AMC 8 · 2014 · #2
쉬운 모드 학년 3문제
폴은 폴라에게 정확히 35센트를 주려고 합니다. 폴의 주머니에는 5센트짜리, 10센트짜리, 25센트짜리 동전이 잔뜩 들어 있어요. 이 동전들을 자유롭게 골라 35센트를 만들 수 있습니다.
동전을 아주 적게 써서 만드는 방법도 있고, 아주 많이 써서 만드는 방법도 있어요.
쓸 수 있는 동전 수의 최댓값과 최솟값을 구한 다음, 그 차이는 얼마일까요?
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AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 폴은 $5$센트, $10$센트, $25$센트 동전을 원하는 만큼 가지고 있고, 폴라에게 정확히 $35$센트를 지불해야 합니다. $35$센트를 만드는 모든 동전 조합 중에서 동전 개수가 가장 많은 경우와 가장 적은 경우의 차이는 얼마일까요?
주어진 것: 지불해야 할 금액: $35$ 센트; 사용 가능한 동전: $5$, $10$, $25$ 센트; 각 동전은 원하는 만큼 사용 가능 ("주머니에 가득"); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
구하는 것: $35$ 센트를 만드는 동전 개수의 최댓값; $35$ 센트를 만드는 동전 개수의 최솟값; 두 값의 차이
이해
문제 재정리: 폴은 $5$센트, $10$센트, $25$센트 동전을 원하는 만큼 가지고 있고, 폴라에게 정확히 $35$센트를 지불해야 합니다. $35$센트를 만드는 모든 동전 조합 중에서 동전 개수가 가장 많은 경우와 가장 적은 경우의 차이는 얼마일까요?
주어진 것: 지불해야 할 금액: $35$ 센트; 사용 가능한 동전: $5$, $10$, $25$ 센트; 각 동전은 원하는 만큼 사용 가능 ("주머니에 가득"); 선택지: (A) $1$, (B) $2$, (C) $3$, (D) $4$, (E) $5$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #17 홀짝·나누어떨어짐 따져 보기
"최댓값 빼기 최솟값" 은 사실 두 개의 최적화 문제가 뺄셈으로 묶여 있는 형태이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "최대 개수 구하기 → 최소 개수 구하기 → 빼기" 의 세 단계로 나누면 깔끔합니다. 두 부분 문제의 전략은 정반대입니다 — 개수를 최대화하려면 가장 작은 동전을 최대한 많이, 최소화하려면 가장 큰 동전부터(탐욕적으로) 씁니다. 도구 #17(나누어떨어짐 따져 보기)은 두 극값이 실제로 가능한지 확인해 줍니다 — $35$ 가 $5$ 의 배수이므로 모두 니켈로 지불 가능하고, $35 = 25 + 10$ 이므로 두 개로도 지불 가능합니다.
실행 — 정답: E
2.OA.A.1 단계 1 - 부분 문제 A — 동전 개수 최소화.
- 가장 큰 동전부터 씁니다.
- $25$ 센트 동전 한 개를 쓰면 $35 - 25 = 10$ 센트가 남고, 이는 $10$ 센트 동전 한 개로 정확히 맞춰집니다.
- 총 $2$ 개입니다.
- 단일 동전으로 $35$ 센트를 만들 수 없으므로 최솟값은 $2$ 입니다.
💡 두 수를 더해 목표 금액을 만드는 것은 2학년 문장제 수준 — $25 + 10 = 35$ 을 알아채면 바로 끝납니다.
3.OA.B.6 단계 2 - 부분 문제 B — 동전 개수 최대화.
- 가장 작은 동전($5$ 센트 니켈)을 최대한 많이 씁니다.
- $35$ 는 $5$ 로 나누어떨어지므로 니켈만으로 지불 가능합니다 — $35 \div 5 = 7$ 개.
- $10$ 이나 $25$ 센트 동전을 끼워 넣으면 니켈 여러 개를 한 개로 합치는 셈이라 개수가 오히려 줄어드므로, $7$ 이 최댓값입니다.
💡 "$35$ 안에 $5$ 가 몇 번 들어가는가?" 는 3학년의 "나눗셈 = 빈칸 곱셈" 문제이고, $35 \div 5$ 가 떨어진다는 사실은 도구 #17 의 배수 확인 그대로입니다.
2.OA.A.1 단계 3 두 부분 문제의 답을 빼서 최종 차이를 구합니다.
💡 큰 값에서 작은 값을 빼는 "얼마나 더 많은가?" 마무리 단계로, 2학년 $100$ 이하의 뺄셈입니다.
2.OA.A.1 부분 문제 A — 동전 개수 최소화. 가장 큰 동전부터 씁니다. $25$ 센트 동전 한 개를 쓰면 $35 - 25 = 10$ 센트가 남고, 이는 3.OA.B.6 부분 문제 B — 동전 개수 최대화. 가장 작은 동전($5$ 센트 니켈)을 최대한 많이 씁니다. $35$ 는 $5$ 로 나누어떨어지므로 니켈만으 2.OA.A.1 두 부분 문제의 답을 빼서 최종 차이를 구합니다. 검토
합리성 확인: 양 끝값을 직접 점검합니다. 최솟값: $25 + 10 = 35$ 로 $2$ 개. 허용된 동전 두 개로 $35$ 을 만드는 다른 조합은 없고($25 + 5 = 30$, $10 + 10 = 20$ 등), 동전 한 개로는 $35$ 가 불가능하므로 $2$ 가 진짜 최솟값입니다. 최댓값: $7 \times 5 = 35$ 로 $7$ 개. 니켈 두 개를 다임 한 개로 바꾸는 등 어떤 교환도 개수를 줄이므로 $7$ 이 진짜 최댓값입니다. 차이 $7 - 2 = 5$ 로 선택지 (E) 와 일치합니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 작은 동전 개수부터 따져 봅시다. $1$ 개로 만들 수 있는 금액은 $5$, $10$, $25$ — $35$ 은 없음. $2$ 개: $25 + 10 = 35$ 가능 → 최소 $= 2$. 최댓값 쪽은 모두 니켈로 채우는 경우를 보면 $35 \div 5 = 7$ 개. 다임이나 쿼터를 한 번이라도 쓰면 $7$ 보다 적어지므로 최대 $= 7$. 따라서 차이 $= 5$.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 3)
2.OA.A.1$100$ 이하 수의 덧셈·뺄셈으로 문장제 해결 (최소 동전 개수를 찾기 위한 $25 + 10 = 35$ 덧셈과, 최종 차이를 구하는 $7 - 2 = 5$ 뺄셈에 사용.)3.OA.B.6나눗셈을 미지수 곱셈 문제로 이해하기 ($35 \div 5 = 7$ 을 계산해 $35$ 센트 안에 $5$ 센트 동전이 몇 개 들어가는지 — 즉 최대 동전 개수를 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 나눗셈 ($35 \div 5$) 한 번과 2학년 덧셈·뺄셈만 있으면 충분해요 — "가장 적은 동전" 과 "가장 많은 동전" 두 작은 문제로 쪼개고, 마지막에 한 번 빼면 끝!
⭐ 이 AMC 8 문제는 3학년 나눗셈 ($35 \div 5$) 한 번과 2학년 덧셈·뺄셈만 있으면 충분해요 — "가장 적은 동전" 과 "가장 많은 동전" 두 작은 문제로 쪼개고, 마지막에 한 번 빼면 끝!
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