AMC 8 · 2011 · #18
쉬운 모드 학년 7문제
공정한 정육면체 주사위를 두 번 연달아 굴린다고 생각해봅시다.
첫 번째로 나온 눈과 두 번째로 나온 눈을 비교해요.
첫 번째 눈이 두 번째 눈보다 크거나 같을 확률은 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 공정한 $6$ 면체 주사위를 두 번 굴려서 나온 순서쌍 (첫 번째 눈, 두 번째 눈) 을 기록합니다. 첫 번째 눈이 두 번째 눈보다 크거나 같을 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 공정한 $6$ 면체 주사위를 두 번 독립적으로 굴림; 각 주사위는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 중 하나를 같은 확률로 보임; 순서가 중요함: 결과는 순서쌍 (첫 번째 눈, 두 번째 눈); 선택지: (A) $\tfrac{1}{6}$, (B) $\tfrac{5}{12}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{7}{12}$, (E) $\tfrac{5}{6}$
구하는 것: 첫 번째 눈 $\ge$ 두 번째 눈 일 확률
이해
문제 재정리: 공정한 $6$ 면체 주사위를 두 번 굴려서 나온 순서쌍 (첫 번째 눈, 두 번째 눈) 을 기록합니다. 첫 번째 눈이 두 번째 눈보다 크거나 같을 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 공정한 $6$ 면체 주사위를 두 번 독립적으로 굴림; 각 주사위는 $1, 2, 3, 4, 5, 6$ 중 하나를 같은 확률로 보임; 순서가 중요함: 결과는 순서쌍 (첫 번째 눈, 두 번째 눈); 선택지: (A) $\tfrac{1}{6}$, (B) $\tfrac{5}{12}$, (C) $\tfrac{1}{2}$, (D) $\tfrac{7}{12}$, (E) $\tfrac{5}{6}$
계획
주요 도구: #2 대칭성 찾기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 체계적으로 목록 만들기
표본 공간은 순서쌍 $(a, b)$ 로 이루어진 $6 \times 6$ 격자이고, 총 $36$ 가지 결과가 같은 확률로 나옵니다. 도구 #2(대칭성 찾기) 의 핵심은 $(a, b) \mapsto (b, a)$ 라는 자리 바꾸기입니다 — 이 대응은 "첫 번째 $>$ 두 번째" 결과와 "첫 번째 $<$ 두 번째" 결과를 일대일로 짝지어 주므로 두 사건의 개수가 같아집니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 "첫 번째 $\ge$ 두 번째" 사건을 강한 부등식 $a > b$ 와 동점 $a = b$ 라는 서로 겹치지 않는 두 조각으로 나눠서 각각 세고 더하게 해 줍니다. 도구 #3(체계적으로 목록 만들기) 은 작은 부분 — 동점 $(k, k)$ 의 $6$ 가지 — 을 직접 나열하는 데 쓰이고, Review 단계의 전수 세기 대안 풀이에서도 같은 방식으로 등장합니다.
실행 — 정답: D
7.SP.C.8 단계 1 - 표본 공간을 설정합니다.
- 두 번의 굴림은 서로 독립이고 각각 $\{1, \dots, 6\}$ 위에서 균등하므로, 순서쌍 $(a, b)$ 가 가지는 값은 $6 \times 6 = 36$ 가지이고 모두 같은 확률입니다.
💡 복합 사건의 표본 공간을 순서쌍으로 나열하는 것은 7학년 "두 단계 실험의 확률" 표준 그대로입니다.
7.SP.C.8 단계 2 - 목표 사건을 서로 겹치지 않는 두 조각으로 쪼갭니다.
- $a \ge b$ 는 $a > b$ 와 $a = b$ 의 합집합이고 겹치는 부분이 없으므로 $P(a \ge b) = P(a > b) + P(a = b)$ 입니다.
💡 사건을 서로 겹치지 않는 부분 사건으로 나누어 각각 세고 더하는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 동작입니다.
7.SP.C.7 단계 3 - 동점 결과를 셉니다.
- $a = b$ 인 순서쌍은 $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ 의 $6$ 가지입니다.
💡 $6 \times 6$ 격자의 대각선만 나열하면 되는 것은 7학년 균등 확률 모델 위에서의 단순한 결과 세기입니다.
