AMC 8 · 2016 · #10
쉬운 모드 학년 6문제
별표 ∗로 표시되는 새로운 연산을 하나 만들어봅시다. 규칙은 이렇습니다: a∗b는 "a를 세 배 한 다음 b를 빼라"는 뜻이에요. 즉, a∗b=3a−b 입니다.
예를 들어, 4∗7=3×4−7=5 입니다.
이제 다음 식을 만족하는 수 x를 찾으려고 해요:
2∗(5∗x)=1.
먼저 괄호 안의 (5∗x)부터 계산하고, 그다음에 바깥쪽을 계산하면 됩니다.
x는 얼마일까요?
답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 새로운 연산 $a * b$ 를 $a * b = 3a - b$ 로 정의합니다. $2 * (5 * x) = 1$ 이 성립할 때 $x$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 사용자 정의 연산: $a * b = 3a - b$; 방정식: $2 * (5 * x) = 1$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{10}$, (B) $2$, (C) $\tfrac{10}{3}$, (D) $10$, (E) $14$
구하는 것: 방정식을 참으로 만드는 $x$ 의 값
이해
문제 재정리: 새로운 연산 $a * b$ 를 $a * b = 3a - b$ 로 정의합니다. $2 * (5 * x) = 1$ 이 성립할 때 $x$ 의 값을 구하세요.
주어진 것: 사용자 정의 연산: $a * b = 3a - b$; 방정식: $2 * (5 * x) = 1$; 선택지: (A) $\tfrac{1}{10}$, (B) $2$, (C) $\tfrac{10}{3}$, (D) $10$, (E) $14$
계획
주요 도구: #11 거꾸로 풀기
보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #3 가능성 지우기
마지막 결과($1$)는 알고 있고 가장 안쪽의 시작값 $x$ 를 되찾아야 하는 형태 — 도구 #11(거꾸로 풀기)의 전형적인 트리거입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 안쪽 식을 $y = 5 * x$ 라는 새 이름으로 묶어 두면, 한 번에 $*$ 하나씩만 풀면 됩니다: 먼저 바깥 $2 * y = 1$, 그다음 안쪽 $5 * x = y$. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 개 선택지 중 어느 것에 해당하는지 확인합니다.
실행 — 정답: D
6.EE.A.2 단계 1 - 안쪽 연산에 이름을 붙입니다.
- $y = 5 * x$ 라고 두면, 바깥 식은 $2 * y = 1$ 이라는 한 겹짜리 방정식이 되어 먼저 다룰 수 있습니다.
💡 복잡한 부분식에 이름을 부여하는 것이 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 의 핵심 — 이제 한 번에 $*$ 한 개만 풀면 됩니다.
6.EE.B.7 단계 2 - 바깥쪽 $*$ 를 거꾸로 풉니다.
- 정의 $a * b = 3a - b$ 에 의해 $2 * y = 1$ 은 $3(2) - y = 1$, 즉 $6 - y = 1$ 입니다.
- $y$ 에 마지막으로 행해진 연산은 "$6$ 에서 뺐다"이므로 이를 되돌리면 $y = 6 - 1 = 5$ 입니다.
💡 끝값($1$)을 알고 마지막 단계를 되돌리는 것이 도구 #11(거꾸로 풀기) — 바깥 한 겹이 한 번에 일차 방정식 한 개로 정리됩니다.
6.EE.B.7 단계 3 - 안쪽 $*$ 도 거꾸로 풉니다.
- 이제 $5 * x = y = 5$ 입니다.
- 정의에 의해 $5 * x = 3(5) - x = 15 - x$ 이므로 $15 - x = 5$.
- 뺄셈을 되돌리면 $x = 15 - 5 = 10$ 입니다.
💡 같은 도구 #11 동작을 안쪽 층에 적용 — $x$ 에 마지막으로 행해진 연산이 "$15$ 에서 뺐다" 이므로 이를 뒤집습니다.
6.EE.B.5 단계 4 $x = 10$ 을 선택지에서 찾아 확정합니다.
💡 계산한 값이 (A)-(E) 중 어디에 있는지 확인하는 것은 객관식 문제에서의 도구 #3(가능성 지우기) 마무리입니다.
6.EE.A.2 안쪽 연산에 이름을 붙입니다. $y = 5 * x$ 라고 두면, 바깥 식은 $2 * y = 1$ 이라는 한 겹짜리 방정식이 되어 먼저 다룰 수 6.EE.B.7 바깥쪽 $*$ 를 거꾸로 풉니다. 정의 $a * b = 3a - b$ 에 의해 $2 * y = 1$ 은 $3(2) - y = 1$, 즉 $6 - 6.EE.B.7 안쪽 $*$ 도 거꾸로 풉니다. 이제 $5 * x = y = 5$ 입니다. 정의에 의해 $5 * x = 3(5) - x = 15 - x$ 이므로 6.EE.B.5 $x = 10$ 을 선택지에서 찾아 확정합니다. 검토
합리성 확인: $x = 10$ 을 원래 식에 다시 넣어 확인합니다. 안쪽: $5 * 10 = 3(5) - 10 = 15 - 10 = 5$. 바깥: $2 * 5 = 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1$. 주어진 값 $1$ 과 정확히 일치하므로 $x = 10$ 이 맞습니다.
대안 접근: 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 다섯 선택지를 직접 대입할 수도 있습니다. 각 후보 $x$ 에 대해 $5 * x = 15 - x$, 그다음 $2 * (15 - x) = 6 - (15 - x) = x - 9$ 이므로 이 값이 $1$ 이 되어야 합니다. $x = 10$ 일 때만 $10 - 9 = 1$ 이 성립하고, 나머지는 $\tfrac{1}{10} - 9$, $2 - 9 = -7$, $\tfrac{10}{3} - 9$, $14 - 9 = 5$ 로 모두 $1$ 이 아닙니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)
6.EE.A.2문자로 수를 나타내는 식을 쓰고, 읽고, 값을 구하기 (사용자 정의 연산 $a * b = 3a - b$ 의 정의를 읽고, 수치와 보조 변수 $y$ 를 대입해 식의 값을 구하는 데 사용.)6.EE.B.7$x + p = q$, $px = q$ 형태의 일차 일차원 방정식을 세우고 푸는 문제 해결 ($6 - y = 1$ 을 되돌려 $y = 5$ 를, 이어서 $15 - x = 5$ 를 되돌려 $x = 10$ 을 구하는 일차 방정식 풀이에 사용.)6.EE.B.5방정식 풀이를, 주어진 값 집합 중 어떤 값이 방정식을 참으로 만드는지 답하는 과정으로 이해하기 ($x = 10$ 이 $2 * (5 * x) = 1$ 을 만족시키는 선택지 (D) 임을 확인하고 나머지 후보를 배제하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 6학년 "한 단계 방정식 풀기" 와 "마지막 단계를 되돌리기" 만 알면 풀 수 있어요!
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