AMC 8 · 2009 · #23

학년 4 algebra

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systems-of-equationsperfect-squareslinear-equations-two-var guess-and-checksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticlinear-equations-one-var

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문제

On the last day of school, Mrs. Wonderful gave jelly beans to her class. She gave each boy as many jelly beans as there were boys in the class. She gave each girl as many jelly beans as there were girls in the class. She brought $400$ jelly beans, and when she finished, she had six jelly beans left. There were two more boys than girls in her class. How many students were in her class?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2009 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 선생님이 남학생 한 명에게 학급의 남학생 수만큼, 여학생 한 명에게 여학생 수만큼 젤리빈을 나누어 줍니다. $400$ 개로 시작해 $6$ 개가 남았으니 $394$ 개를 나누어 줬습니다. 남학생이 여학생보다 $2$ 명 많을 때, 학급 전체 학생 수는 몇 명일까요?

주어진 것: 남학생 한 명이 받는 젤리빈 수 = 남학생 수, 그래서 남학생 전체가 받는 양은 (남학생 수)$^2$; 여학생 한 명이 받는 젤리빈 수 = 여학생 수, 그래서 여학생 전체가 받는 양은 (여학생 수)$^2$; 나누어 준 총량 $= 400 - 6 = 394$; 남학생 수 $=$ 여학생 수 $+\, 2$; 전체 학생 수 선택지: (A) $26$, (B) $28$, (C) $30$, (D) $32$, (E) $34$

구하는 것: 학급의 전체 학생 수

이해

계획

주요 도구: #6 추측하고 확인하기

보조 도구: #2 체계적인 목록 만들기

선택지가 모두 $28$ 같은 "전체 학생 수" $T$ 입니다. $T$ 가 정해지면 "남학생이 여학생보다 $2$ 명 많다" 는 조건으로 학생 수가 정확히 나뉩니다: 여학생 $= (T-2)/2$, 남학생 $= (T+2)/2$. 그래서 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 다섯 선택지를 차례로 넣어 보고 (남학생)$^2 +$ (여학생)$^2$ 이 $394$ 가 되는 것을 찾으면 됩니다. 도구 #2(체계적인 목록 만들기)는 다섯 번의 시도를 깔끔한 표로 정리해 헷갈리지 않게 도와줍니다. 이차방정식을 세울 필요 없이 작은 다섯 경우만 확인하면 됩니다.

실행 — 정답: B

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 1

실제로 나누어 준 젤리빈 수를 구합니다.
$400$ 개로 시작해 $6$ 개가 남았으니, 나머지는 학생들에게 갔습니다.

$$400 - 6 = 394$$

💡 시작 양에서 남은 양을 빼면 사용한 양이 나오는 "시작 - 변화 - 결과" 문장제의 기본 동작입니다.

#2 체계적인 목록 만들기 4.OA.A.3 단계 2

각 전체 학생 수 $T$ 를 (여학생, 남학생) 쌍으로 바꿉니다.
남학생이 여학생보다 $2$ 명 많고 둘의 합이 $T$ 이므로, 여학생은 $T - 2$ 의 절반, 남학생은 $T + 2$ 의 절반입니다.

$$\text{여학생} = \dfrac{T - 2}{2}, \quad \text{남학생} = \dfrac{T + 2}{2}$$

💡 두 수의 차가 $2$ 이고 합이 $T$ 라면 작은 수는 평균보다 $1$ 작고, 큰 수는 평균보다 $1$ 큽니다 — 4학년 문장제에서 익히는 습관입니다.

#2 체계적인 목록 만들기 3.OA.C.7 단계 3

체계적인 목록을 만듭니다.
각 선택지에 대해 여학생 수, 남학생 수, 그리고 (여학생)$^2 +$ (남학생)$^2$ 을 계산해 $394$ 와 비교합니다.

$$\begin{array}{c|c|c|c}T & \text{여학생} & \text{남학생} & \text{여학생}^2 + \text{남학생}^2 \\\hline 26 & 12 & 14 & 144 + 196 = 340 \\ 28 & 13 & 15 & 169 + 225 = 394 \\ 30 & 14 & 16 & 196 + 256 = 452 \\ 32 & 15 & 17 & 225 + 289 = 514 \\ 34 & 16 & 18 & 256 + 324 = 580 \end{array}$$

💡 작은 두 자리 수의 제곱 ($12^2, 13^2, \ldots, 18^2$) 을 빠르게 계산하는 것은 3학년에서 다진 곱셈 유창성을 사용합니다.

