AMC 8 · 2009 · #23
쉬운 모드 학년 4문제
학년의 마지막 날, Mrs. Wonderful 선생님이 자기 반에 줄 젤리빈 400개를 가져왔습니다.
선생님이 나눠 준 방법은 이렇습니다. 남학생 한 명에게는 반에 있는 남학생 수만큼 젤리빈을 주었어요. 여학생 한 명에게는 반에 있는 여학생 수만큼 젤리빈을 주었습니다.
다 나눠 주고 나니 젤리빈 6개가 남았어요. 그리고 이 반에는 남학생이 여학생보다 2명 더 많습니다.
이 반의 학생은 모두 몇 명일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 선생님이 남학생 한 명에게 학급의 남학생 수만큼, 여학생 한 명에게 여학생 수만큼 젤리빈을 나누어 줍니다. $400$ 개로 시작해 $6$ 개가 남았으니 $394$ 개를 나누어 줬습니다. 남학생이 여학생보다 $2$ 명 많을 때, 학급 전체 학생 수는 몇 명일까요?
주어진 것: 남학생 한 명이 받는 젤리빈 수 = 남학생 수, 그래서 남학생 전체가 받는 양은 (남학생 수)$^2$; 여학생 한 명이 받는 젤리빈 수 = 여학생 수, 그래서 여학생 전체가 받는 양은 (여학생 수)$^2$; 나누어 준 총량 $= 400 - 6 = 394$; 남학생 수 $=$ 여학생 수 $+\, 2$; 전체 학생 수 선택지: (A) $26$, (B) $28$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $34$
구하는 것: 학급의 전체 학생 수
이해
문제 재정리: 선생님이 남학생 한 명에게 학급의 남학생 수만큼, 여학생 한 명에게 여학생 수만큼 젤리빈을 나누어 줍니다. $400$ 개로 시작해 $6$ 개가 남았으니 $394$ 개를 나누어 줬습니다. 남학생이 여학생보다 $2$ 명 많을 때, 학급 전체 학생 수는 몇 명일까요?
주어진 것: 남학생 한 명이 받는 젤리빈 수 = 남학생 수, 그래서 남학생 전체가 받는 양은 (남학생 수)$^2$; 여학생 한 명이 받는 젤리빈 수 = 여학생 수, 그래서 여학생 전체가 받는 양은 (여학생 수)$^2$; 나누어 준 총량 $= 400 - 6 = 394$; 남학생 수 $=$ 여학생 수 $+\, 2$; 전체 학생 수 선택지: (A) $26$, (B) $28$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $34$
계획
주요 도구: #6 추측하고 확인하기
보조 도구: #2 체계적인 목록 만들기
선택지가 모두 $28$ 같은 "전체 학생 수" $T$ 입니다. $T$ 가 정해지면 "남학생이 여학생보다 $2$ 명 많다" 는 조건으로 학생 수가 정확히 나뉩니다: 여학생 $= (T-2)/2$, 남학생 $= (T+2)/2$. 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 다섯 선택지를 차례로 넣어 보고 (남학생)$^2 +$ (여학생)$^2$ 이 $394$ 가 되는 것을 찾으면 됩니다. 도구 #2(체계적인 목록 만들기)는 다섯 번의 시도를 깔끔한 표로 정리해 헷갈리지 않게 도와줍니다. 이차방정식을 세울 필요 없이 작은 다섯 경우만 확인하면 됩니다.
실행 — 정답: B
4.OA.A.3 단계 1 - 실제로 나누어 준 젤리빈 수를 구합니다.
- $400$ 개로 시작해 $6$ 개가 남았으니, 나머지는 학생들에게 갔습니다.
💡 시작 양에서 남은 양을 빼면 사용한 양이 나오는 "시작 - 변화 - 결과" 문장제의 기본 동작입니다.
4.OA.A.3 단계 2 - 각 전체 학생 수 $T$ 를 (여학생, 남학생) 쌍으로 바꿉니다.
- 남학생이 여학생보다 $2$ 명 많고 둘의 합이 $T$ 이므로, 여학생은 $T - 2$ 의 절반, 남학생은 $T + 2$ 의 절반입니다.
💡 두 수의 차가 $2$ 이고 합이 $T$ 라면 작은 수는 평균보다 $1$ 작고, 큰 수는 평균보다 $1$ 큽니다 — 4학년 문장제에서 익히는 습관입니다.
3.OA.C.7 단계 3 - 체계적인 목록을 만듭니다.
- 각 선택지에 대해 여학생 수, 남학생 수, 그리고 (여학생)$^2 +$ (남학생)$^2$ 을 계산해 $394$ 와 비교합니다.
