AMC 8 · 2012 · #10

학년 7 counting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

permutations-basicdigit-constraintssystematic-enumeration caseworksystematic-enumerationcomplementary-counting ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticplace-value

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문제

$2012$ 의 네 자리 숫자를 사용하여 만들 수 있는, $1000$ 보다 큰 네 자리 수는 모두 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}6$

(B)

$hspace{.05in}7$

(C)

$hspace{.05in}8$

(D)

$hspace{.05in}9$

(E)

$hspace{.05in}12$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: $2012$ 의 네 자리 숫자(즉, 다중집합 $\{0, 1, 2, 2\}$)를 모두 사용해서 만들 수 있는, $1000$ 보다 큰 $4$자리 수는 몇 개일까요?

주어진 것: 사용할 숫자는 $\{0, 1, 2, 2\}$ — $0$ 하나, $1$ 하나, $2$ 두 개; 네 숫자를 모두 사용해서 한 번에 하나의 $4$자리 수를 만든다; 만든 수는 $1000$ 보다 커야 한다; 선택지: (A) $6$, (B) $7$, (C) $8$, (D) $9$, (E) $12$

구하는 것: 조건을 만족하는 $4$자리 수의 개수

이해

문제 재정리: $2012$ 의 네 자리 숫자(즉, 다중집합 $\{0, 1, 2, 2\}$)를 모두 사용해서 만들 수 있는, $1000$ 보다 큰 $4$자리 수는 몇 개일까요?

계획

주요 도구: #4 체계적으로 나열하기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

$\{0, 1, 2, 2\}$ 의 배열 수가 많지 않으므로 도구 #4(체계적으로 나열하기)가 빠짐도 중복도 없이 세는 가장 안전한 방법입니다 — 특히 두 개의 $2$ 가 서로 같다는 점 때문에 식만 외우면 헷갈리기 쉽습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 천의 자리를 기준으로 깔끔하게 나눠줍니다: 천의 자리가 $1$ 인 경우와 $2$ 인 경우 ($0$ 은 올 수 없음). 두 경우를 따로 세서 더하는 편이 한 번에 다루는 것보다 훨씬 쉽습니다.

실행 — 정답: D

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.A.2 단계 1

천의 자리에 올 수 있는 숫자를 정합니다.
$1000$ 보다 큰 $4$자리 수가 되려면 천의 자리가 $0$ 이 아니어야 합니다.
$\{0, 1, 2, 2\}$ 에서 $0$ 이 아닌 후보는 $1$ 과 $2$ 뿐이므로 두 경우로 나눕니다.

$$\text{천의 자리} \in \{1, 2\}$$

💡 천의 자리가 수의 크기를 결정한다는 것, 그리고 $0$ 이 오면 $3$자리 수가 되어 버린다는 것을 아는 건 4학년 자릿값 감각 그대로입니다.

#4 체계적으로 나열하기 7.SP.C.8 단계 2

경우 1: 천의 자리가 $1$ 인 경우.
남은 세 자리에 채워야 할 숫자는 $\{0, 2, 2\}$ 입니다.
$0$ 이 백·십·일의 자리 중 어디에 오는지 따라 차례대로 나열합니다.

$$1\underline{0}22,\ 1\underline{2}0\underline{2},\ 1\underline{2}\underline{2}0 \;\Rightarrow\; 3 \text{ 개}$$

💡 하나뿐인 $0$ 이 들어갈 세 자리를 차례로 적어 보는 것은 7학년의 "체계적인 목록 만들기" 그대로입니다.

