AMC 8 · 2016 · #16
쉬운 모드 학년 7문제
애니와 보니가 400미터짜리 타원형 트랙을 달리고 있어요. 둘은 같은 자리에서 동시에 출발합니다.
애니는 보니보다 25% 더 빨라요. 즉, 보니가 4바퀴를 달리는 동안 애니는 같은 시간에 5바퀴를 달립니다.
시간이 지나면서 애니는 점점 앞서 나가다가, 결국 트랙 위에서 보니를 한 바퀴 더 앞질러 처음으로 따라잡고 추월합니다.
애니가 보니를 처음 추월하는 순간까지, 애니는 몇 바퀴를 달렸을까요?
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AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.
도구 + CCSS 풀이
이해
문제 재정리: 애니와 보니가 $400$ 미터 타원형 트랙에서 동시에 출발합니다. 애니는 보니보다 $25\%$ 더 빠르게 달립니다. 애니가 보니를 처음으로 "한 바퀴 차이로" 추월하는 순간, 애니는 몇 바퀴를 달렸을까요?
주어진 것: 트랙 한 바퀴 $= 400$ m (실제 길이는 계산에 들어가지 않고, 바퀴 수만 중요); 애니의 속력은 보니보다 $25\%$ 빠름; 두 사람은 같은 지점에서 동시에 출발; 선택지: (A) $1\tfrac{1}{4}$, (B) $3\tfrac{1}{3}$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $25$
구하는 것: 애니가 보니를 처음 추월하는 순간 애니가 달린 바퀴 수
이해
문제 재정리: 애니와 보니가 $400$ 미터 타원형 트랙에서 동시에 출발합니다. 애니는 보니보다 $25\%$ 더 빠르게 달립니다. 애니가 보니를 처음으로 "한 바퀴 차이로" 추월하는 순간, 애니는 몇 바퀴를 달렸을까요?
주어진 것: 트랙 한 바퀴 $= 400$ m (실제 길이는 계산에 들어가지 않고, 바퀴 수만 중요); 애니의 속력은 보니보다 $25\%$ 빠름; 두 사람은 같은 지점에서 동시에 출발; 선택지: (A) $1\tfrac{1}{4}$, (B) $3\tfrac{1}{3}$, (C) $4$, (D) $5$, (E) $25$
계획
주요 도구: #11 패턴 찾기
보조 도구: #4 문자로 나타내기, #13 동치 문제로 바꾸기
핵심 패턴은 "두 사람이 같은 시간 동안 달리면 거리의 비 = 속력의 비" 라는 비율 규칙(도구 #11, 패턴 찾기)입니다. "$25\%$ 더 빠르다" 를 깔끔한 비율 $5:4$ 로 바꾸면 이 패턴이 곧바로 보입니다. 도구 #4(문자로 나타내기)로 보니의 바퀴 수를 $L_B$, 애니의 바퀴 수를 $L_A$ 라 두면 추월 조건이 $L_A = L_B + 1$ 이라는 식이 됩니다. 도구 #13(동치 문제로 바꾸기)은 문제를 다시 보게 해 줍니다 — $400$ m 라는 트랙 길이는 계산에 전혀 들어오지 않고, "처음 추월" 은 "두 사람의 거리 차이가 정확히 $1$ 바퀴" 와 동치입니다. 미터 대신 바퀴 수로 다루면 트랙 길이는 통째로 약분돼 사라집니다.
실행 — 정답: D
6.RP.A.3 단계 1 - 백분율을 속력 비로 바꿉니다.
- "$25\%$ 더 빠르다" 는 애니의 속력이 보니의 속력의 $1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{4}$ 배라는 뜻이므로, 속력 비는 $5 : 4$ 입니다.
💡 "$25\%$ 더" 를 분수 $\tfrac{5}{4}$ 로 바꾸는 것은 6학년 "백분율을 비율로" 다루는 동작입니다.
6.RP.A.3 단계 2 - 같은 시간이면 거리의 비도 속력의 비와 같습니다.
- 두 사람이 같은 시간 $t$ 동안 달리므로 $\text{거리} = \text{속력} \times t$ 에서 (애니의 거리) $/$ (보니의 거리) $= v_A / v_B = 5/4$.
- 한 바퀴 길이($400$ m) 가 둘에게 같으므로 바퀴 수의 비도 거리의 비와 같습니다.
💡 같은 시간 $\Rightarrow$ 거리는 속력에 정비례 — 이것이 비율 패턴(도구 #11)입니다.
