AMC 8 · 2010 · #15
쉬운 모드 학년 6문제
다섯 가지 색깔의 검드롭이 가득 든 병을 떠올려봅시다. 병 안의 검드롭이 모두 몇 개인지는 아직 모르는 상태예요.
대신 색깔별 비율은 알아요. 파란색이 30%, 갈색이 20%, 빨간색이 15%, 노란색이 10% 입니다. 나머지는 모두 초록색인데, 초록색 검드롭은 정확히 30개예요.
이제 파란색 검드롭의 절반을 꺼내고, 그 자리에 같은 개수의 갈색 검드롭을 채워 넣어요.
이렇게 바꾼 뒤, 병 안의 갈색 검드롭은 모두 몇 개일까요?
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AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 한 병에 $5$ 가지 색깔의 구슬껌이 들어 있고 비율은 파란색 $30\%$, 갈색 $20\%$, 빨간색 $15\%$, 노란색 $10\%$, 나머지는 녹색입니다. 녹색은 $30$ 개로 개수가 직접 주어져 있습니다. 파란색의 절반을 갈색으로 바꿔 넣으면, 갈색 구슬껌은 최종적으로 몇 개가 될까요?
주어진 것: 색깔별 비율: 파란색 $30\%$, 갈색 $20\%$, 빨간색 $15\%$, 노란색 $10\%$; 녹색 구슬껌: $30$ 개 (개수가 직접 주어진 유일한 색깔); 처음 파란색 구슬껌의 절반을 갈색으로 교체; 선택지: (A) $35$, (B) $36$, (C) $42$, (D) $48$, (E) $64$
구하는 것: 교체가 끝난 뒤 병에 들어 있는 갈색 구슬껌의 총 개수
이해
문제 재정리: 한 병에 $5$ 가지 색깔의 구슬껌이 들어 있고 비율은 파란색 $30\%$, 갈색 $20\%$, 빨간색 $15\%$, 노란색 $10\%$, 나머지는 녹색입니다. 녹색은 $30$ 개로 개수가 직접 주어져 있습니다. 파란색의 절반을 갈색으로 바꿔 넣으면, 갈색 구슬껌은 최종적으로 몇 개가 될까요?
주어진 것: 색깔별 비율: 파란색 $30\%$, 갈색 $20\%$, 빨간색 $15\%$, 노란색 $10\%$; 녹색 구슬껌: $30$ 개 (개수가 직접 주어진 유일한 색깔); 처음 파란색 구슬껌의 절반을 갈색으로 교체; 선택지: (A) $35$, (B) $36$, (C) $42$, (D) $48$, (E) $64$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #8 단위 살펴보기, #3 가능성 지우기
한 문장 안에 네 개의 작은 작업이 숨어 있어서 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 또렷이 분리합니다 — (a) 녹색의 비율 구하기, (b) 녹색의 비율과 $30$ 개로 전체 개수 구하기, (c) 파란색과 갈색의 비율을 실제 개수로 환산, (d) 교체 계산. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 "전체에 대한 비율" 과 "실제 개수" 가 섞이지 않도록 잡아 줍니다 — $25\%$ 와 $25$ 개는 다릅니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 최종 값을 선택지에 맞춰 보는 AMC 의 안전장치입니다.
실행 — 정답: C
5.NBT.B.7 단계 1 - 첫 번째 작은 문제: 녹색의 비율을 구합니다.
- 이름이 주어진 네 색깔의 합은 $30 + 20 + 15 + 10 = 75\%$ 이고, 다섯 색깔의 합은 $100\%$ 가 되어야 하므로 녹색은 남은 $25\%$ 입니다.
💡 "녹색 비율 구하기" 를 먼저 떼어 내는 것이 도구 #7 의 핵심이고, 계산 자체는 5학년 소수·백분율 사칙연산 범위입니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 두 번째 작은 문제: 전체 개수를 구합니다.
- 전체의 $25\%$ 가 $30$ 개라는 뜻이고, $25\% = \tfrac{25}{100} = \tfrac{1}{4}$ 이므로 "전체 $4$ 개 중 $1$ 개가 녹색" 입니다.
- 따라서 전체는 녹색 개수의 $4$ 배입니다.
💡 $30$ 은 *개수*, $25\%$ 는 *전체에 대한 비율* 임을 구분해서 추적하는 게 도구 #8 의 단위 감각이고, 부분과 비율로 전체를 복원하는 것은 6학년 백분율 추론입니다.
6.RP.A.3 단계 3 - 세 번째 작은 문제: 파란색과 갈색의 비율을 전체 $120$ 개에 적용해 실제 개수로 바꿉니다.
- 각 색깔의 소수 비율을 $120$ 에 곱합니다.
