AMC 8 · 2012 · #7
쉬운 모드 학년 6문제
이사벨라는 수학 시험을 네 번 봅니다. 한 시험의 만점은 100 점입니다.
이사벨라는 네 시험의 평균을 정확히 95 점으로 만들고 싶어 합니다. 첫 두 번의 시험에서 받은 점수는 97 점과 91 점이었습니다. 세 번째 시험까지 본 뒤 점수를 확인했더니, 네 번째 시험을 잘 본다면 아직도 평균 95 점을 만들 수 있다는 걸 알았습니다.
세 번째 시험 점수가 가장 낮아도 얼마였어야 평균 95 점이 가능할까요?
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AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 이사벨라는 만점이 $100$ 점인 시험 네 개를 봅니다. 네 시험 평균을 $95$ 점으로 만드는 게 목표예요. 첫 두 시험 점수는 $97$ 점과 $91$ 점이었고, 세 번째 시험 점수를 본 뒤에도 목표가 여전히 가능하다는 걸 알았습니다. 세 번째 시험에서 받을 수 있었던 가장 낮은 점수는 얼마일까요?
주어진 것: 시험은 모두 네 번, 한 시험의 만점은 $100$ 점; 네 시험의 목표 평균 $= 95$ 점; 1번 시험 점수 $= 97$; 2번 시험 점수 $= 91$; 3번 시험을 본 뒤에도 목표 달성이 여전히 가능함; 선택지: (A) $90$, (B) $92$, (C) $95$, (D) $96$, (E) $97$
구하는 것: 3번 시험에서 받을 수 있었던 가장 낮은 점수
이해
문제 재정리: 이사벨라는 만점이 $100$ 점인 시험 네 개를 봅니다. 네 시험 평균을 $95$ 점으로 만드는 게 목표예요. 첫 두 시험 점수는 $97$ 점과 $91$ 점이었고, 세 번째 시험 점수를 본 뒤에도 목표가 여전히 가능하다는 걸 알았습니다. 세 번째 시험에서 받을 수 있었던 가장 낮은 점수는 얼마일까요?
주어진 것: 시험은 모두 네 번, 한 시험의 만점은 $100$ 점; 네 시험의 목표 평균 $= 95$ 점; 1번 시험 점수 $= 97$; 2번 시험 점수 $= 91$; 3번 시험을 본 뒤에도 목표 달성이 여전히 가능함; 선택지: (A) $90$, (B) $92$, (C) $95$, (D) $96$, (E) $97$
계획
주요 도구: #11 거꾸로 풀기
보조 도구: #16 관점 바꾸기, #7 작은 문제로 쪼개기
최종 결과(평균 $= 95$)에서 출발해 세 번째 점수를 거슬러 올라가 구하는 구조라 도구 #11(거꾸로 풀기)가 딱 맞습니다. 평균을 필요한 총합($380$)으로 바꾸고, 이미 안 두 점수를 떼어내면 $T_3 + T_4$ 의 최소값이 보입니다. 그다음 핵심은 "$T_3$ 의 최솟값을 찾으려면 $T_4$ 를 최댓값으로 밀어라" 라는 관점 전환 — 이게 도구 #16(관점 바꾸기) 입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 풀이를 (a) 네 시험에 필요한 총점, (b) 1·2번을 빼고 남는 양, (c) $T_4$ 가 최대일 때 $T_3$ 의 최솟값 세 조각으로 깔끔하게 분리해 줍니다.
실행 — 정답: B
6.SP.B.5 단계 1 - 평균에서 거꾸로 출발합니다.
- 네 시험 평균이 $95$ 라는 건 네 점수의 합이 $95 \times 4 = 380$ 이라는 뜻이에요.
- 따라서 네 점수의 합은 최소 $380$ 이어야 합니다.
💡 평균은 "총합 $\div$ 개수" 이므로 거꾸로 곱하면 총합이 나옵니다 — 6학년 통계 그대로입니다.
4.NBT.B.4 단계 2 - 이미 안 두 점수를 빼서, 3번과 4번 시험이 합쳐서 얼마를 더 채워야 하는지를 구합니다.
- 이게 "남은 두 점수의 합" 이라는 작은 문제입니다.
