AMC 8 · 2010 · #12

쉬운 모드 학년 6

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문제

큰 가방 안에 공이 $500$ 개 들어 있다고 생각해봅시다. 그중 $80\%$ 는 빨간 공이고, 나머지는 파란 공이에요.

이 가방에서 빨간 공만 한 개씩 꺼내기 시작합니다. 파란 공은 그대로 가방 안에 남아 있어요.

가방 속에 남아 있는 공 중에서 빨간 공의 비율이 $75\%$ 가 되는 순간 멈추려고 합니다.

그때까지 빨간 공을 몇 개 꺼냈을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

100

(E)

150

AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 큰 가방 안에 공이 $500$ 개 있습니다. 그중 $80\%$ 가 빨간 공, 나머지 $20\%$ 가 파란 공입니다. 빨간 공만 빼내고 파란 공은 그대로 둘 때, 가방에 남은 공 중 $75\%$ 가 빨간 공이 되려면 빨간 공을 몇 개 빼내야 할까요?

주어진 것: 전체 공 $= 500$ 개; 처음 빨간 공 비율 $= 80\%$, 즉 $0.80 \times 500 = 400$ 개; 처음 파란 공 비율 $= 20\%$, 즉 $100$ 개; 빨간 공만 빼내므로 파란 공 수는 $100$ 개 그대로 유지; 목표: 새 전체 중 빨간 공이 $75\%$; 선택지: (A) $25$, (B) $50$, (C) $75$, (D) $100$, (E) $150$

구하는 것: 빼내야 하는 빨간 공의 개수

이해

계획

주요 도구: #5 변하지 않는 것 찾기

보조 도구: #1 그림 그리기

이 문제의 핵심은 "무엇이 변하지 않는가" 입니다 — 빨간 공만 빼므로 파란 공 $100$ 개는 그대로 남습니다. 도구 #5(변하지 않는 것 찾기) 로 시선을 줄어드는 빨간 공이 아니라 고정된 파란 공으로 옮기면, 빨간 공이 $75\%$ 일 때 파란 공은 $25\%$ 이고, 이 $25\%$ 가 곧 $100$ 개이므로 새 전체 개수가 자동으로 결정됩니다. 도구 #1(그림 그리기) 로 막대를 $75\%$ 빨강·$25\%$ 파랑으로 나눠 보면 비율이 한눈에 들어옵니다.

실행 — 정답: D

#5 변하지 않는 것 찾기 6.RP.A.3 단계 1

처음 빨간 공과 파란 공 개수를 구합니다.
빨간 공은 $500$ 의 $80\%$, 파란 공은 그 나머지입니다.

$$\text{빨강} = 0.80 \times 500 = 400, \quad \text{파랑} = 500 - 400 = 100$$

💡 전체의 몇 퍼센트를 구하는 것은 6학년 비율·백분율 표준 그대로입니다.

#5 변하지 않는 것 찾기 6.RP.A.3 단계 2

변하지 않는 양을 찾습니다.
빨간 공만 빼므로 파란 공 수는 절대 바뀌지 않고 $100$ 개로 유지됩니다.

$$\text{파랑}_{\text{최종}} = \text{파랑}_{\text{처음}} = 100$$

💡 변하지 않는 양에 시선을 고정하는 것이 도구 #5 의 핵심 동작입니다.

#1 그림 그리기 6.RP.A.3 단계 3

목표를 다시 적습니다.
최종 가방의 $75\%$ 가 빨강이면 $100\% - 75\% = 25\%$ 가 파랑이고, 따라서 파란 공 $100$ 개가 새 전체 $T$ 의 $25\%$ 입니다.

$$0.25 \times T = 100$$

💡 막대를 $75\%$ : $25\%$ 로 나눠 그리면 파랑이 새 전체의 정확히 $\tfrac{1}{4}$ 임이 한눈에 보입니다.

#5 변하지 않는 것 찾기 6.EE.B.7 단계 4

양변을 $0.25$ 로 나누어(또는 $4$ 를 곱하여) 새 전체 $T$ 를 구합니다.

$$T = \dfrac{100}{0.25} = 400$$

💡 $0.25T = 100$ 같은 한 단계 방정식 풀이는 6학년 방정식 표준입니다.

#5 변하지 않는 것 찾기 6.EE.B.7 단계 5

빼낸 공의 개수를 구합니다.
가방은 $500$ 개에서 $400$ 개로 줄었고 빠진 것은 모두 빨간 공이므로, 빼낸 빨간 공은 $500 - 400 = 100$ 개입니다.

$$\text{빼낸 빨강} = 500 - 400 = 100 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 예전 전체에서 새 전체를 빼면 곧 빼낸 공의 개수입니다.

[1] #5 6.RP.A.3 처음 빨간 공과 파란 공 개수를 구합니다. 빨간 공은 $500$ 의 $80\%$, 파란 공은 그 나머지입니다.

[2] #5 6.RP.A.3 변하지 않는 양을 찾습니다. 빨간 공만 빼므로 파란 공 수는 절대 바뀌지 않고 $100$ 개로 유지됩니다.

[3] #1 6.RP.A.3 목표를 다시 적습니다. 최종 가방의 $75\%$ 가 빨강이면 $100\% - 75\% = 25\%$ 가 파랑이고, 따라서 파란 공 $100$ 개

[4] #5 6.EE.B.7 양변을 $0.25$ 로 나누어(또는 $4$ 를 곱하여) 새 전체 $T$ 를 구합니다.

[5] #5 6.EE.B.7 빼낸 공의 개수를 구합니다. 가방은 $500$ 개에서 $400$ 개로 줄었고 빠진 것은 모두 빨간 공이므로, 빼낸 빨간 공은 $500 - 400

검토

합리성 확인: 최종 가방을 확인해 봅시다. 총 $400$ 개, 파랑 $100$ 개, 빨강 $400 - 100 = 300$ 개. 빨강 비율 $= 300 / 400 = 0.75 = 75\%$ 로 목표와 정확히 일치하므로, $100$ 개를 빼낸 답은 옳습니다.

대안 접근: 도구 #2(식 세우기) 로 곧장 접근할 수도 있습니다. 빼낸 빨간 공을 $x$ 라 하면 최종 빨강 $= 400 - x$, 파랑 $= 100$, 전체 $= 500 - x$ 입니다. $\dfrac{400 - x}{500 - x} = \dfrac{3}{4}$ 에서 $4(400 - x) = 3(500 - x)$, 즉 $1600 - 4x = 1500 - 3x$ 이므로 $x = 100$ — 같은 답 (D).

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 전체 대비 비율로서의 백분율 구하기; 부분과 백분율이 주어졌을 때 전체 구하기 (처음 빨간 공 $= 500$ 의 $80\%$ 를 계산하고, "파란 공 $100$ 개 $= $ 새 전체의 $25\%$" 로 새 전체를 구하는 데 사용.)
6.EE.B.7 $x + p = q$, $px = q$ 형태의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 ($0.25 \times T = 100$ 을 풀어 새 전체 $T = 400$ 을 구하고, 뺄셈으로 빼낸 공의 개수를 계산.)

⭐ 한 색깔만 빠질 때는 그대로 남는 색깔 — 여기선 파란 공 — 에 시선을 고정하면 나머지가 저절로 풀립니다.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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