💡 작은 두 자리 수의 제곱 ($12^2, 13^2, \ldots, 18^2$) 을 빠르게 계산하는 것은 3학년에서 다진 곱셈 유창성을 사용합니다.
4.NBT.B.4 단계 4 - 표의 합계를 $394$ 와 맞춰 봅니다.
- $T = 28$ 일 때만 정확히 $394$ 가 됩니다.
- 값이 $340 \to 394 \to 452$ 로 한 칸씩 크게 뛰므로 답은 유일하고, 비슷한 다른 후보를 걱정할 필요가 없습니다.
💡 세 자리 수 두 개를 더해 목표와 비교하는 것은 4학년 "여러 자리 수 덧셈·뺄셈" 표준이며, 추측하고 확인하기의 "확인" 단계 그 자체입니다.
4.OA.A.3 단계 5 - 답을 읽어 냅니다.
- $T = 28$ 이 선택지 (B)에 해당하며, 여학생 $13$ 명, 남학생 $15$ 명입니다.
💡 추측하고 확인하기에서 한 행이 맞으면, 그 행의 전체 값이 곧 답입니다 — 도구 #6 의 마무리 동작입니다.
4.OA.A.3 실제로 나누어 준 젤리빈 수를 구합니다. $400$ 개로 시작해 $6$ 개가 남았으니, 나머지는 학생들에게 갔습니다. 4.OA.A.3 각 전체 학생 수 $T$ 를 (여학생, 남학생) 쌍으로 바꿉니다. 남학생이 여학생보다 $2$ 명 많고 둘의 합이 $T$ 이므로, 여학생은 $T 3.OA.C.7 체계적인 목록을 만듭니다. 각 선택지에 대해 여학생 수, 남학생 수, 그리고 (여학생)$^2 +$ (남학생)$^2$ 을 계산해 $394$ 와 비 4.NBT.B.4 표의 합계를 $394$ 와 맞춰 봅니다. $T = 28$ 일 때만 정확히 $394$ 가 됩니다. 값이 $340 \to 394 \to 452$ 로 4.OA.A.3 답을 읽어 냅니다. $T = 28$ 이 선택지 (B)에 해당하며, 여학생 $13$ 명, 남학생 $15$ 명입니다. 검토
합리성 확인: 여학생 $13$ 명, 남학생 $15$ 명이라면, 여학생에게 $13 \times 13 = 169$ 개, 남학생에게 $15 \times 15 = 225$ 개를 나누어 주어 합이 $169 + 225 = 394$ 개입니다. 여기에 남은 $6$ 개를 더하면 $400$ 개로 처음과 일치하고, 남학생 수에서 여학생 수를 빼면 $15 - 13 = 2$ 로 조건과 맞습니다. 모든 조건이 통과됩니다.
대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 표의 합 $340, 394, 452, 514, 580$ 의 차이가 $54, 58, 62, 66$ 으로 $4$ 씩 증가합니다. $T = 26$ 에서 $340$ 이고 $394$ 까지 차이가 $54$ 인데, 이는 첫 번째 간격과 정확히 같습니다. 따라서 더 보지 않아도 답이 두 번째 줄 $T = 28$ 임을 알 수 있습니다. 일반화하면 $g^2 + (g+2)^2 = 2g^2 + 4g + 4$ 라는 식이 "$4$ 씩 증가" 의 이유를 설명해 줍니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)
4.OA.A.3사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결(자연수) ("$400$ 개로 시작 $\to$ $6$ 개 남음 $\to$ 나머지를 여·남학생이 나눠 받음" 의 상황을 읽고, 각 전체 학생 수 후보를 (여학생, 남학생) 쌍으로 옮기는 데 사용.)3.OA.C.7100 이내에서 곱셈·나눗셈을 유창하게 수행 (표의 각 시도에서 $12^2 = 144$, $13^2 = 169$, $14^2 = 196$, $15^2 = 225$, $16^2 = 256$, $17^2 = 289$, $18^2 = 324$ 같은 제곱을 빠르게 계산.)4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 유창하게 수행 ($169 + 225 = 394$ 와 $400 - 6 = 394$ 같은 덧·뺄셈으로 각 시도를 목표값과 비교.)
⭐ 이차방정식을 세울 필요가 없어요 — 다섯 개의 선택지와 "남학생이 $2$ 명 많다" 라는 조건만 있으면, 4학년 산수와 추측하고 확인하기로 표 하나에 답이 나옵니다!
⭐ 이차방정식을 세울 필요가 없어요 — 다섯 개의 선택지와 "남학생이 $2$ 명 많다" 라는 조건만 있으면, 4학년 산수와 추측하고 확인하기로 표 하나에 답이 나옵니다!
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