💡 네 점수를 "이미 안 점수" 와 "아직 모르는 점수" 로 나누는 게 도구 #7 의 핵심 동작이고, 남는 뺄셈은 4학년 다자릿수 계산입니다.
6.EE.B.8 단계 3 - 관점을 바꿉니다.
- $T_3$ 자체를 직접 작게 만들기는 어렵지만, $T_3 + T_4 \ge 192$ 에서 $T_4$ 를 가능한 한 크게 두면 $T_3$ 는 그만큼 작아질 수 있어요.
- $T_4$ 의 최댓값은 $100$ 점입니다.
💡 $T_3$ 를 직접 줄이는 대신 *상대편* $T_4$ 를 최대로 — 이렇게 시선을 옮기는 게 도구 #16(관점 바꾸기) 입니다. $T_4 \le 100$ 은 간단한 부등식 제약입니다.
6.EE.B.8 단계 4 - $T_4 = 100$ 을 $T_3 + T_4 \ge 192$ 에 대입하고 $T_3$ 에 대해 정리합니다.
- 이때 나오는 값이 평균 $95$ 가 여전히 가능하게 하는, 3번 시험의 최저 점수예요.
💡 양변에서 $100$ 을 빼는 마지막 "거꾸로" 동작이 3번 시험의 최저점을 곧장 알려 줍니다.
6.SP.B.5 평균에서 거꾸로 출발합니다. 네 시험 평균이 $95$ 라는 건 네 점수의 합이 $95 \times 4 = 380$ 이라는 뜻이에요. 따라서 네 4.NBT.B.4 이미 안 두 점수를 빼서, 3번과 4번 시험이 합쳐서 얼마를 더 채워야 하는지를 구합니다. 이게 "남은 두 점수의 합" 이라는 작은 문제입니다. 6.EE.B.8 관점을 바꿉니다. $T_3$ 자체를 직접 작게 만들기는 어렵지만, $T_3 + T_4 \ge 192$ 에서 $T_4$ 를 가능한 한 크게 두면 6.EE.B.8 $T_4 = 100$ 을 $T_3 + T_4 \ge 192$ 에 대입하고 $T_3$ 에 대해 정리합니다. 이때 나오는 값이 평균 $95$ 가 여 검토
합리성 확인: 확인해 봅시다. $T_3 = 92$ 이고 $T_4 = 100$ 이라면 네 점수는 $97, 91, 92, 100$ 으로 합이 정확히 $380$ — 평균 $95$ 에 딱 맞습니다. 만약 $T_3 = 91$ 이었다면 $T_4 = 100$ 이어도 $97 + 91 + 91 + 100 = 379 < 380$ 이라 평균 $95$ 가 불가능해져요. 따라서 $92$ 가 정말로 가능한 가장 낮은 3번 점수입니다. 답 (B) 가 맞습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 작은 선택지부터 직접 대입해 봅시다. (A) $90$: 가장 좋은 경우 합이 $97 + 91 + 90 + 100 = 378 < 380$ — 실패. (B) $92$: 가장 좋은 경우 합이 $97 + 91 + 92 + 100 = 380$ — 통과. 따라서 목표를 여전히 가능하게 만드는 가장 작은 선택지는 (B) $92$ 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
4.NBT.B.4다자릿수 자연수의 덧셈과 뺄셈을 능숙하게 수행 ($380 - 97 - 91 = 192$ 를 계산하여 3번·4번 시험이 함께 채워야 할 점수를 구함.)6.SP.B.5수치 자료를 문맥에 맞게 요약 — 중심 경향성(평균 등) 포함 (목표 평균 $95$ 를 네 시험의 필요 총점 $95 \times 4 = 380$ 으로 환산.)6.EE.B.8$x > c$ 또는 $x < c$ 형태의 부등식으로 제약 조건을 표현 ($T_3 + T_4 \ge 192$ 와 $T_4 \le 100$ 을 세우고, 목표가 여전히 가능한 $T_3$ 의 최솟값을 풀어냄.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배운 "평균 = 총합 $\div$ 개수" 와 간단한 부등식만 알면 풀려요 — 한쪽 점수를 최대로 밀면 다른 쪽의 최소가 보입니다!
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 때 배운 "평균 = 총합 $\div$ 개수" 와 간단한 부등식만 알면 풀려요 — 한쪽 점수를 최대로 밀면 다른 쪽의 최소가 보입니다!
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