💡 "전체의 몇 %" 를 곱셈으로 옮기는 것이 6학년 비율·백분율의 핵심이며, 도구 #7 은 색깔별로 하나씩 깔끔하게 처리하도록 해 줍니다.
5.NF.B.4 단계 4 - 네 번째 작은 문제: 교체를 수행합니다.
- 파란색 $36$ 개 중 절반인 $18$ 개가 병에서 나가고, 그 자리를 갈색 $18$ 개가 채웁니다.
- 따라서 갈색 개수는 처음 $24$ 개에서 $18$ 개가 늘어납니다.
💡 "$36$ 의 절반" 은 5학년 분수 $\times$ 자연수 그대로이고, 도구 #7 은 앞에서 구해 둔 부분 결과들을 마지막에 합쳐 마무리합니다.
6.RP.A.3 단계 5 - $42$ 를 선택지와 대조하고 나머지를 지웁니다.
- $42$ 는 (C) 에 해당하고, (A) $35$ 와 (B) $36$ 은 "기존 갈색 $24$ 에 $18$ 을 더한 값" 보다 작아서 불가능하며, (D) $48$, (E) $64$ 는 유일한 정답값을 넘어섭니다.
💡 계산한 값을 답안 목록 위에 다시 한 번 올려놓는 것(도구 #3)은 계산 실수를 막는 AMC 의 가벼운 안전장치입니다.
5.NBT.B.7 첫 번째 작은 문제: 녹색의 비율을 구합니다. 이름이 주어진 네 색깔의 합은 $30 + 20 + 15 + 10 = 75\%$ 이고, 다섯 색깔의 6.RP.A.3 두 번째 작은 문제: 전체 개수를 구합니다. 전체의 $25\%$ 가 $30$ 개라는 뜻이고, $25\% = \tfrac{25}{100} = \t 6.RP.A.3 세 번째 작은 문제: 파란색과 갈색의 비율을 전체 $120$ 개에 적용해 실제 개수로 바꿉니다. 각 색깔의 소수 비율을 $120$ 에 곱합니다. 5.NF.B.4 네 번째 작은 문제: 교체를 수행합니다. 파란색 $36$ 개 중 절반인 $18$ 개가 병에서 나가고, 그 자리를 갈색 $18$ 개가 채웁니다. 6.RP.A.3 $42$ 를 선택지와 대조하고 나머지를 지웁니다. $42$ 는 (C) 에 해당하고, (A) $35$ 와 (B) $36$ 은 "기존 갈색 $24$ 검토
합리성 확인: 총합으로 검산합니다. 교체 후에도 병의 총 개수는 $120$ 이어야 합니다 — 파란색 $36 \to 18$, 갈색 $24 \to 42$, 빨간색 $18$, 노란색 $12$, 녹색 $30$. 합계: $18 + 42 + 18 + 12 + 30 = 120$. 총 개수가 보존되고 갈색 $= 42$ 만이 선택지에 들어맞습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) — 녹색의 $25\%$ 가 $30$ 개라면 전체 $= 120$ 으로 추측해 보고, $25\% \times 120 = 30$ 으로 확인. 갈색은 $20\% \times 120 = 24$ 에서 시작해 파란색의 절반 $18$ 을 더하면 $42$. 도구 #13(대수로 바꾸기) 도 가능합니다 — 전체를 $T$ 라 하면 $0.25T = 30 \Rightarrow T = 120$ 이고, $\text{새 갈색} = 0.20T + 0.5(0.30T) = 0.35T = 0.35 \times 120 = 42$. 작은 문제 사슬이 설명하기 더 짧아서 도구 #7 을 우선 골랐습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
5.NBT.B.7소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 (색깔별 백분율을 더하고 빼서 녹색이 $25\%$ 임을 구하는 데 사용 ($30 + 20 + 15 + 10 = 75$, $100 - 75 = 25$).)5.NF.B.4분수와 자연수의 곱셈 (파란색 $36$ 개의 절반 $\tfrac{1}{2} \times 36 = 18$ 개를 교체 대상으로 구하는 데 사용.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결(백분율 문제 포함) ($25\%$ 를 비율로 보고 전체 $120$ 을 복원($30 \div 0.25 = 120$)하고, 파란색·갈색 백분율을 실제 개수로 환산($0.30 \times 120 = 36$, $0.20 \times 120 = 24$)하며, 최종 값을 선택지와 대조하는 데 사용.)
⭐ 녹색이 $25\%$ 이고 그게 $30$ 개라는 사실만 알면, 나머지는 6학년 백분율 추론 — 전체를 구하고, 비율을 개수로 바꾸고, 교체분을 더하기 — 만으로 끝나요.
⭐ 녹색이 $25\%$ 이고 그게 $30$ 개라는 사실만 알면, 나머지는 6학년 백분율 추론 — 전체를 구하고, 비율을 개수로 바꾸고, 교체분을 더하기 — 만으로 끝나요.
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