AMC 8 · 2005 · #21

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

combinations-basiccomplementary-countingsystematic-enumeration complementary-countingcasework ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

How many distinct triangles can be drawn using three of the dots below as vertices?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2005 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $6$ 개의 점이 $2 \times 3$ 격자(위 줄 $3$ 점, 아래 줄 $3$ 점)로 놓여 있습니다. 이 $6$ 개의 점 중 $3$ 개를 꼭짓점으로 골라 만들 수 있는 서로 다른 삼각형은 몇 개일까요?

주어진 것: $6$ 개의 점이 격자 위에 있다: 위 줄은 $(0,1), (1,1), (2,1)$, 아래 줄은 $(0,0), (1,0), (2,0)$; 삼각형은 $6$ 개의 점 중 임의의 $3$ 점을 꼭짓점으로 골라 만든다; 세 점이 한 직선 위에 있으면 삼각형이 되지 않는다(퇴화된 경우); 선택지: (A) $9$, (B) $12$, (C) $18$, (D) $20$, (E) $24$

구하는 것: (퇴화되지 않은) 서로 다른 삼각형의 개수

이해

계획

주요 도구: #16 관점 바꾸기

보조 도구: #1 그림 그리기, #2 빠짐없이 나열하기

삼각형이 되는 경우만 직접 세려면 모든 세 점 묶음에 대해 일일이 일직선 여부를 확인해야 해서 경우의 수가 많습니다. 반대로 "삼각형이 안 되는 경우"는 훨씬 적어요. $3$ 점 묶음 중 일직선인 것만 빼면 되니까요. 그래서 도구 #16(관점 바꾸기/여집합 세기)이 잘 맞습니다 — 전체 묶음을 세고, 안 좋은 묶음만 빼는 거죠. 도구 #1(그림 그리기)을 같이 쓰면 $2 \times 3$ 격자를 그렸을 때 $3$ 점이 일직선 위에 놓이는 경우(두 가로줄)가 한눈에 보이고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 대각선·세로줄까지 빠짐없이 확인합니다.

실행 — 정답: C

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 1

$6$ 개의 점에서 $3$ 개를 고르는 모든 방법의 수를 셉니다.
첫째, 둘째, 셋째를 순서대로 뽑은 뒤 같은 묶음의 $3! = 6$ 가지 순서를 나눠줍니다.

$$\dbinom{6}{3} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \dfrac{120}{6} = 20$$

💡 여집합 전략의 "전체"에 해당합니다 — 가능한 모든 $3$ 점 묶음, 삼각형이 되든 안 되든.

#1 그림 그리기 5.G.A.1 단계 2

$2 \times 3$ 격자를 그려 보고, $3$ 점이 한 직선 위에 놓이는 경우를 찾습니다.
점들이 $(0,0), (1,0), (2,0), (0,1), (1,1), (2,1)$ 에 있으니 후보는 가로줄, 세로줄, 대각선뿐입니다.

$$\begin{array}{c} \bullet \;\; \bullet \;\; \bullet \\ \bullet \;\; \bullet \;\; \bullet \end{array}$$

💡 그림을 그리면 일직선 묶음이 한눈에 들어옵니다 — 가로줄 두 개가 바로 보이죠.

#2 빠짐없이 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

$3$ 점을 지나는 직선을 가로줄, 세로줄, 대각선 순서로 나열합니다.
세로줄은 각 줄에 점이 $2$ 개뿐이라 $3$ 점이 모이지 않습니다.
대각선도 격자가 $2$ 줄밖에 안 되니 한 대각선 위에 최대 $2$ 점만 놓입니다.
결국 후보는 두 가로줄뿐입니다.

$$\begin{array}{l} \text{위 줄: } \{(0,1),(1,1),(2,1)\} \\ \text{아래 줄: } \{(0,0),(1,0),(2,0)\} \\ \text{세로줄: 점이 } 2 \text{ 개씩 — 제외} \\ \text{대각선: 점이 최대 } 2 \text{ 개 — 제외} \end{array}$$

💡 가로 $\to$ 세로 $\to$ 대각선 순으로 훑으면 일직선 묶음을 빠뜨리지도, 두 번 세지도 않습니다.

