AMC 8 · 2010 · #9
쉬운 모드 학년 6문제
라이언은 세 번의 시험을 보았어요.
문제 수가 25개인 시험에서는 80%를 맞혔어요. 문제 수가 40개인 시험에서는 90%를 맞혔어요. 문제 수가 10개인 시험에서는 70%를 맞혔어요.
이번에는 세 시험의 문제 전체를 한 묶음으로 본다고 생각해봅시다. 라이언은 이 묶음 전체에서 몇 퍼센트의 문제를 맞혔을까요?
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AMC 8 2010 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 라이언은 시험을 세 번 봤습니다. $25$ 문제짜리 시험에서 $80\%$, $40$ 문제짜리 시험에서 $90\%$, $10$ 문제짜리 시험에서 $70\%$ 를 맞혔습니다. 세 시험의 모든 문제 $75$ 개를 하나로 합쳤을 때, 전체 정답률은 몇 퍼센트일까요?
주어진 것: 시험 1: $25$ 문제 중 $80\%$ 정답; 시험 2: $40$ 문제 중 $90\%$ 정답; 시험 3: $10$ 문제 중 $70\%$ 정답; 선택지: (A) $64$, (B) $75$, (C) $80$, (D) $84$, (E) $86$
구하는 것: 세 시험을 모두 합친 전체 문제에 대한 정답률(%)
이해
문제 재정리: 라이언은 시험을 세 번 봤습니다. $25$ 문제짜리 시험에서 $80\%$, $40$ 문제짜리 시험에서 $90\%$, $10$ 문제짜리 시험에서 $70\%$ 를 맞혔습니다. 세 시험의 모든 문제 $75$ 개를 하나로 합쳤을 때, 전체 정답률은 몇 퍼센트일까요?
주어진 것: 시험 1: $25$ 문제 중 $80\%$ 정답; 시험 2: $40$ 문제 중 $90\%$ 정답; 시험 3: $10$ 문제 중 $70\%$ 정답; 선택지: (A) $64$, (B) $75$, (C) $80$, (D) $84$, (E) $86$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #8 단위 살펴보기
세 시험은 서로 독립된 작은 문제(도구 #7)입니다. 각 시험에서 퍼센트를 "맞힌 문제 수" 라는 실제 개수로 바꿔 둡니다. 세 개의 수가 같은 단위("문제 개수")로 통일되면 더해서 전체와 비교할 수 있습니다. 도구 #8(단위 살펴보기) 은 세 퍼센트를 그대로 평균 내면 안 된다는 점을 일깨워 줍니다 — "퍼센트"는 비율이라 개수처럼 더할 수 없기 때문에 $\tfrac{80 + 90 + 70}{3}$ 은 의미가 없습니다. 먼저 "문제 개수" 라는 공통 단위로 옮긴 다음, 마지막에 다시 퍼센트로 돌아옵니다.
실행 — 정답: D
6.RP.A.3 단계 1 작은 문제 1: 시험 1 에서 $25$ 문제의 $80\%$ 를 맞힌 문제 수로 환산합니다.
💡 어떤 수의 퍼센트를 구하는 것은 6학년 퍼센트 추론이에요 — $25$ 의 $80\%$ 는 $\tfrac{80}{100} \times 25$ 입니다.
5.NBT.B.7 단계 2 작은 문제 2: 시험 2 에서 $40$ 문제의 $90\%$ 를 맞힌 문제 수로 환산합니다.
💡 소수점 둘째 자리까지의 소수에 자연수를 곱하는 것은 5학년 소수 사칙연산 표준 그대로입니다.
5.NBT.B.7 단계 3 작은 문제 3: 시험 3 에서 $10$ 문제의 $70\%$ 를 맞힌 문제 수로 환산합니다.
💡 앞 단계와 같은 소수 곱셈이며, 각 시험이 자기 몫의 자연수 정답 수를 만들어 냅니다.
