AMC 8 · 2013 · #19

쉬운 모드 학년 6

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문제

브리짓, 캐시, 한나가 방금 수학 시험지를 돌려받았어요. 세 사람의 점수는 모두 달라요.

한나는 자기 점수를 브리짓과 캐시에게 보여줍니다. 하지만 브리짓과 캐시는 각자 자기 점수를 누구에게도 보여주지 않아요.

그러고 나서 두 사람이 이렇게 말합니다:

캐시: "나는 우리 반에서 최저점을 받지 않았어."
브리짓: "나는 최고점을 받지 않았어."

각 말은 참이고, 자기가 아는 정보만으로 확실히 알 수 있어서 말한 거예요.

세 사람의 점수를 높은 순서부터 낮은 순서로 나열하면 어떻게 될까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

Hannah, Cassie, Bridget

(B)

Hannah, Bridget, Cassie

(C)

Cassie, Bridget, Hannah

(D)

Cassie, Hannah, Bridget

(E)

Bridget, Cassie, Hannah

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한나(Hannah), 브리짓(Bridget), 캐시(Cassie)가 시험을 봤습니다. 한나는 자기 점수를 두 친구에게 보여 줬지만, 브리짓과 캐시는 자기 점수를 누구에게도 보여 주지 않았습니다. 이때 캐시가 "나는 최저점이 아니야" 라고 말하고, 브리짓이 "나는 최고점이 아니야" 라고 말합니다. 각 진술은 말하는 사람이 *실제로 볼 수 있는 정보만으로* 확신할 수 있는 것이어야 합니다. 세 사람의 점수를 높은 순서부터 낮은 순서로 나열하세요.

주어진 것: 캐시와 브리짓은 각각 한나의 점수 $H$ 를 본다; 캐시는 브리짓의 점수 $B$ 를 모르고, 브리짓은 캐시의 점수 $C$ 를 모른다; 캐시의 확신: 자기 점수가 셋 중 최저는 아니다; 브리짓의 확신: 자기 점수가 셋 중 최고는 아니다; 선택지: (A) Hannah, Cassie, Bridget; (B) Hannah, Bridget, Cassie; (C) Cassie, Bridget, Hannah; (D) Cassie, Hannah, Bridget; (E) Bridget, Cassie, Hannah

구하는 것: 높은 점수부터 낮은 점수까지의 순위

이해

계획

주요 도구: #3 가능성 지우기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

각 친구의 진술은 자기가 실제로 볼 수 있는 *두 명짜리 쌍* 에만 직접 정보를 줍니다 — 캐시는 $(C, H)$, 브리짓은 $(B, H)$. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 셋이 한꺼번에 얽힌 문제를 두 개의 "두 명 비교" 부분 문제로 갈라 풀고, 각 부분 문제에서는 도구 #3(가능성 지우기)으로 보이는 쌍의 두 가지 가능한 순서 중 "화자가 확신할 수 없는 쪽" 을 제거합니다. 살아남은 두 부등식이 한나를 공유 항으로 두고 있으므로, 둘을 이어 붙이면 세 명 전체의 순서가 자연스럽게 나옵니다 — 대수(도구 #13)는 전혀 필요 없습니다.

실행 — 정답: D

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 1

부분 문제 1: 캐시의 진술은 $C$ 와 $H$ 의 대소에 대해 무엇을 알려 줄까요?
캐시가 자기 점수 외에 볼 수 있는 점수는 한나의 점수뿐입니다.
만약 $C < H$ 라면, 캐시는 모르는 브리짓의 점수가 둘보다 더 높을 수도 있고 그러면 캐시가 최저가 되어 버립니다.
즉 캐시가 최저가 아니라고 *확신* 할 수 없습니다.
따라서 $C < H$ 는 제외됩니다.

캐시는 최저 $\ne$ 자기 라고 확신 $\;\Longrightarrow\; C > H$

💡 $C < H$ 와 $C > H$ 두 경우 중, 브리짓의 점수가 무엇이든 캐시 아래에 적어도 한 명(한나)이 있는 쪽은 $C > H$ 뿐입니다.

#3 가능성 지우기 4.OA.A.3 단계 2

부분 문제 2: 브리짓의 진술은 $B$ 와 $H$ 의 대소에 대해 무엇을 알려 줄까요?
브리짓이 자기 점수 외에 볼 수 있는 점수는 한나의 점수뿐입니다.
만약 $B > H$ 라면, 브리짓은 모르는 캐시의 점수가 둘보다 더 낮을 수도 있고 그러면 브리짓이 최고가 되어 버립니다.
즉 브리짓이 최고가 아니라고 *확신* 할 수 없습니다.
따라서 $B > H$ 는 제외됩니다.