#16 관점 바꾸기 7.SP.C.8 단계 4

전체에서 일직선 묶음을 뺍니다.
일직선 묶음은 두 가로줄, 즉 $2$ 개이고, 각각은 "평평한 삼각형" — 사실은 그냥 선분 — 입니다.

$$20 - 2 = 18 \;\Rightarrow\; \textbf{(C)}$$

💡 여집합 세기: 좋은 경우 $=$ 전체 $-$ 안 좋은 경우. 안 좋은 묶음 $2$ 개를 빼면 $20$ 가지 중 $18$ 개가 진짜 삼각형.

[1] #16 7.SP.C.8 $6$ 개의 점에서 $3$ 개를 고르는 모든 방법의 수를 셉니다. 첫째, 둘째, 셋째를 순서대로 뽑은 뒤 같은 묶음의 $3! = 6$ 가지 순서

[2] #1 5.G.A.1 $2 \times 3$ 격자를 그려 보고, $3$ 점이 한 직선 위에 놓이는 경우를 찾습니다. 점들이 $(0,0), (1,0), (2,0), (

[3] #2 7.SP.C.8 $3$ 점을 지나는 직선을 가로줄, 세로줄, 대각선 순서로 나열합니다. 세로줄은 각 줄에 점이 $2$ 개뿐이라 $3$ 점이 모이지 않습니다. 대

[4] #16 7.SP.C.8 전체에서 일직선 묶음을 뺍니다. 일직선 묶음은 두 가로줄, 즉 $2$ 개이고, 각각은 "평평한 삼각형" — 사실은 그냥 선분 — 입니다.

검토

합리성 확인: 경우 나누기로 직접 확인해 봅시다. 진짜 삼각형은 위 줄에서 적어도 $1$ 점, 아래 줄에서 적어도 $1$ 점을 가져야 합니다(아니면 모두 한 줄에 있어 일직선). 경우 $1$: 위 줄에서 $1$ 점, 아래 줄에서 $2$ 점. 가짓수 $\binom{3}{1} \cdot \binom{3}{2} = 3 \cdot 3 = 9$. 경우 $2$: 위 줄에서 $2$ 점, 아래 줄에서 $1$ 점. 대칭이므로 마찬가지로 $9$. 합 $= 9 + 9 = 18$ 으로 답 (C) 와 일치합니다. 여집합 방식과 경우 나누기 방식이 같은 답을 주므로 결과를 믿을 수 있습니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 곧장 셀 수도 있습니다. $3$ 점이 두 줄에 어떻게 나뉘는지 기준으로 분류 — 아래 줄에 $0$ 점(=모두 위 줄) $\to$ 일직선이라 제외. 아래 줄에 $3$ 점 $\to$ 일직선이라 제외. 위 $1$ + 아래 $2 \to 3 \cdot 3 = 9$. 위 $2$ + 아래 $1 \to 3 \cdot 3 = 9$. 합 $= 18$ — 이항계수 없이도 같은 답 (C) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.SP.C.8 정리된 목록·표·나뭇가지 그림·시뮬레이션을 이용해 복합 사건의 확률 구하기 ($\binom{6}{3} = 20$ 가지 $3$ 점 묶음을 세고 일직선 묶음을 따로 나열해 빼는 데 사용 — $7$ 학년 복합 사건 세기와 같은 원리.)
5.G.A.1 수직인 두 수직선(축)으로 좌표계를 정의하고, 첫 수는 가로축, 둘째 수는 세로축에서의 위치를 나타냄을 이해하기 ($6$ 개의 점을 $(0,0), (1,0), (2,0), (0,1), (1,1), (2,1)$ 에 두고 가로줄·세로줄·대각선을 살펴 일직선 여부를 확인하는 데 사용.)

⭐ $3$ 점을 고르는 거의 모든 경우가 삼각형이 되고 안 되는 경우가 적을 때는, 전체를 세고 안 되는 것만 빼는 게 빠릅니다 — 여기서도 $\binom{6}{3} = 20$ 에서 일직선인 두 가로줄을 빼면 $18$ 개의 진짜 삼각형이 남아요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: C

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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