7.SP.C.8 단계 4 - 동점이 아닌 결과들에 대칭성을 적용합니다.
- 남은 $36 - 6 = 30$ 개의 순서쌍은 $a \ne b$ 이고, 자리 바꾸기 $(a, b) \mapsto (b, a)$ 는 $a > b$ 인 순서쌍을 $a < b$ 인 순서쌍과 일대일로 짝짓는 전단사입니다.
- 따라서 두 사건의 개수가 같고, 각각 $30$ 의 절반입니다.
💡 두 역할이 똑같이 다뤄지는 문제에서 두 역할을 바꾸어도 개수가 같다는 것이 도구 #2(대칭성 찾기) 의 핵심입니다.
7.SP.C.7 단계 5 두 조각을 더한 뒤 표본 공간 크기로 나누어 확률을 구합니다.
💡 균등 표본 공간에서 "유리한 결과 수 $\div$ 전체 결과 수" 가 확률이라는 것은 7학년 확률의 정의입니다.
7.SP.C.8 표본 공간을 설정합니다. 두 번의 굴림은 서로 독립이고 각각 $\{1, \dots, 6\}$ 위에서 균등하므로, 순서쌍 $(a, b)$ 가 가지 7.SP.C.8 목표 사건을 서로 겹치지 않는 두 조각으로 쪼갭니다. $a \ge b$ 는 $a > b$ 와 $a = b$ 의 합집합이고 겹치는 부분이 없으므로 7.SP.C.7 동점 결과를 셉니다. $a = b$ 인 순서쌍은 $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ 의 $6$ 가지입니 7.SP.C.8 동점이 아닌 결과들에 대칭성을 적용합니다. 남은 $36 - 6 = 30$ 개의 순서쌍은 $a \ne b$ 이고, 자리 바꾸기 $(a, b) \m 7.SP.C.7 두 조각을 더한 뒤 표본 공간 크기로 나누어 확률을 구합니다. 검토
합리성 확인: 동점이 없다면 대칭성에 의해 $P(a > b) = P(a < b) = \tfrac{1}{2} \cdot P(a \ne b)$ 가 됩니다. 따라서 $P(a \ge b) = P(a > b) + P(a = b) = \tfrac{1}{2}(1 - P(a = b)) + P(a = b) = \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} P(a = b)$ 이고, $P(a = b) = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$ 을 대입하면 $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{12} = \tfrac{7}{12}$ 로 (D) 와 일치합니다. 또한 강한 부등식의 대칭 확률 위에 동점이 더해지므로 답이 $\tfrac{1}{2}$ 보다 커야 하고, 이로부터 (A), (B), (C) 는 모두 제외됩니다.
대안 접근: 도구 #3(체계적으로 목록 만들기): 두 번째 눈 $b$ 를 고정하고 $a \ge b$ 를 만족하는 $a$ 의 개수를 셉니다. $b = 1$ 이면 $6$ 가지, $b = 2$ 이면 $5$ 가지, $b = 3$ 이면 $4$ 가지, $\ldots$, $b = 6$ 이면 $1$ 가지입니다. 유리한 결과 수는 $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$ 이므로 확률은 $\tfrac{21}{36} = \tfrac{7}{12}$ 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
7.SP.C.7확률 모델을 만들고 사건의 확률을 구하기 ($36$ 개 순서쌍 위의 균등 확률 모델을 이용해 동점 사건과 최종 답 모두를 $P(\text{사건}) = \dfrac{\text{유리한 결과 수}}{36}$ 로 계산하는 데 사용.)7.SP.C.8정리된 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (두 번의 주사위 굴림을 $6 \times 6$ 표본 공간 위의 복합 사건으로 다루고, 사건 $a \ge b$ 를 서로 겹치지 않는 부분 사건 $a > b$ 와 $a = b$ 로 분해하는 데 사용.)
⭐ 두 번의 주사위 굴림에는 "자리 바꾸기" 대칭이 숨어 있어요 — $a > b$ 와 $a < b$ 가 같은 횟수로 일어나니, 동점 $6$ 가지만 위에 더해 주면 끝입니다.
⭐ 두 번의 주사위 굴림에는 "자리 바꾸기" 대칭이 숨어 있어요 — $a > b$ 와 $a < b$ 가 같은 횟수로 일어나니, 동점 $6$ 가지만 위에 더해 주면 끝입니다.
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