AMC 8 · 2011 · #8
쉬운 모드 학년 3문제
칩이 들어 있는 주머니 두 개를 떠올려봅시다.
A 주머니에는 칩이 세 개 있고, 1, 3, 5가 각각 적혀 있어요.
B 주머니에도 칩이 세 개 있고, 2, 4, 6이 각각 적혀 있어요.
A 주머니에서 칩 하나, B 주머니에서 칩 하나를 뽑아 두 수를 더합니다. 나올 수 있는 합은 모두 몇 가지일까요?
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AMC 8 2011 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: A 주머니에는 $1$, $3$, $5$ 이 적힌 칩 세 개, B 주머니에는 $2$, $4$, $6$ 이 적힌 칩 세 개가 들어 있습니다. 각 주머니에서 칩을 하나씩 꺼내 두 수를 더할 때, 서로 다른 합은 모두 몇 가지인가요?
주어진 것: A 주머니 $= \{1, 3, 5\}$ (모두 홀수); B 주머니 $= \{2, 4, 6\}$ (모두 짝수); 각 주머니에서 칩을 하나씩 꺼내 두 수를 더함; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $9$
구하는 것: $a \in \{1,3,5\}$, $b \in \{2,4,6\}$ 일 때 가능한 합 $a + b$ 의 서로 다른 값의 개수
이해
문제 재정리: A 주머니에는 $1$, $3$, $5$ 이 적힌 칩 세 개, B 주머니에는 $2$, $4$, $6$ 이 적힌 칩 세 개가 들어 있습니다. 각 주머니에서 칩을 하나씩 꺼내 두 수를 더할 때, 서로 다른 합은 모두 몇 가지인가요?
주어진 것: A 주머니 $= \{1, 3, 5\}$ (모두 홀수); B 주머니 $= \{2, 4, 6\}$ (모두 짝수); 각 주머니에서 칩을 하나씩 꺼내 두 수를 더함; 선택지: (A) $4$, (B) $5$, (C) $6$, (D) $7$, (E) $9$
계획
주요 도구: #11 표 만들기
보조 도구: #1 규칙 찾기
각 주머니에서 칩을 하나씩 뽑는 방법은 $3 \times 3 = 9$ 가지뿐이므로, 도구 #11(표 만들기)로 $3 \times 3$ 덧셈표를 그리면 모든 합이 한눈에 보이고 빠뜨릴 일이 없습니다. 그다음 도구 #1(규칙 찾기)로 구조를 봅니다 — 홀수 $+$ 짝수는 항상 홀수이고, 가장 작은 합($1+2=3$)부터 가장 큰 합($5+6=11$)까지 일정한 간격으로 늘어서므로 서로 다른 합은 $3, 5, 7, 9, 11$ 이 됩니다.
실행 — 정답: B
3.OA.A.1 단계 1 - 왼쪽에 A 주머니의 값, 위쪽에 B 주머니의 값을 두고 $3 \times 3$ 덧셈표를 만듭니다.
- 각 칸에는 그 행과 열에 대응하는 합 $a + b$ 를 적습니다.
💡 "한 집합의 각 원소와 다른 집합의 각 원소를 짝짓기" 를 정리하는 3학년식 방법이 덧셈표입니다 — 가능한 모든 쌍이 정확히 한 칸을 차지합니다.
3.OA.D.9 단계 2 - 표에서 9개의 합을 읽으면 $3, 5, 7, 5, 7, 9, 7, 9, 11$ 입니다.
- 같은 값이 여러 번 나오는데 — 예를 들어 $1+4 = 3+2 = 5$ 이고 $1+6 = 3+4 = 5+2 = 7$ 입니다.
- 문제는 "서로 다른" 합을 묻고 있으므로 중복을 정리합니다.
💡 합이 일정한 규칙으로 반복된다는 것 — 그리고 서로 다른 합이 3학년 등차 패턴을 이룬다는 것 — 을 알아차리는 것이 도구 #1(규칙 찾기) 의 핵심 동작입니다.
3.OA.A.1 단계 3 - 서로 다른 합의 집합 $\{3, 5, 7, 9, 11\}$ 에 들어 있는 수의 개수를 셉니다.
- 다섯 개이므로 가능한 서로 다른 합은 $5$ 가지입니다.
💡 덧셈표에 등장하는 서로 다른 값의 개수를 세는 것도 3학년 곱셈의 "같은 묶음" 모형에서 항목을 세는 동작과 같습니다.
3.OA.A.1 왼쪽에 A 주머니의 값, 위쪽에 B 주머니의 값을 두고 $3 \times 3$ 덧셈표를 만듭니다. 각 칸에는 그 행과 열에 대응하는 합 $a + 3.OA.D.9 표에서 9개의 합을 읽으면 $3, 5, 7, 5, 7, 9, 7, 9, 11$ 입니다. 같은 값이 여러 번 나오는데 — 예를 들어 $1+4 = 3.OA.A.1 서로 다른 합의 집합 $\{3, 5, 7, 9, 11\}$ 에 들어 있는 수의 개수를 셉니다. 다섯 개이므로 가능한 서로 다른 합은 $5$ 가지 검토
합리성 확인: A 주머니의 칩은 모두 홀수, B 주머니의 칩은 모두 짝수라서 합은 언제나 홀수입니다. 가장 작은 합은 $1+2=3$, 가장 큰 합은 $5+6=11$ 이고, 그 사이 홀수는 $3, 5, 7, 9, 11$ — 정확히 다섯 개입니다. 각 값이 실제로 만들어집니다 (예: $3=1+2$, $5=1+4$, $7=1+6$, $9=3+6$, $11=5+6$). 빠진 값도, 추가된 값도 없으므로 답 (B) $= 5$ 가 맞습니다.
대안 접근: 도구 #1(규칙 찾기) 만으로도 풀 수 있습니다. 가장 작은 합 $1+2=3$, 가장 큰 합 $5+6=11$, 모든 합은 홀수 $+$ 짝수 $=$ 홀수입니다. $3$ 부터 $11$ 까지의 홀수는 $3, 5, 7, 9, 11$ 의 등차수열을 이루고, 각각이 실제로 만들어진다는 점만 확인하면 표 전체를 그리지 않고도 서로 다른 합이 $5$ 개임을 알 수 있습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
3.OA.A.1자연수의 곱을 같은 묶음 모형으로 해석 ($3 \times 3 = 9$ 칸짜리 덧셈표가 (A 주머니, B 주머니) 의 모든 쌍을 정확히 한 번씩 나열함을 인식하고, 표에 등장하는 서로 다른 합 $5$ 개를 세는 데 사용.)3.OA.D.9산술 패턴을 찾아 연산의 성질로 설명 (홀수 $+$ 짝수 $=$ 홀수, 그리고 서로 다른 합 $3, 5, 7, 9, 11$ 이 일정한 등차 패턴을 이룬다는 점을 관찰하여 중복을 정리하는 근거로 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 때 배운 덧셈표·패턴·세기만 있으면 풀 수 있어요!
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