AMC 8 · 2009 · #22

쉬운 모드 학년 5

문제

$1$ 부터 $1000$ 까지의 자연수를 모두 떠올려 봅시다. $1, 2, 3, \dots, 999, 1000$ 이 모두 들어가요.

이 수들 중 어떤 수에는 숫자 $1$ 이 어딘가에 들어 있어요. 예를 들어 $1$ , $13$ , $312$ , $1000$ 같은 수입니다. 또 어떤 수에는 $1$ 이 한 번도 나오지 않아요. $2$ , $25$ , $407$ 같은 수가 그런 경우입니다.

$1$ 부터 $1000$ 까지의 수 중에서 숫자 $1$ 이 한 번도 나오지 않는 수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

512

(B)

648

(C)

720

(D)

728

(E)

800

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $1$ 보다 크고 $1000$ 보다 작은 정수 중에서, 십진법 표기에 숫자 "$1$" 이 단 한 번도 들어가지 않는 수의 개수를 구하는 문제입니다. 즉 $1 < n < 1000$ 인 정수 $n$ 중에서 모든 자리수가 $1$ 이 아닌 것의 개수입니다.

주어진 것: 범위: $1$ 보다 크고 $1000$ 보다 작은 정수 (즉 $n \in \{2, 3, \ldots, 999\}$); 금지 숫자: $n$ 의 어느 자리에도 $1$ 이 나타나면 안 됨; 선택지: (A) $512$, (B) $648$, (C) $720$, (D) $728$, (E) $800$

구하는 것: 범위 안에서 숫자 $1$ 을 포함하지 않는 정수의 개수

이해

계획

주요 도구: #13 경우의 수 세기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

특정 숫자 하나를 피하는 길이 $3$ 의 수 문자열 개수를 세는 전형적인 곱셈 원리 상황으로, 도구 #13(경우의 수 세기) 이 바로 들어맞습니다. 핵심 트릭은 모든 수를 세 자리로 패딩하는 것입니다 — $7$ 은 "$007$", $42$ 는 "$042$" 처럼요. 그러면 $0$ 부터 $999$ 까지의 모든 정수가 세 칸짜리 문자열이 되고, 각 칸은 독립적으로 $\{0,1,2,\ldots,9\}$ 중에서 고르며 $1$ 만 금지하면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 경계 끝부분을 처리하는 데 씁니다 — 패딩한 개수에는 $000$ (우리 범위 밖) 이 들어가 있으므로 한 번 빼 주기만 하면 됩니다.

실행 — 정답: D

#13 경우의 수 세기 3.OA.A.1 단계 1

$0, 1, \ldots, 999$ 의 모든 수를 앞에 $0$ 을 채워 $3$ 자리 문자열로 다시 봅니다.
이제 문제는 "숫자 $\{0,1,\ldots,9\}$ 로 만든 $3$ 칸짜리 문자열 중 모든 칸이 $1$ 이 아닌 것의 개수" 가 됩니다.
세 칸 각각이 독립적으로 $9$ 개의 허용 숫자($1$ 을 뺀 모두) 중 하나를 가집니다.

$$\text{한 칸당 허용 숫자} = 10 - 1 = 9$$

💡 "$9$ 가지 선택지를 각 칸마다 반복" 은 3학년 "똑같은 묶음" 곱셈 개념 그대로입니다.

#13 경우의 수 세기 5.NBT.B.5 단계 2

세 자리(백·십·일) 각각이 독립이므로 곱셈 원리를 적용합니다.

$$9 \times 9 \times 9 = 729$$

💡 독립적인 $9$ 가지 선택지를 세 번 곱하는 것은 5학년 "여러 자리 수의 곱셈" 표준입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 3

경계를 정리합니다.
$729$ 개의 문자열에는 "$000$" 이 포함되는데, 이것은 정수 $0$ 을 뜻하고 $0$ 은 $1 < n < 1000$ 범위 밖이라 빼야 합니다.
정수 $1$ 은 "$001$" 에 숫자 $1$ 이 들어가 자동으로 제외되고, $1000$ 은 네 자리라 애초에 세어지지 않았습니다.

$$729 - 1 = 728$$

💡 먼저 큰 덩어리를 센 다음 경계의 잘못된 한 케이스만 빼는 것은 도구 #7 (작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 동작이자, 4학년 여러 단계 문장제 추론입니다.

#13 경우의 수 세기 4.OA.A.3 단계 4

구한 값을 선택지와 맞춥니다.

$$728 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 일치하는 답을 골라 문제를 마무리합니다.

[1] #13 3.OA.A.1 $0, 1, \ldots, 999$ 의 모든 수를 앞에 $0$ 을 채워 $3$ 자리 문자열로 다시 봅니다. 이제 문제는 "숫자 ${0,1,\l

[2] #13 5.NBT.B.5 세 자리(백·십·일) 각각이 독립이므로 곱셈 원리를 적용합니다.

[3] #7 4.OA.A.3 경계를 정리합니다. $729$ 개의 문자열에는 "$000$" 이 포함되는데, 이것은 정수 $0$ 을 뜻하고 $0$ 은 $1 < n < 1000$

[4] #13 4.OA.A.3 구한 값을 선택지와 맞춥니다.

검토

합리성 확인: 각 칸의 약 $\tfrac{9}{10}$ 가 허용되므로 세 칸 모두 $1$ 을 피할 확률은 약 $\left(\tfrac{9}{10}\right)^3 = 0.729$. $000$ 부터 $999$ 까지 $1000$ 개 문자열 중 약 $729$ 개라는 어림이 나오고, $000$ 한 개를 빼면 정확히 $728$ 로 답과 일치합니다. 다른 선택지는 이 어림과 맞지 않습니다 — $512 = 8^3$ 은 금지 숫자가 둘일 때, $800$ 은 더 느슨한 조건일 때 나오는 수입니다.

대안 접근: 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 으로 자릿수별로 나눠 풀어 봅시다. (i) $1$ 자리 수 $2$–$9$ 중 $1$ 이 없는 것: $8$ 개. (ii) $2$ 자리 수 $10$–$99$ 중 $1$ 이 없는 것: 십의 자리는 $\{2,\ldots,9\}$ 의 $8$ 가지, 일의 자리는 $9$ 가지, 합 $8 \times 9 = 72$. (iii) $3$ 자리 수 $100$–$999$ 중 $1$ 이 없는 것: 백의 자리 $8$, 십의 자리 $9$, 일의 자리 $9$ 라 $8 \times 9 \times 9 = 648$. 합계 $= 8 + 72 + 648 = 728$ 로 (D) 가 확인됩니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

3.OA.A.1 정수의 곱을 똑같은 묶음의 합으로 해석 ("세 칸 각각에 $9$ 가지 허용 숫자" 라는 똑같은 묶음 곱셈 구조를 인식하는 데 사용.)
5.NBT.B.5 여러 자리 정수의 능숙한 곱셈 (세 칸의 독립 선택에서 나온 곱 $9 \times 9 \times 9 = 729$ 를 계산.)
4.OA.A.3 정수 범위의 여러 단계 문장제 해결 (패딩한 문자열 $000$ 한 경우를 빼서 $729$ 에서 $728$ 로 보정하고, 일치하는 선택지를 선택.)

⭐ 모든 수를 세 자리로 채워 보면, 각 칸은 따로따로 $9$ 가지 중 하나를 고르는 일이 됩니다 — 5학년 때 배운 곱셈 그대로에 작은 보정 하나만 더하면 됩니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

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