, 5, 7\}$ (홀수 위치) 인 칸뿐입니다 — 홀수 가로 줄 $4$ 개와 홀수 세로 줄 $4$ 개의 교차점.
💡 정사각형을 같은 크기의 가로·세로 단위 칸으로 나누어 교차점의 개수를 세는 것은 2학년 배열(array) 개념입니다.
2.G.A.2 단계 2 - 더 작은 홀수 변 바닥에도 같은 방식으로 셉니다.
- $1 \times 1$ 은 한 타일 자체가 모서리라 흰색 $1$ 개.
- $3 \times 3$ 은 홀수 위치 $\{1, 3\}$ 이라 $2 \times 2 = 4$ 개.
- $5 \times 5$ 는 홀수 위치 $\{1, 3, 5\}$ 라 $3 \times 3 = 9$ 개.
💡 같은 규칙을 손으로 셀 만한 작은 바닥에 옮겨 보면 대수 없이도 구조가 드러납니다.
4.OA.C.5 단계 3 - 네 개의 결과 $1, 4, 9, 16$ 은 정확히 제곱수 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ 입니다.
- 한 변 길이 $1, 3, 5, 7$ 은 $1$ 번째, $2$ 번째, $3$ 번째, $4$ 번째 홀수이므로, $k$ 번째 홀수 변 바닥의 흰 타일 수는 $k^2$ 입니다.
💡 타일 규칙에서 제곱수 패턴을 끌어내는 것은 4학년 "수·도형 패턴 만들기" 표준 그대로입니다.
3.OA.D.9 단계 4 - $15$ 가 몇 번째 홀수인지 찾습니다.
- 홀수는 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ 이므로 $15$ 는 $8$ 번째 홀수, 즉 $k = 8$.
💡 홀수를 $1, 3, 5, \dots$ 로 인식하고 $15$ 의 자리를 찾는 것은 3학년 산술 패턴 표준입니다.
3.OA.C.7 단계 5 $k = 8$ 을 패턴에 대입합니다.
💡 $8 \times 8 = 64$ 를 계산하는 것은 3학년 "$100$ 이내 곱셈을 능숙히" 표준에 해당합니다.
2.G.A.2 $7 \times 7$ 그림에서 흰 타일의 위치를 봅니다. 검은 줄은 $2, 4, 6$ 번째 가로·세로 줄이므로, 흰 타일은 가로·세로 위치가 2.G.A.2 더 작은 홀수 변 바닥에도 같은 방식으로 셉니다. $1 \times 1$ 은 한 타일 자체가 모서리라 흰색 $1$ 개. $3 \times 3$ 4.OA.C.5 네 개의 결과 $1, 4, 9, 16$ 은 정확히 제곱수 $1^2, 2^2, 3^2, 4^2$ 입니다. 한 변 길이 $1, 3, 5, 7$ 은 3.OA.D.9 $15$ 가 몇 번째 홀수인지 찾습니다. 홀수는 $1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$ 이므로 $15$ 는 $8$ 번째 홀수, 즉 $ 3.OA.C.7 $k = 8$ 을 패턴에 대입합니다. 검토
합리성 확인: 다른 각도로 패턴을 점검합니다. 한 변이 홀수 $s = 2k - 1$ 인 바닥에서 흰 타일은 "홀수 가로 줄 $\times$ 홀수 세로 줄" 교차점들이라 $k \times k$ 격자 모양 — 즉 $k^2$ 개. $s = 7$ 이면 $k = 4$, $k^2 = 16$ 으로 그림과 일치. $s = 15$ 이면 $k = 8$, $k^2 = 64$. 전체 $15 \times 15 = 225$ 타일 중 $64$ 개가 흰색이라는 결과는 검은 줄무늬가 바닥의 대부분을 덮는다는 직관에도 잘 맞습니다.
대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 여집합 계산을 할 수도 있습니다. $15 \times 15$ 의 전체 타일 수는 $225$. 검은 가로 줄은 $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14$ 번째 ($7$ 줄 $\times$ $15$ 칸 $= 105$). 검은 세로 줄도 같은 자리에 $7$ 줄 ($105$ 칸). 겹치는 칸(검은 가로 줄과 검은 세로 줄이 만나는 부분) 은 $7 \times 7 = 49$ 칸, 이미 두 번 셌으므로 한 번 빼 줍니다. 검은 타일 $= 105 + 105 - 49 = 161$, 흰 타일 $= 225 - 161 = 64$. 같은 답.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
2.G.A.2직사각형을 같은 크기의 가로·세로 칸으로 분할 ($7 \times 7$ 그림과 $3 \times 3$, $5 \times 5$ 작은 바닥에서 홀수 위치의 가로·세로 줄을 읽어 흰 타일 수를 세는 데 사용.)3.OA.C.7$100$ 이내 곱셈·나눗셈을 능숙히 수행 (패턴 $k^2$ 를 알아낸 뒤 $8 \times 8 = 64$ 를 계산하는 데 사용.)3.OA.D.9산술 패턴을 찾고 연산 성질로 설명 ($1, 3, 5, 7, \dots$ 가 홀수열임을 알고 $15$ 가 $8$ 번째 홀수임을 찾는 데 사용.)4.OA.C.5주어진 규칙에 따라 수·도형 패턴 만들기 ($1, 4, 9, 16$ 의 결과를 $k$ 번째 홀수 변 바닥에 대해 $k^2$ 로 일반화하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "제곱수로 이어지는 패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "제곱수로 이어지는 패턴 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!
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