4.NBT.B.4 단계 4 이제 세 값 모두 "맞힌 문제 수" 라는 같은 단위이므로 더해서 총 정답 수를 구하고, 세 시험의 문항 수를 더해서 전체 문제 수를 구합니다.
💡 개수끼리 더하는 게 가능한 건 미리 퍼센트를 같은 단위로 바꿔 뒀기 때문이에요 — 이게 도구 #8 의 단위 점검 동작입니다.
6.RP.A.3 단계 5 합친 개수를 다시 퍼센트로 바꿉니다: $\tfrac{\text{정답}}{\text{전체}} \times 100\%$.
💡 부분을 전체로 나누어 퍼센트로 표현하는 것은 6학년 비율 추론으로, 첫 단계의 역연산입니다.
6.RP.A.3 작은 문제 1: 시험 1 에서 $25$ 문제의 $80\%$ 를 맞힌 문제 수로 환산합니다. 5.NBT.B.7 작은 문제 2: 시험 2 에서 $40$ 문제의 $90\%$ 를 맞힌 문제 수로 환산합니다. 5.NBT.B.7 작은 문제 3: 시험 3 에서 $10$ 문제의 $70\%$ 를 맞힌 문제 수로 환산합니다. 4.NBT.B.4 이제 세 값 모두 "맞힌 문제 수" 라는 같은 단위이므로 더해서 총 정답 수를 구하고, 세 시험의 문항 수를 더해서 전체 문제 수를 구합니다. 6.RP.A.3 합친 개수를 다시 퍼센트로 바꿉니다: $\tfrac{\text{정답}}{\text{전체}} \times 100\%$. 검토
합리성 확인: 세 퍼센트를 그대로 평균 내는 흔한 오답은 $\tfrac{80 + 90 + 70}{3} = 80\%$, 즉 선택지 (C) 인데, 이게 바로 출제자가 깔아둔 함정입니다. 정답 $84\%$ 가 $80\%$ 보다 높은 이유는 가장 큰 시험($40$ 문제) 의 점수가 가장 높은 $90\%$ 라서 가중평균이 위로 끌려 올라가기 때문입니다. 최댓값 $90\%$ 와 최솟값 $70\%$ 사이에 있고 $90\%$ 쪽으로 기운 결과라 합리적입니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 선택지를 직접 대입해 봅시다. 전체 문제는 $75$ 개이므로 각 퍼센트 후보의 정답 개수는 $\tfrac{p}{100} \times 75$ 입니다. (A) $64\% \to 48$, (B) $75\% \to 56.25$, (C) $80\% \to 60$, (D) $84\% \to 63$, (E) $86\% \to 64.5$. 우리가 구한 $63$ 과 맞는 건 (D) 뿐입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.NBT.B.4여러 자리 자연수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (세 시험의 정답 수($20 + 36 + 7 = 63$) 와 문항 수($25 + 40 + 10 = 75$) 를 더하는 데 사용.)5.NBT.B.7소수점 둘째 자리까지의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 ($0.90 \times 40 = 36$, $0.70 \times 10 = 7$ 같은 소수 곱셈으로 각 시험의 퍼센트를 정답 개수로 환산.)6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 — 어떤 수의 퍼센트 구하기 포함 (퍼센트를 개수로($25$ 의 $80\% = 20$), 다시 개수를 퍼센트로($\tfrac{63}{75} = 84\%$) 바꾸는 — 문제 전체를 떠받치는 퍼센트 추론.)
⭐ 시험마다 문항 수가 다르면 퍼센트를 그대로 평균 내면 안 돼요. 먼저 각 퍼센트를 "맞힌 문제 수" 로 바꿔 다 더한 다음 전체로 나눠야 합니다 — 6학년 퍼센트 추론 그대로예요.
⭐ 시험마다 문항 수가 다르면 퍼센트를 그대로 평균 내면 안 돼요. 먼저 각 퍼센트를 "맞힌 문제 수" 로 바꿔 다 더한 다음 전체로 나눠야 합니다 — 6학년 퍼센트 추론 그대로예요.
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