6.EE.B.7 단계 3 - "처음 추월" 조건을 식으로 옮깁니다.
- 원형 트랙에서 애니가 보니를 처음 따라잡으려면 정확히 한 바퀴를 더 달렸어야 합니다.
- 보니의 바퀴 수를 $L_B$, 애니의 바퀴 수를 $L_A$ 라 두면
💡 두 바퀴 수를 문자로 두는 순간 "문장 조건" 이 "식" 으로 깔끔하게 변합니다(도구 #4).
7.EE.B.4 단계 4 - 두 식을 연립합니다.
- 비례식에서 얻은 $L_A = \tfrac{5}{4} L_B$ 를 $L_A = L_B + 1$ 에 대입해 $L_B$ 를 구합니다.
💡 한 번의 대입으로 미지수 하나짜리 일차방정식이 됩니다 — 7학년 대수.
6.RP.A.3 단계 5 추월 조건식에 대입해 애니의 바퀴 수를 읽어냅니다.
💡 $400$ m 라는 트랙 길이가 한 번도 식에 등장하지 않았다는 점 — 답은 오직 "바퀴 수 차이" 에만 달려 있습니다(도구 #13, 동치 문제).
6.RP.A.3 백분율을 속력 비로 바꿉니다. "$25\%$ 더 빠르다" 는 애니의 속력이 보니의 속력의 $1 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{5}{ 6.RP.A.3 같은 시간이면 거리의 비도 속력의 비와 같습니다. 두 사람이 같은 시간 $t$ 동안 달리므로 $\text{거리} = \text{속력} \time 6.EE.B.7 "처음 추월" 조건을 식으로 옮깁니다. 원형 트랙에서 애니가 보니를 처음 따라잡으려면 정확히 한 바퀴를 더 달렸어야 합니다. 보니의 바퀴 수를 7.EE.B.4 두 식을 연립합니다. 비례식에서 얻은 $L_A = \tfrac{5}{4} L_B$ 를 $L_A = L_B + 1$ 에 대입해 $L_B$ 를 구합 6.RP.A.3 추월 조건식에 대입해 애니의 바퀴 수를 읽어냅니다. 검토
합리성 확인: 보니가 한 바퀴를 돌 때마다 애니는 $\tfrac{5}{4}$ 바퀴를 도니, 보니가 한 바퀴 늘 때마다 격차가 $\tfrac{1}{4}$ 바퀴씩 벌어집니다. 격차가 정확히 $1$ 바퀴가 되려면 보니는 $4$ 바퀴, 애니는 $5$ 바퀴를 달려야 합니다. 모두 작은 정수이고 선택지와 일관되며, (D) $= 5$ 와 정확히 일치합니다.
대안 접근: 도구 #5(표 만들기): 보니가 한 바퀴씩 늘 때마다 애니의 거리와 격차를 적어 봅니다. 보니 $1$ 바퀴 $\to$ 애니 $1.25$, 격차 $0.25$; 보니 $2 \to$ 애니 $2.5$, 격차 $0.5$; 보니 $3 \to$ 애니 $3.75$, 격차 $0.75$; 보니 $4 \to$ 애니 $5$, 격차 $1$. 격차가 정확히 $1$ 이 되는 순간이 애니가 $5$ 바퀴째를 끝낸 순간이므로 답은 (D) 입니다.
사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)
6.RP.A.3비율·비례 추론으로 실생활·수학 문제 해결 ("$25\%$ 더 빠르다" 를 속력 비 $5:4$ 로 바꾸고, 같은 시간 조건에서 그 비율을 바퀴 수에 그대로 옮기는 데 사용.)6.EE.B.7$x + p = q$, $px = q$ 꼴의 방정식을 세우고 풀어 실생활·수학 문제 해결 (원형 트랙에서 "처음 추월" 을 식으로 옮긴 $L_A = L_B + 1$ 을 세우는 데 사용.)7.EE.B.4문자로 양을 나타내고 식·부등식을 세워 문제 해결 ($L_A = \tfrac{5}{4} L_B$ 를 $L_A = L_B + 1$ 에 대입해 $\tfrac{1}{4} L_B = 1$ 을 풀고 $L_B = 4$ 를 구하는 데 사용.)
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 대수 — 속력 비율과 한 번 푸는 일차방정식 — 만 알면 풀 수 있어요!
⭐ 이 AMC 8 문제는 사실 7학년 대수 — 속력 비율과 한 번 푸는 일차방정식 — 만 알면 풀 수 있어요!
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