브리짓은 최고 $\ne$ 자기 라고 확신 $\;\Longrightarrow\; B < H$

💡 $B > H$ 와 $B < H$ 두 경우 중, 캐시의 점수가 무엇이든 브리짓 위에 적어도 한 명(한나)이 있는 쪽은 $B < H$ 뿐입니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 6.EE.B.8 단계 3

살아남은 두 부등식을 한나를 통해 잇습니다.
1단계에서 $C > H$, 2단계에서 $B < H$ 즉 $H > B$.
둘을 연결하면 $C > H > B$.

$$C > H,\;\; H > B \;\Longrightarrow\; C > H > B$$

💡 두 부분 문제가 한나를 공통으로 끼고 있어서, 한나의 점수가 두 조각을 하나의 완전한 순서로 묶어 주는 경첩 역할을 합니다.

#3 가능성 지우기 6.EE.B.8 단계 4

순위를 읽어 냅니다.
높은 점수부터 낮은 점수까지는 캐시, 한나, 브리짓 — 선택지 $\textbf{(D)}$.

$$C > H > B \;\Rightarrow\; \text{Cassie, Hannah, Bridget} \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 $C > H > B$ 라는 사슬을 다섯 선택지에 맞춰 보면 (D) 만 살아남습니다 — 나머지 네 개는 적어도 한 부등식을 위반합니다.

[1] #3 4.OA.A.3 부분 문제 1: 캐시의 진술은 $C$ 와 $H$ 의 대소에 대해 무엇을 알려 줄까요? 캐시가 자기 점수 외에 볼 수 있는 점수는 한나의 점수뿐입

[2] #3 4.OA.A.3 부분 문제 2: 브리짓의 진술은 $B$ 와 $H$ 의 대소에 대해 무엇을 알려 줄까요? 브리짓이 자기 점수 외에 볼 수 있는 점수는 한나의 점수

[3] #7 6.EE.B.8 살아남은 두 부등식을 한나를 통해 잇습니다. 1단계에서 $C > H$, 2단계에서 $B < H$ 즉 $H > B$. 둘을 연결하면 $C > H

[4] #3 6.EE.B.8 순위를 읽어 냅니다. 높은 점수부터 낮은 점수까지는 캐시, 한나, 브리짓 — 선택지 $\textbf{(D)}$.

검토

합리성 확인: 구체적인 숫자로 검산해 봅시다. $C = 95$, $H = 85$, $B = 70$ 이라고 하면, 캐시는 $C = 95$ 와 $H = 85$ 를 보고 있고 브리짓이 설령 $100$ 을 받았더라도 자기는 여전히 한나보다 높으니 최저가 아니라는 진술은 확실히 참입니다. 브리짓은 $B = 70$ 과 $H = 85$ 를 보고 있고 캐시가 설령 $0$ 을 받았더라도 자기는 한나보다 낮으니 최고가 아니라는 진술은 확실히 참입니다. 반대로 $H > C$ 라고 두면 캐시는 "브리짓이 최고고 내가 최저" 인 경우를 배제할 수 없어 확신이 깨지고, $B > H$ 라고 두면 브리짓도 같은 이유로 확신이 깨집니다. 따라서 (D) 만 유일하게 성립합니다.

대안 접근: 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 선택지 다섯 개에 두 부등식 $C > H$ 와 $H > B$ 를 필터로 직접 적용해 봅시다. (A) Hannah, Cassie, Bridget 은 $H > C$ — 캐시의 추론 위반. (B) Hannah, Bridget, Cassie 도 $H > C$ — 위반. (C) Cassie, Bridget, Hannah 는 $B > H$ — 브리짓의 추론 위반. (E) Bridget, Cassie, Hannah 도 $B > H$ — 위반. 두 필터를 모두 통과하는 선택지는 (D) Cassie, Hannah, Bridget 하나뿐입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

4.OA.A.3 사칙연산과 추론을 이용한 다단계 문장제 해결 (각 친구의 진술을 경우 분석으로 따져 봄 — 그녀가 볼 수 있는 두 점수의 두 가지 가능한 순서 중, "확신" 이 깨지는 쪽을 제거하는 추론.)
6.EE.B.8 조건이나 제약을 나타내는 부등식 쓰기·해석하기 ("최저가 아니다", "최고가 아니다" 를 각각 $C > H$, $H > B$ 부등식으로 옮긴 뒤, 공통 항 $H$ 를 통해 $C > H > B$ 로 이어 붙이는 데 사용.)

⭐ 이 AMC 8 퍼즐은 가운데 항을 공유하는 두 부등식($C > H$ 와 $H > B$)을 하나로 이어 붙여 $C > H > B$ 를 만드는 6학년 부등식 추론만 알면 풀 수 있어요 — 대수는 전혀 필요 없습니다!

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

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