#4 체계적으로 나열하기 7.SP.C.8 단계 3

경우 2: 천의 자리가 $2$ 인 경우.
남은 세 자리에 채워야 할 숫자는 $\{0, 1, 2\}$ 로 모두 서로 다릅니다.
세 숫자를 차례로 줄 세워서 모든 배열을 나열합니다.

$$2012,\ 2021,\ 2102,\ 2120,\ 2201,\ 2210 \;\Rightarrow\; 6 \text{ 개}$$

💡 서로 다른 세 항목을 줄 세우는 방법은 $3 \times 2 \times 1 = 6$ 가지이고, 직접 나열해서 그 $6$ 개를 모두 확인합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.OA.A.3 단계 4

두 경우를 더합니다.
천의 자리가 $1$ 인 경우와 $2$ 인 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 두 경우는 겹치지 않습니다 — 그러므로 단순히 더하면 됩니다.

$$3 + 6 = 9 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 겹치지 않는 경우의 수를 더해 합치는 것은 4학년 다단계 문장제의 기본 동작입니다.

[1] #7 4.NBT.A.2 천의 자리에 올 수 있는 숫자를 정합니다. $1000$ 보다 큰 $4$자리 수가 되려면 천의 자리가 $0$ 이 아니어야 합니다. ${0, 1,

[2] #4 7.SP.C.8 경우 1: 천의 자리가 $1$ 인 경우. 남은 세 자리에 채워야 할 숫자는 $\{0, 2, 2\}$ 입니다. $0$ 이 백·십·일의 자리 중 어

[3] #4 7.SP.C.8 경우 2: 천의 자리가 $2$ 인 경우. 남은 세 자리에 채워야 할 숫자는 $\{0, 1, 2\}$ 로 모두 서로 다릅니다. 세 숫자를 차례로

[4] #7 4.OA.A.3 두 경우를 더합니다. 천의 자리가 $1$ 인 경우와 $2$ 인 경우는 동시에 일어날 수 없으므로 두 경우는 겹치지 않습니다 — 그러므로 단순히

검토

합리성 확인: 다른 방법으로 검산해 봅시다. 천의 자리 조건을 무시한 $\{0, 1, 2, 2\}$ 의 전체 배열 수는 $\tfrac{4!}{2!} = 12$ 입니다 (두 개의 $2$ 가 같으므로 $2!$ 로 나눔). 이 중 천의 자리가 $0$ 인 "나쁜" 배열은 $0$ 을 맨 앞에 고정하고 $\{1, 2, 2\}$ 를 뒤 세 자리에 배열한 경우 — $\tfrac{3!}{2!} = 3$ 개입니다. 따라서 답은 $12 - 3 = 9$ 로 (D) 와 일치합니다.

대안 접근: 도구 #3(공식 찾기): 다중집합 순열 공식을 바로 씁니다. $\{0, 1, 2, 2\}$ 의 전체 배열은 $\tfrac{4!}{2!} = 12$ 가지, 그 중 $0$ 으로 시작하는 배열은 $\tfrac{3!}{2!} = 3$ 가지이므로 $12 - 3 = 9$. 나열 없이도 같은 답 (D) 가 나옵니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

4.NBT.A.2 자릿값을 이용해 여러 자리 자연수를 읽고, 쓰고, 비교하기 (천의 자리에 $0$ 이 오면 $1000$ 보다 큰 $4$자리 수가 될 수 없다는 점을 인식하는 데 사용.)
4.OA.A.3 사칙연산을 이용해 다단계 문장제 해결하기 (겹치지 않는 두 경우의 개수를 더해 최종 답 ($3 + 6 = 9$)을 얻는 데 사용.)
7.SP.C.8 조직적 목록·표·나무 그림·시뮬레이션으로 복합 사건의 확률 구하기 (각 경우에서 $\{0, 2, 2\}$ 와 $\{0, 1, 2\}$ 의 모든 배열을 체계적으로 나열해 빠짐·중복 없이 세는 데 사용.)

⭐ 천의 자리 후보별로 경우를 나누어 체계적으로 나열하면, 이 AMC 8 문제는 7학년 표본 공간 세기로 빠르게 풀려요.

문제

도구 + CCSS 풀이

이해

계획

실행 — 정답: D

검토

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

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