AMC 8 · 2011 · #11
쉬운 모드 학년 6문제
막대그래프는 아샤와 사샤가 월, 화, 수, 목, 금요일에 각각 몇 분씩 공부했는지 보여줍니다. 아샤의 막대는 검은색, 사샤의 막대는 회색이에요.
그래프를 보고 두 사람이 일주일 동안 공부한 총 시간을 각각 구한 다음, 하루 평균 공부 시간을 각각 구해봅시다.
사샤는 아샤보다 하루 평균 몇 분 더 공부했을까요?
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 월요일부터 금요일까지 $5$일 동안 아샤(짙은 막대)와 사샤(옅은 막대)가 각각 공부한 분 수를 막대그래프로 나타냈습니다. 사샤가 아샤보다 하루 평균 몇 분 더 공부했는지 구하세요.
주어진 것: 월: 아샤 $60$분, 사샤 $70$분; 화: 아샤 $90$분, 사샤 $80$분; 수: 아샤 $100$분, 사샤 $120$분; 목: 아샤 $80$분, 사샤 $110$분; 금: 아샤 $70$분, 사샤 $50$분; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $12$
구하는 것: 하루 평균 차이(사샤 $-$ 아샤), 단위는 분/일
이해
문제 재정리: 월요일부터 금요일까지 $5$일 동안 아샤(짙은 막대)와 사샤(옅은 막대)가 각각 공부한 분 수를 막대그래프로 나타냈습니다. 사샤가 아샤보다 하루 평균 몇 분 더 공부했는지 구하세요.
주어진 것: 월: 아샤 $60$분, 사샤 $70$분; 화: 아샤 $90$분, 사샤 $80$분; 수: 아샤 $100$분, 사샤 $120$분; 목: 아샤 $80$분, 사샤 $110$분; 금: 아샤 $70$분, 사샤 $50$분; 선택지: (A) $6$, (B) $8$, (C) $9$, (D) $10$, (E) $12$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #16 관점 바꾸기
"하루 평균 몇 분 더 공부했나"라는 질문은 사실 두 개의 작은 작업을 붙여 놓은 것입니다 — (1) $5$일 각각에 대해 사샤 $-$ 아샤 를 구하고, (2) 그 $5$개 숫자의 평균을 낸다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 그래프 전체를 한꺼번에 보지 않고 하나씩 깔끔하게 처리할 수 있습니다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 검증용 — 차이의 평균을 내는 대신 두 사람의 주간 총합을 먼저 구해 (총합의 차) $\div 5$ 로 계산하면 같은 값이 나와야 하므로 계산 실수를 잡아냅니다.
실행 — 정답: A
3.MD.B.3 단계 1 - 그래프에서 하루씩 읽어 사샤 $-$ 아샤 를 구합니다.
- "더" 라는 표현이지만 음수도 허용한 채로 두면 계산이 자연스럽습니다.
💡 눈금이 있는 막대그래프를 항목별로 읽어 비교 문제를 푸는 것은 3학년 막대그래프 표준 그대로입니다.
4.NBT.B.4 단계 2 - 다섯 개의 일일 차이를 더합니다.
- 양수와 음수를 묶어서 계산하면 쉬워집니다 — 양수 $10+20+30=60$, 음수 $(-10)+(-20)=-30$.
💡 여러 자리 수를 막힘없이 더하고 빼는 것은 4학년 NBT 표준입니다.
6.SP.B.5 단계 3 - 차이의 합을 일수로 나누면 평균이 나옵니다.
- $5$일이므로 하루 평균 추가 시간은 $30 \div 5$.
💡 작은 자료 집합의 평균 $=$ 합 $\div$ 개수 는 6학년 "대표값(중심)" 정의 그대로입니다.
3.MD.B.3 그래프에서 하루씩 읽어 사샤 $-$ 아샤 를 구합니다. "더" 라는 표현이지만 음수도 허용한 채로 두면 계산이 자연스럽습니다. 4.NBT.B.4 다섯 개의 일일 차이를 더합니다. 양수와 음수를 묶어서 계산하면 쉬워집니다 — 양수 $10+20+30=60$, 음수 $(-10)+(-20)=-3 6.SP.B.5 차이의 합을 일수로 나누면 평균이 나옵니다. $5$일이므로 하루 평균 추가 시간은 $30 \div 5$. 검토
합리성 확인: 다섯 개의 일일 차이는 $-20$ 부터 $+30$ 사이에 흩어져 있으니, 평균은 그 사이 어딘가 — 한 자릿수 양수 — 가 나와야 자연스럽습니다. $12$ 같은 값은 사샤가 매일 우세해야 가능한데, 실제로 화요일과 금요일에는 사샤가 적게 공부했습니다. 그러므로 $6$ 은 자료 모양과도 맞고, 선택지 중에서도 한 자릿수 양수는 (A) 뿐이라 자기 검증과 선택지 검증 모두 통과합니다.
대안 접근: 도구 #16(관점 바꾸기): 차이의 평균을 내는 대신, 각자의 주간 총합을 먼저 구합니다. 아샤 $=60+90+100+80+70=400$ 분, 사샤 $=70+80+120+110+50=430$ 분. 하루 평균은 $400/5=80$ 과 $430/5=86$ 이므로 차이는 $86-80=6$ — 같은 답 (A). 이게 가능한 이유는 "차의 평균 $=$ 평균의 차" 이기 때문입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
3.MD.B.3눈금이 있는 막대그래프를 그리고, 그래프로부터 "얼마나 더 많은가" 같은 1~2단계 문제 해결 (그래프에서 다섯 쌍의 막대 높이를 읽어 요일별 아샤와 사샤의 공부 시간을 추출하는 데 사용.)4.NBT.B.4표준 알고리즘으로 여러 자리 수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 (요일별 차이를 구하고 $10+(-10)+20+30+(-20)=30$ 을 합산하는 데 사용.)6.SP.B.5자료 집합을 관측 수와 대표값(평균 등)으로 요약하기 (총 차이 $30$ 분을 $5$ 일로 나누어 하루 평균 차이 $6$ 분을 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 "평균 $=$ 합 $\div$ 개수" — 더하고 나누는 것만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 6학년 "평균 $=$ 합 $\div$ 개수" — 더하고 나누는 것만 알면 풀 수 있어요!
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