AMC 8 · 2015 · #11
쉬운 모드 학년 7문제
작은 나라 매스랜드(Mathland)에서는 모든 자동차 번호판이 4개의 기호로 이루어집니다. 각 자리의 규칙은 다음과 같아요.
- 1번째 기호는 모음이어야 합니다: A, E, I, O, U 중 하나 (5가지).
- 2번째 기호는 모음이 아닌 알파벳이어야 합니다 (21가지).
- 3번째 기호도 모음이 아닌 알파벳인데, 2번째 기호와는 달라야 합니다.
- 4번째 기호는 0부터 9까지의 숫자입니다 (10가지).
규칙을 지키면서 각 자리의 기호를 무작위로 골라 번호판을 하나 만듭니다.
이 번호판이 정확히 "AMC8"이 될 확률은 얼마일까요?
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AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 매스랜드의 자동차 번호판은 기호 $4$ 개로 이루어집니다. 첫 번째 자리는 모음(A, E, I, O, U), 두 번째와 세 번째 자리는 모음이 아닌 자음 $21$ 개 중에서 서로 다른 두 글자, 네 번째 자리는 숫자($0$~$9$) 입니다. 규칙을 지키는 번호판이 모두 같은 확률로 뽑힌다고 할 때, 번호판이 정확히 "AMC8" 일 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 첫 번째 자리: 모음 $5$ 개(A, E, I, O, U) 중 하나; 두 번째 자리: 모음이 아닌 글자 $21$ 개 중 하나; 세 번째 자리: 모음이 아닌 글자 $21$ 개 중 하나, 단 두 번째 자리와 달라야 함; 네 번째 자리: 숫자 $10$ 개($0$~$9$) 중 하나; 규칙을 지키는 번호판은 모두 같은 확률로 뽑힘; 선택지: (A) $\tfrac{1}{22{,}050}$, (B) $\tfrac{1}{21{,}000}$, (C) $\tfrac{1}{10{,}500}$, (D) $\tfrac{1}{2{,}100}$, (E) $\tfrac{1}{1{,}050}$
구하는 것: 무작위로 뽑힌 번호판이 정확히 "AMC8" 일 확률
이해
문제 재정리: 매스랜드의 자동차 번호판은 기호 $4$ 개로 이루어집니다. 첫 번째 자리는 모음(A, E, I, O, U), 두 번째와 세 번째 자리는 모음이 아닌 자음 $21$ 개 중에서 서로 다른 두 글자, 네 번째 자리는 숫자($0$~$9$) 입니다. 규칙을 지키는 번호판이 모두 같은 확률로 뽑힌다고 할 때, 번호판이 정확히 "AMC8" 일 확률은 얼마일까요?
주어진 것: 첫 번째 자리: 모음 $5$ 개(A, E, I, O, U) 중 하나; 두 번째 자리: 모음이 아닌 글자 $21$ 개 중 하나; 세 번째 자리: 모음이 아닌 글자 $21$ 개 중 하나, 단 두 번째 자리와 달라야 함; 네 번째 자리: 숫자 $10$ 개($0$~$9$) 중 하나; 규칙을 지키는 번호판은 모두 같은 확률로 뽑힘; 선택지: (A) $\tfrac{1}{22{,}050}$, (B) $\tfrac{1}{21{,}000}$, (C) $\tfrac{1}{10{,}500}$, (D) $\tfrac{1}{2{,}100}$, (E) $\tfrac{1}{1{,}050}$
계획
주요 도구: #7 작은 문제로 쪼개기
보조 도구: #2 빠짐없이 나열하기
여기서 확률은 $\dfrac{1}{\text{가능한 번호판 총수}}$ 이므로 진짜 할 일은 총수를 세는 것입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "각 자리마다 선택지가 몇 개?" 라는 작은 문제 $4$ 개로 나눈 뒤 곱해 주면 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 각 자리의 선택지(모음, 자음, 남은 자음, 숫자)를 정직하게 세기 위한 보조 도구입니다. 마지막에 "AMC8" 은 똑같이 가능성 있는 번호판 중 정확히 $1$ 개이므로 확률은 그대로 $\tfrac{1}{\text{총수}}$ 가 됩니다.
실행 — 정답: B
7.SP.C.8 단계 1 - 작은 문제 1 — 첫 번째 자리의 선택지를 셉니다.
- 모음을 나열하면 A, E, I, O, U 의 $5$ 개입니다.
💡 한 자리의 표본공간을 나열해서 세는 것은 7학년 "복합 사건의 정리된 목록" 기법 그대로입니다.
4.OA.A.3 단계 2 - 작은 문제 2 — 두 번째 자리의 선택지를 셉니다.
- 알파벳 $26$ 자 중 모음이 $5$ 개이므로 모음이 아닌 글자는 $26 - 5 = 21$ 개이고, 그 중 어느 것이든 두 번째 자리에 올 수 있습니다.
💡 $26$ 에서 모음 수를 빼는 것은 4학년 다단계 문장제 속의 뺄셈 그대로입니다.
7.SP.C.8 단계 3 - 작은 문제 3 — 세 번째 자리의 선택지를 셉니다.
- 모음이 아닌 글자 중 두 번째 자리와 달라야 하므로, $21$ 개 중 하나가 이미 빠진 상태입니다.
💡 세 번째 자리를 "앞 결과 하나가 제거된" 종속 자리로 보는 것은 복합 사건 계수의 핵심 아이디어입니다.
