AMC 8 · 1999 · #18

학년 6 rate-ratio

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

percentageratemulti-digit-arithmetic identify-subproblems ↑ 선수 지식: percentagemulti-digit-arithmeticrate

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

At Central Middle School the $108$ students who take the AMC8 meet in the evening to talk about problems and eat an average of two cookies apiece. Walter and Gretel are baking Bonnie's Best Bar Cookies this year. Their recipe, which makes a pan of $15$ cookies, lists this items: $1\frac{1}{2}$ cups flour, $2$ eggs, $3$ tablespoons butter, $\frac{3}{4}$ cups sugar, and $1$ package of chocolate drops. They will make only full recipes, not partial recipes.

They learn that a big concert is scheduled for the same night and attendance will be down $25\%$ . How many recipes of cookies should they make for their smaller party?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: AMC8 학생 $108$ 명 중 콘서트 때문에 참석률이 $25\%$ 떨어져 $75\%$ 만 옵니다. 한 명당 평균 $2$ 개의 쿠키를 먹고, 한 판 레시피는 쿠키 $15$ 개를 만듭니다. 부분 레시피는 만들 수 없고 오직 "한 판 단위" 로만 굽습니다. 월터와 그레텔은 몇 판을 구워야 할까요?

주어진 것: 평소 참석 인원: $108$ 명; 참석률이 $25\%$ 감소하므로 $108$ 의 $75\%$ 만 참석; 한 명당 평균 쿠키 수: $2$ 개; 한 판 레시피의 쿠키 수: $15$ 개; 오직 한 판 단위 — 반 판은 불가; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $11$

구하는 것: 필요한 쿠키 수를 충족하는 가장 작은 정수 판 수

이해

계획

주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

문제 문장이 네 개의 작은 질문을 한 줄로 늘어놓은 형태예요 — 참석 인원, 총 쿠키 수, 필요한 레시피 수, 그리고 올림. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 딱 맞습니다: 한 단계씩 떼어내 계산하고, 그 결과를 다음 단계로 넘기면 끝. 대수는 필요 없고, 각 소문제는 "전체의 몇 퍼센트", "곱셈", "나눗셈", "올림" 같은 한 번의 연산으로 풀려요. 함정은 마지막 "오직 한 판 단위" 라는 현실 조건 — 내림이 아니라 올림이라는 점만 놓치지 않으면 됩니다.

실행 — 정답: E

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 1

소문제 1: 실제 참석 인원은?
$25\%$ 감소이므로 평소 $108$ 명의 $75\%$ 만 옵니다.
$108$ 의 $75\%$ 를 계산합니다.

$$\text{참석 인원} = 0.75 \times 108 = 81 \text{ 명}$$

💡 6학년 "전체의 몇 퍼센트": $25\%$ 가 빠지면 $75\%$ 가 남고, $108$ 의 $75\%$ 는 $108$ 의 $3/4$, 즉 $81$ 입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 2

소문제 2: 파티에 필요한 쿠키 수는?
참석한 $81$ 명이 한 명당 평균 $2$ 개씩 먹으니 곱합니다.

$$\text{필요 쿠키} = 81 \times 2 = 162 \text{ 개}$$

💡 6학년 단위 비율 계산 — 한 명당 $2$ 개 $\times$ $81$ 명 $=$ $162$ 개.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.RP.A.3 단계 3

소문제 3: $162$ 개를 정확히 채우려면 몇 판이 필요한가?
한 판이 $15$ 개이므로 나눕니다.

$$\dfrac{162}{15} = 10.8 \text{ 판}$$

💡 같은 단위 비율 계산을 반대 방향으로 — 총 쿠키 $\div$ 판당 쿠키 $=$ 필요한 판 수. 소수점 아래 $.8$ 이 "$10$ 판으로는 모자란다" 는 신호입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

소문제 4: 정수 판 수로 올림.
한 판 단위로만 구울 수 있는데 $10$ 판은 $10 \times 15 = 150$ 개로 $162$ 개에 모자라요.
그러니 한 판을 더 구워야 합니다.
$11$ 판은 $11 \times 15 = 165$ 개로 $162$ 개를 여유 있게 덮습니다.

$$10 \times 15 = 150 < 162, \quad 11 \times 15 = 165 \geq 162 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}\ 11$$

💡 4학년 "나머지 해석하기": 남은 부분이 여전히 필요하면 내림이 아니라 올림. $10$ 판은 학생 $12$ 명분이 모자라니 $11$ 판이 정답.

[1] #7 6.RP.A.3 소문제 1: 실제 참석 인원은? $25\%$ 감소이므로 평소 $108$ 명의 $75\%$ 만 옵니다. $108$ 의 $75\%$ 를 계산합니다.

[2] #7 6.RP.A.3 소문제 2: 파티에 필요한 쿠키 수는? 참석한 $81$ 명이 한 명당 평균 $2$ 개씩 먹으니 곱합니다.

[3] #7 6.RP.A.3 소문제 3: $162$ 개를 정확히 채우려면 몇 판이 필요한가? 한 판이 $15$ 개이므로 나눕니다.

[4] #7 4.OA.A.3 소문제 4: 정수 판 수로 올림. 한 판 단위로만 구울 수 있는데 $10$ 판은 $10 \times 15 = 150$ 개로 $162$ 개에 모자

검토

합리성 확인: 빠르게 점검합시다. 참석률이 $1/4$ 줄었으니 $108 - 27 = 81$ — $0.75 \times 108 = 81$ 과 일치. 총 쿠키 $81 \times 2 = 162$ 는 $150$($10$ 판) 과 $165$($11$ 판) 사이에 있으니 답은 반드시 $11$. 선택지 (D) $10$ 이면 $162 - 150 = 12$ 명이 쿠키를 못 받고, (E) $11$ 이면 $165 - 162 = 3$ 개가 남는데 — 올림 후의 작은 잉여로 정확히 들어맞습니다. 더 작은 선택지($6$, $8$, $9$) 는 $162$ 근처에도 못 미쳐 즉시 탈락.

대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기). 선택지부터 거꾸로 점검합니다. $6$ 판 $= 90$ 개, $8$ 판 $= 120$ 개, $9$ 판 $= 135$ 개, $10$ 판 $= 150$ 개 — 모두 $162$ 미만. $11$ 판 $= 165$ 개만 $162$ 의 기준선을 넘으므로 (E) 외에는 답이 없어요. 퍼센트 계산을 먼저 해야 하는 점은 같지만, 더 작은 선택지가 절대 안 된다는 것을 한 줄로 확인할 수 있습니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론을 실세계·수학 문제에 적용하기(퍼센트 문제 포함) ($108$ 의 $75\%$ 로 참석 인원 $81$ 명을 구하고, "한 명당 $2$ 개" 단위 비율로 총 $162$ 개를 구한 뒤, "한 판당 $15$ 개" 비율로 나눠 $10.8$ 판을 얻는 데 사용.)
4.OA.A.3 자연수로 주어진 다단계 문장제 해결하기(나머지 해석 포함) ($10.8$ 판을 $11$ 판으로 올림 — $10$ 판($150$ 개) 으로는 $162$ 개에 모자라므로 한 판을 더 구워야 한다는 "나머지 해석" 단계에 사용.)

⭐ 질문을 차례대로 — $75\% \times 108 = 81$ 명, $81 \times 2 = 162$ 개, $162 \div 15 = 10.8$ 판 — 그리고 $0.8$ 판은 못 구우니 올림해서 $11$ 판, 답은 (E).

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: E

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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