#6 추측하고 확인하기 4.NBT.B.4 단계 4

표의 합계를 $394$ 와 맞춰 봅니다.
$T = 28$ 일 때만 정확히 $394$ 가 됩니다.
값이 $340 \to 394 \to 452$ 로 한 칸씩 크게 뛰므로 답은 유일하고, 비슷한 다른 후보를 걱정할 필요가 없습니다.

$$169 + 225 = 394 \;\checkmark$$

💡 세 자리 수 두 개를 더해 목표와 비교하는 것은 4학년 "여러 자리 수 덧셈·뺄셈" 표준이며, 추측하고 확인하기의 "확인" 단계 그 자체입니다.

#6 추측하고 확인하기 4.OA.A.3 단계 5

답을 읽어 냅니다.
$T = 28$ 이 선택지 (B)에 해당하며, 여학생 $13$ 명, 남학생 $15$ 명입니다.

$$\text{전체 학생 수} = 28 \;\Rightarrow\; \textbf{(B)}$$

💡 추측하고 확인하기에서 한 행이 맞으면, 그 행의 전체 값이 곧 답입니다 — 도구 #6 의 마무리 동작입니다.

[1] #6 4.OA.A.3 실제로 나누어 준 젤리빈 수를 구합니다. $400$ 개로 시작해 $6$ 개가 남았으니, 나머지는 학생들에게 갔습니다.

[2] #2 4.OA.A.3 각 전체 학생 수 $T$ 를 (여학생, 남학생) 쌍으로 바꿉니다. 남학생이 여학생보다 $2$ 명 많고 둘의 합이 $T$ 이므로, 여학생은 $T

[3] #2 3.OA.C.7 체계적인 목록을 만듭니다. 각 선택지에 대해 여학생 수, 남학생 수, 그리고 (여학생)$^2 +$ (남학생)$^2$ 을 계산해 $394$ 와 비

[4] #6 4.NBT.B.4 표의 합계를 $394$ 와 맞춰 봅니다. $T = 28$ 일 때만 정확히 $394$ 가 됩니다. 값이 $340 \to 394 \to 452$ 로

[5] #6 4.OA.A.3 답을 읽어 냅니다. $T = 28$ 이 선택지 (B)에 해당하며, 여학생 $13$ 명, 남학생 $15$ 명입니다.

검토

합리성 확인: 여학생 $13$ 명, 남학생 $15$ 명이라면, 여학생에게 $13 \times 13 = 169$ 개, 남학생에게 $15 \times 15 = 225$ 개를 나누어 주어 합이 $169 + 225 = 394$ 개입니다. 여기에 남은 $6$ 개를 더하면 $400$ 개로 처음과 일치하고, 남학생 수에서 여학생 수를 빼면 $15 - 13 = 2$ 로 조건과 맞습니다. 모든 조건이 통과됩니다.

대안 접근: 도구 #5(패턴 찾기): 표의 합 $340, 394, 452, 514, 580$ 의 차이가 $54, 58, 62, 66$ 으로 $4$ 씩 증가합니다. $T = 26$ 에서 $340$ 이고 $394$ 까지 차이가 $54$ 인데, 이는 첫 번째 간격과 정확히 같습니다. 따라서 더 보지 않아도 답이 두 번째 줄 $T = 28$ 임을 알 수 있습니다. 일반화하면 $g^2 + (g+2)^2 = 2g^2 + 4g + 4$ 라는 식이 "$4$ 씩 증가" 의 이유를 설명해 줍니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

4.OA.A.3 사칙연산을 이용한 여러 단계 문장제 해결(자연수) ("$400$ 개로 시작 $\to$ $6$ 개 남음 $\to$ 나머지를 여·남학생이 나눠 받음" 의 상황을 읽고, 각 전체 학생 수 후보를 (여학생, 남학생) 쌍으로 옮기는 데 사용.)
3.OA.C.7 100 이내에서 곱셈·나눗셈을 유창하게 수행 (표의 각 시도에서 $12^2 = 144$, $13^2 = 169$, $14^2 = 196$, $15^2 = 225$, $16^2 = 256$, $17^2 = 289$, $18^2 = 324$ 같은 제곱을 빠르게 계산.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수의 덧셈·뺄셈을 유창하게 수행 ($169 + 225 = 394$ 와 $400 - 6 = 394$ 같은 덧·뺄셈으로 각 시도를 목표값과 비교.)

⭐ 이차방정식을 세울 필요가 없어요 — 다섯 개의 선택지와 "남학생이 $2$ 명 많다" 라는 조건만 있으면, 4학년 산수와 추측하고 확인하기로 표 하나에 답이 나옵니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: B

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 4)

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