7.SP.C.8 단계 4 - 작은 문제 4 — 네 번째 자리의 선택지를 셉니다.
- 숫자 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 로 $10$ 개입니다.
💡 또 하나의 자리에 대해 표본공간을 정리해서 세는 일입니다.
4.OA.A.3 단계 5 - 네 작은 문제를 곱셈 원리로 합쳐서 가능한 번호판 총수를 구합니다.
- 각 자리는 독립적인 한 번의 선택이므로 자리별 선택지 수를 그대로 곱하면 됩니다.
💡 자리별 선택지 수를 곱해서 "총 몇 개" 를 구하는 것은 4학년 다단계 곱셈 패턴 그대로입니다.
7.SP.C.7 단계 6 - "AMC8" 자체가 규칙을 만족하는 번호판인지 확인합니다.
- A 는 모음(✓ 1자리), M 은 자음(✓ 2자리), C 는 M 과 다른 자음(✓ 3자리), $8$ 은 숫자(✓ 4자리).
- 따라서 "AMC8" 은 똑같이 가능성 있는 $21{,}000$ 개의 번호판 중 단 $1$ 개이므로 확률은 $\tfrac{1}{21{,}000}$ 입니다.
💡 동등 확률 표본공간 위에서 "유리한 경우 / 전체 경우" 로 확률을 정의하는 것은 7학년 확률 모델 그대로입니다.
7.SP.C.8 작은 문제 1 — 첫 번째 자리의 선택지를 셉니다. 모음을 나열하면 A, E, I, O, U 의 $5$ 개입니다. 4.OA.A.3 작은 문제 2 — 두 번째 자리의 선택지를 셉니다. 알파벳 $26$ 자 중 모음이 $5$ 개이므로 모음이 아닌 글자는 $26 - 5 = 21$ 7.SP.C.8 작은 문제 3 — 세 번째 자리의 선택지를 셉니다. 모음이 아닌 글자 중 두 번째 자리와 달라야 하므로, $21$ 개 중 하나가 이미 빠진 상태 7.SP.C.8 작은 문제 4 — 네 번째 자리의 선택지를 셉니다. 숫자 $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ 로 $10$ 개입니다. 4.OA.A.3 네 작은 문제를 곱셈 원리로 합쳐서 가능한 번호판 총수를 구합니다. 각 자리는 독립적인 한 번의 선택이므로 자리별 선택지 수를 그대로 곱하면 됩 7.SP.C.7 "AMC8" 자체가 규칙을 만족하는 번호판인지 확인합니다. A 는 모음(✓ 1자리), M 은 자음(✓ 2자리), C 는 M 과 다른 자음(✓ 3 검토
합리성 확인: 분모는 규칙을 만족하는 번호판의 총수와 같아야 하고, $5 \times 21 \times 20 \times 10$ 은 명백히 $21{,}000$ 입니다. 선택지 (A) $22{,}050 = 5 \times 21 \times 21 \times 10$ 은 두 번째와 세 번째 자리에 같은 글자가 와도 된다고 가정한 값으로, 문제가 "서로 다르다" 라고 막은 부분 — 전형적인 함정입니다. (C), (D), (E) 는 분모를 더 줄이는데, 그러려면 유리한 번호판이 $1$ 개보다 많아야 하지만 "AMC8" 은 단 하나뿐이라 맞지 않습니다. 결국 모든 조건과 "유리한 경우 정확히 $1$" 에 모두 들어맞는 값은 (B) 뿐입니다.
대안 접근: 도구 #3(가능성 지우기) 로 선택지를 직접 검토해 봅시다. 각 분모를 "모음 수 $\times$ 자음 수 $\times$ 자음 수 $\times$ 숫자 수" 의 곱으로 다시 쓰면 — $22{,}050 = 5 \cdot 21 \cdot 21 \cdot 10$ 은 위치 $2$ 와 $3$ 의 중복을 허용해 탈락, $10{,}500 = 5 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 5$ 는 숫자 수를 절반으로 잘못 줄여 탈락, $2{,}100$ 과 $1{,}050$ 은 또 다른 인수를 통째로 빼 탈락. 모든 조건과 맞는 것은 $21{,}000 = 5 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 10$ 뿐이라 (B) 가 살아남습니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
4.OA.A.3사칙연산을 활용한 다단계 문장제 해결 (자음 수 $26 - 5 = 21$ 의 뺄셈, 그리고 자리별 선택지 곱 $5 \times 21 \times 20 \times 10 = 21{,}000$ 으로 번호판 총수를 구하는 데 사용.)7.SP.C.7확률 모델을 세워 사건의 확률 구하기 (규칙을 만족하는 모든 번호판을 같은 확률로 보고, "AMC8" 의 확률을 $\tfrac{1}{\text{총수}}$ 로 읽어내는 데 사용.)7.SP.C.8정리된 목록·표·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (표본공간을 자리별로 ($5$ 모음, $21$ 자음, 남은 $20$ 자음, $10$ 숫자) 세고 곱셈 원리로 합쳐 복합 사건의 가짓수를 구하는 데 사용.)
⭐ 자리마다 선택지를 따로 세서 모두 곱하면 전체 경우의 수가 나오고, 그 위에 $1$ 을 얹으면 "무작위 번호판" 확률 — 7학년 방식 그대로예요!
⭐ 자리마다 선택지를 따로 세서 모두 곱하면 전체 경우의 수가 나오고, 그 위에 $1$ 을 얹으면 "무작위 번호판" 확률 — 7학년 방식 그대로예요!
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